2016上海高考数学理科

导读：　2016上海高考数学理科(共7篇)2016上海高考理科数学(含答案)2016上海高考理科数学1 设xR，则不等式x31的解集为________________32i，其中i为虚数单位，则Imz_________________ i3 l1:2xy10, l2:2xy10, 则l1,l2的距离为_______...

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2016上海高考数学理科(一)
2016上海高考理科数学(含答案)

2016上海高考理科数学

1. 设xR，则不等式x31的解集为________________

32i

，其中i为虚数单位，则Imz_________________ i

3. l1:2xy10, l2:2xy10, 则l1,l2的距离为__________________

4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据

的中位数是___ （米）

5. 已知点(3,9)在函数f(x)1ax的图像上，则f(x)的反函数f1(x)____________ 6. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大

2

小为arctan，则该正四棱柱的高等于____________________

3

7. 方程3sinx1cos2x在区间[0,2π]上的解为________________ 2. 设z

28.

在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于

x_______________

9. 已知ABC的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________

axy1

x,ya0,b010. 设，若关于的方程组无解，则ab的取值范围是

xby1

n

_____________

Sn为an的前n项和，Sn{2,3}，11. 无穷数列an由k个不同的数组成，若对任意nN*，

则k的最大

值为___________

12. 在平面直角坐标系中，已知A(1,0), B(0,1), P

是曲线y

BPBA的取值范围

是____________

13. 设a,b,R, c[0,2π)，若对任意实数x都有

π

sin(bxc) ，则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为____ 2sin(3xa3

14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2A8的中心，A1(1,0)，任取不同



A,AOPOAOA的两点ij，点P满足ij0，则点P落在第一象限的概率是

_______________

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

15. 设aR，则“a1”是“a21”的( )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充

分也非必要条件

16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos B. 65sin C. 65cos D. 65sin

SnS，下列条件中，使得17. 已知无穷等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且limn2SnS(nN*)恒成立的是( )

A. a10, 0.6q0.7 B. a10, 0.7q0.6 C. a10, 0.7q0.8 D. a10, 0.8q0.7

18. 设f(x),g(x),h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题:①若f(x)g(x)，f(x)h(x)，

g(x)h(x)均为增函数，则f(x),g(x),h(x)中至少有一个为增函数；②若f(x)g(x)，f(x)h(x)，g(x)h(x)均是以T为周期的函数，则f(x),g(x),h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是( )

A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区

域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，

2如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧 ABAC11

33

(1) 求三棱锥CO1A1B1的体积

(2) 求异面直线B1C与AA1所成角的大小

20．（本题满分14分）

有一块正方形菜地EFGH, EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜

地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2

的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，

点F的坐标为(1,0)，如图

(1) 求菜地内的分界线C的方程

(2) 菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”8

为。设M是C上 3

纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并

判断哪一个更接近于S1面积的经验值

21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

y22

双曲线x21(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A,B

b

两点



(1) 若l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程

2



(2)

设b，若l的斜率存在，且(F1AF1B)AB0，求l的斜率 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分6分

1

已知aR，函数f(x)log2(a)

x

(1) 当a5时，解不等式f(x)0

(2) 若关于x的方程f(x)log2[(a4)x2a5]0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围

1

(3) 设a0，若对任意t[,1]，函数f(x)在区间[t,t1]上的最大值和最小值的差

2

不超过1，求a的取值范围

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分

若无穷数列an满足：只要apaq(p,qN*)，必有ap1aq1，则称an具有性质P. (1) 若an具有性质P. 且a11, a22, a43, a52, a6a7a821， 求a3；(2) 若无穷数列bn是等差数列，无穷数列cn是公比为正数的等比数列，b1c51，b5c181，anbncn，判断an是否具有性质P，并说明理由；

(3) 设bn是无穷数列，已知an1bnsinan(nN*)，求证：“对任意质P”的充要条

件为“bn是常数列”

答案： 1.(2,4)

3

4.1.76

5.log

2(x1) 6.7.xπ5π6,6

10.

(2,) 11.4

12.[0,1 13.4

14.528

15.A 16.D 17.B 18.D

19.解：(1) 连O1B1，则A

1B1AO11B1

3

a1，an都具有性

∴O1A1B1为正三角形

1∴VCO1A1B1OO1SO1A1B13(2) 设点B1在下底面圆周的射影为B，连BB1，则BB1∥AA1 ∴SO1A1B1

∴BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角）

BB1AA11 连BC,BO,OC【2016上海高考数学理科】

ABA1B13, AC23 ∴BC



3

∴BOC



3

∴BOC为正三角形 ∴BCBO1

∴tanBBBC

1CBB1 1

∴BB1C45

∴直线B1C与AA1所成角大小为45

20.解：(1) 设分界线上任一点为(x,y)，依题意

x

可得yx1)

(2) 设M(x0,y0)，则y01

∴xy200

414

∴设所表述的矩形面积为S2(15

3，则S341)2

设五边形EMOGH面积

S5111311

4S3SOMPSMGQ22412414

SS8511181326, SS1

134143126

∴五边形EOMGH的面积更接近S1的面积 21.解：(1)

由已知F1(

, F2

取x，得y

b2

F1F22A

∵F1F2

, F2Ab2

∴2

即3b44b24(3b22)(b22)0

∴b

∴渐近线方程为y

S4则

为

，

2016上海高考数学理科(二)
上海市闵行区2016年高三数学一模(理科含答案)

上海市闵行区2015-2016学年第一学期高三一模

数 学 试 卷（理科） 2016.1

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．

2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若复数z

满足izi（i为虚数单位），则|z|2．若全集UR，函数yx的值域为集合A，则ðUA(,0) 3．方程4260的解为xlog23 4．函数fx5．不等式

x

x

12

cos(x)sinx

的最小正周期T= .

sin(x)cosx

4

x的解集为 .(0,2) x

6．若一圆锥的底面半径为3，体积是12，则该圆锥的侧面积等于



7．已知△ABC中，AB4i3j，AC3i4j，其中i、j是基本单位向量，则△ABC的面积为 .

25 2

8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.10 9．若Sn是等差数列an的前n项和，且10．若函数f(x)2

xa

S8S6S10，则limn 5 2n86n

(aR)满足f(1x)f(1x)，且f(x)在[m,)上单调

递增，则实数m的最小值等于 . 1

x2y2

1(a1)上运动，F1、F2是椭圆的左、右11．若点P、Q均在椭圆:22

aa1



焦点，则PF1PF22PQ的最大值为 .2a



0x4cos2x，

12．已知函数f(x)，若实数a、b、c互不相等，且满足

x4log1(x3)1，

4

1

f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是(8， 23)

13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为则

bd

和a,b,c,dN*）,ca

bd

是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道3.14159，若令ac314916，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即101553116

，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数105

22为 .【2016上海高考数学理科】

7

1n

14．已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*，Sn(1)annn3且

2

311

(an1p)(anp)0恒成立，则实数p的取值范围是 .,

44

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答

题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若a,bR，且ab0，则“ab”是“

ba

2等号成立”的（ A ）. ab

(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 16．设f(x)25x10x210x35x4x5，则其反函数的解析式为（ C ）.

(A)

y1【2016上海高考数学理科】

(B) y1 (C)

y1

(D) y117．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足

范围是（ B ）. (A)0,

abcc

，则角A的babc





 (B) 

(C) 0,,

 (D) ,

 

18．函数f(x)的定义域为1,1，图像如图1所示；函数g(x)的定义域为1,2，图像如图2所示.Axf(g(x))0,Bxg(f(x))0,则AB中元素的个数为（ C ）.





2

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）

1

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，

A1



，D为棱AA1中点，



证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱



B1

AA1AB2，BC1,BAC

D

A

B

ABCA1B1C1的体积．

[证明]在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，

BC//B1C1，BCD或它的补角即为异面直线B1C1与CD所成

角，„„„„„„„„„„2分 由AB2，BC1,BAC



以及正弦定理得sinACB，ACB即

BCAC，„„„„4分

又BCAA1，BC面ACC1A1，„„„„6分

BCCD„„„„„„8分



．„„„„„„„„ 10分 2

1

三棱柱ABC

A1B1C1的体积为VS△ABCAA112 „„„„12分

2

所以异面直线B1C1与CD所成角的为

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．

如图，点A、B分别是角、的终边与单位圆的交点，0





． 23

（1）若=，cos，求sin2的值；

34

（2）证明：cos()coscossinsin．

2

[解]（1）方法一:cos，

3

1

cos(22)2cos2()1= „3分

9

313

2)， „„„„„„„„„„„„6分 =，即cos(

429

3

1

sin2． „„„„„„„„„„„„8分

9

方法二:cos

23222，=，即cossin， „„„„3分

43223

sincos

822

，两边平方得，1sin2 „„„„„„„„„„„6分

93

1

sin2． „„„„„„„„„„„„„8分

9

（2）[证明]由题意得，(cos,sin)，(cos,sin) =coscossinsin 又因为OA与OB夹角为

1



)cos() „„„„„„„„„12分 综上cos()coscossinsin成立． „„„„„„„„„„„14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数y

„„„„„„10分

a

图像的一段，点M到l1、点Nl2的距离分别为8千米和1千米，x

到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p.

（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域； （2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线

OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围.

[解]（1）由题意得M(1,8)，则a8，故曲线段MPN的函数关系式为y

8

，4分 x4

又得N(10,)，所以定义域为1,10. „„„„„„„„„„„6分

5

4

已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点(1,)，它的一个焦点与抛物线

2

:y24x的焦点重合．

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率为k的直线l过点F1,0，且与抛物线交于A、B两点，设点P(1,k)，

△PAB的面积为k的值；

（3）若直线l过点M0,m（m0），且与椭圆交于C、D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值.

91

x2y2221

[解]（1）设椭圆的方程为221ab0，由题设得a，„2分 4b

aba2b21



a24x2y221 „„„„„„„„„„4分 ，椭圆的方程是

43b3

（2）设直线l:yk(x1)，由

yk(x1),2222

得kx2(k2)xk0 2

y4x,

l与抛物线有两个交点，k0，16(k21)0，

5

2016上海高考数学理科(三)
2016年上海市高考数学试卷(理科)

2016年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

21．（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a＞1”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．

【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：由a＞1得a＞1或a＜﹣1，

2即“a＞1”是“a＞1”的充分不必要条件，

故选：A．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．

2．（2016•上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（ ）

2

A．ρ=6+5cosθ B．ρ=6+5sinθ C．ρ=6﹣5cosθ D．ρ=6﹣5sinθ

【考点】简单曲线的极坐标方程．

【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；坐标系和参数方程．

【分析】由图形可知：

【解答】解：由图形可知：时，ρ取得最大值，即可判断出结论． 时，ρ取得最大值，

只有D满足上述条件．

故选：D．

【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．（2016•上海）已知无穷等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且

条件中，使得2Sn＜S（n∈N）恒成立的是（ ）

A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6

C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7

【考点】等比数列的前n项和．

【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．

【分析】由已知推导出

*=S，下列，由此利用排除法能求出结果．

【解答】解：∵

2Sn＜S， ∴

若a1＞0，则

若a1＜0，则qn，S==，﹣1＜q＜1， ， ，故A与C不可能成立； ，故B成立，D不成立．

故选：B．

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．

4．（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）

A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】分类讨论；转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．

【分析】①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．

②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．

【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．

②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），

前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．

故选：D．

【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二．填空题（共14小题）

5．（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为

【考点】绝对值不等式．

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．

【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．

【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，

∴﹣1＜x﹣3＜1，

解得2＜x＜4．

∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．

故答案为：（2，4）．

【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．

6．（2016•上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．

【解答】解：∵Z====2﹣3i，

∴Imz=﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．

7．（2016•上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离

【考点】两条平行直线间的距离．

【专题】计算题；规律型；直线与圆．

【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．

【解答】解：平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：=． ． 故答案为：．

【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．

8．（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，

1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．

【考点】众数、中位数、平均数．

【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计．

【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．

【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，

位于中间的两个数值为1.75，1.77， ∴这组数据的中位数是：=1.76（米）．

故答案为：1.76．

【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．

9．（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a的图象上，则f（x）的反函数f（x）

【考点】反函数．

【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．

x3【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+a的图象上，可得9=1+a，解得a=2．可得f（x）

xx=1+2，由1+2=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数﹣1f（x）．

x3【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+a的图象上，∴9=1+a，解得a=2．

xx∴f（x）=1+2，由1+2=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．

﹣1把x与y互换可得：f（x）的反函数f（x）=log2（x﹣1）．

故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．

【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．（2016•上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于 2 ． x﹣1

【考点】棱柱的结构特征．

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高．

【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD， ∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，

∴tan∠D1BD=，

∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，

∴BD=3，

∴正四棱柱的高=3

故答案为：2． ×=2，

【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角．

11．（2016•上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．

【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值．

【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．

2【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sinx，

即2sinx+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]

解得x=或

或． ． 2故答案为：【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．

12．（2016•上海）在（﹣）的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等n

于 112 ．

【考点】二项式定理的应用．

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理．

【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．

【解答】解：∵在（∴2=256，解得n=8， ∴（∴当﹣）中，Tr+1==0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）28nn﹣）的二项式中，所有的二项式系数之和为256， n==112． ， 故答案为：112．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．

2016上海高考数学理科(四)
2016年高考理科数学(上海卷)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

理科数学（理工农医类）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1、设xR,则不等式x31的解集为______________________ 2、设Z

32i

，期中i为虚数单位，则Imz=______________________ i

3、已知平行直线l1:2xy10,l2:2xy10，则l1,l2的距离_______________

4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）

5、已知点(3,9)在函数f(x)1a的图像上，则f(x)的反函数f

x

1

(x)________

6、如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan则该正四棱柱的高等于____________

7、方程3sinx1cos2x在区间0,2上的解为___________学.科.网

2

，3

2

8、在x的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________

x

9、已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设a0,b0.若关于x,y的方程组

n

axy1

无解，则ab的取值范围是____________

xby1



11.无穷数列an由k个不同的数组成，Sn为an的前n项和.若对任意nN，Sn2,3，则k的最大值为.

12.在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线yx2上一个动点，则的取值范围是.

13.设a,bR,c0,2，若对任意实数x都有2sin3x







asinbxc，则满足条件的有序实数组3

a,b,c的组数为.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2A8的中心，

A11,0.任取不同的两点Ai,Aj，点P满足OAiOAj，则点P

落在第一象限的概率是

.

二、选择题（5×4=20）

15.设aR，则“a1”是“a21”的（） （A）充分非必要条件（B）必要非充分条件 （C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（） （A）65cos（B）65sin （C）65cos（D）65sin

lmSnS.下列条件中，17.已知无穷等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且i使得2SnSnN恒

n



成立的是（）

（A）a10,0.6q0.7（B）a10,0.7q0.6 （C）a10,0.7q0.8（D）a10,0.8q0.7

18、设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)g(x)、f(x)h(x)、

g(x)h(x)均为增函数，则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数；②若f(x)g(x)、f(x)h(x)、

则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（） g(x)h(x)均是以T为周期的函数，

A、①和②均为真命题B、①和②均为假命题

C、①为真命题，②为假命题D、①为假命题，②为真命题学科.网

三、解答题（74分）

19.将边长为1的正方形AAOO11（及其内部）绕的OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为

为

2

，A1B1长3



，其中B1与C在平面AAOO11的同侧。 3

（1）求三棱锥CO1A1B1的体积；学.科网 （2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小。

20、（本题满分14）

有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图 （1）求菜地内的分界线C的方程

（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积

8

。设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一3

边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断

的“经验值”为

哪一个更接近于S1面积的经验值

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

y2

双曲线x21(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点。

b

2

（1）若l的倾斜角为



2

，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；



（2

）设bl的斜率存在，且(F，求l的斜率.学科&网 1AF1B)AB0

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知aR，函数f(x)log2(

1

a). x

（1）当a5时，解不等式f(x)0；

（2）若关于x的方程f(x)log2[(a4)x2a5]0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围； （3）设a0，若对任意t[,1]，函数f(x)在区间[t,t1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

若无穷数列{an}满足：只要apaq(p,qN*)，必有ap1aq1，则称{an}具有性质P.

12

（1）若{an}具有性质P，且a11,a22,a43,a52，a6a7a821，求a3；

（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1c51，b5c181，

anbncn判断{an}是否具有性质P，并说明理由；

（3）设{bn}是无穷数列，已知an1bnsinan(nN).求证：“对任意a1,{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”.

*

2016上海高考数学理科(五)
2016年上海高考数学(理科)真题含解析

2016年上海高考数学（理科）真题

一、解答题（本大题共有14题，满分56分）

1. 设xR，则不等式x31的解集为________________

【答案】(2,4)

【解析】1x31，即2x4，故解集为(2,4)

32i2. 设z，其中i为虚数单位，则Imz_________________ i

【答案】3

【解析】zi(32i)23i，故Imz3

3. l1:2xy10, l2:2xy10, 则l1,l2的距离为__________________

【解析】d

4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米）

【答案】1.76

5. 已知点(3,9)在函数f(x)1ax的图像上，则f(x)的反函数f1(x)____________

【答案】log2(x1) 【解析】a319，故a2，f(x)12x

∴xlog2(y1)

∴f1(x)log2(x1)

26. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan， 3

则该正四棱柱的高等于____________________

【答案】

2【解析】BD

, DD1BD3

7. 方程3sinx1cos2x在区间[0,2π]上的解为________________

π5π, 66

【解析】3sinx22sin2x，即2sin2x3sinx20

∴(2sinx1)(sinx2)0 1∴sinx 2

π5π∴x, 66

【答案】x

28.

在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ x【答案】112

【解析】2n256， n8 8r84r2rrrr3通项C8x()C8(2)x3 x

取r2

常数项为C82(2)2112

9. 已知ABC的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________

a2b2c21

【解析】a3,b5,c7，cosC2ab2

∴sinC

c∴R 2sinC

axy1x,ya0,b010. 设，若关于的方程组无解，则ab的取值范围是_____________ xby1n

【答案】(2,)

【解析】由已知，ab1，且a

b，∴ab2

11. 无穷数列an由k个不同的数组成，Sn为an的前n项和，若对任意nN*，Sn{2,3}，则k的最大

值为___________

【答案】4

12. 在平面直角坐标系中，已知A(1,0), B(0,1), P

是曲线y则BPBA的取值范围

是____________

【答案】[0,1 

P(cos,sin)[0,π]【解析】设, ，BA(1,1), BP(cos,sin1)

πBPBAcossin1)1[0,1 4

π13. 设a,b,R, c[0,2π)，若对任意实数x都有2sin(3x)asin(bxc)，则满足条件的有序实数组 3

(a,b,c)的组数为______________

【答案】4

【解析】(i)若a2

5π4π若b3，则c； 若b3，则c 33

π2π(ii)若a2，若b3，则c；若b3，则c 33

共4组

14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2A8的中心，A1(1,0)，任取不同的两点Ai,Aj，点P满足OPOAiOAj0，则点P落在第一象限的概率是_______________ 5 28

55【解析】2 C828【答案】

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

15. 设aR，则“a1”是“a21”的( )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

【答案】A

16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )

A. 65cos B. 65sin C. 65cos D. 65sin

【答案】D π【解析】时，达到最大 2

imSnS，下列条件中，使得2SnS(nN*)恒17. 已知无穷等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且ln

成立的是( )

A. a10, 0.6q0.7 B. a10, 0.7q0.6

C. a10, 0.7q0.8 D. a10, 0.8q0.7

【答案】B a1a1(1qn)SS【解析】n, , 1q1 1q1q

2SnS，即a1(2qn1)0

1n若a10，则q，不可能成立 2

1n若a10，则q，B成立 2

18. 设f(x),g(x),h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题:①若f(x)g(x)，f(x)h(x)，g(x)h(x)均

为增函数，则f(x),g(x),h(x)中至少有一个为增函数；②若f(x)g(x)，f(x)h(x)，g(x)h(x)均是以T为周期的函数，则f(x),g(x),h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是( )

A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题

【答案】D

【解析】①不成立，可举反例

2x3,x02x,x1x,x0g(x)x3,0x1f(x)h(x), , 2x,x0x3,x12x,x1

②f(x)g(x)f(xT)g(xT)

f(x)h(x)f(xT)h(xT)

g(x)h(x)g(xT)h(xT)

前两式作差，可得g(x)h(x)g(xT)h(xT)

结合第三式，可得g(x)g(xT), h(x)h(xT)

也有f(x)f(xT)

∴②正确

故选D

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的

步骤．

19. （本题满分12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长2为，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧 33

(1) 求三棱锥CO1A1B1的体积

(2) 求异面直线B1C与AA1所成角的大小

A1B1AO【解析】(1) 连O1B1，则 11B13

∴O1A1B1为正三角形

1∴VCO1A1B1OO1SO1A1B1 3(2) 设点B1在下底面圆周的射影为B，连BB1，则BB1∥AA1 ∴SO1A1B1

∴BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角）

BB1AA11

连BC,BO,OC

2ABA1B1, AC 33

∴BC

3 ∴BOC 3

∴BOC为正三角形

∴BCBO1 BC1 ∴tanBB1CBB1

∴BB1C45

∴直线B1C与AA1所成角大小为45

20．（本题满分14分）

有一块正方形菜地EFGH, EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜 地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2

的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点， 点F的坐标为(1,0)，如图

(1) 求菜地内的分界线C的方程

8(2) 菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为。设M是C上 3

纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并 判断哪一个更接近于S1面积的经验值

【解析】(1) 设分界线上任一点为(x,y)，依题意



x

可得yx1)

(2) 设M(x0,y0)，则y01 2y01 ∴x044

15∴设所表述的矩形面积为S3，则S32(1) 42

设五边形EMOGH面积为S4，则S4S3SOMPSMGQ511131111 224244

85111811S1S3, S4S1 32643126

∴五边形EOMGH的面积更接近S1的面积

21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 y2

2双曲线x21(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A,B两点 b

(1) 若l的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程 2

2016上海高考数学理科(六)
2016年上海高考数学理科试题及答案(解析)

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2016上海高考数学理科(七)
2016年上海高考数学文科试卷试题及答案(图片版)

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