逆命题与逆定理

导读：　逆命题与逆定理(共3篇)...

逆命题与逆定理(一)
逆命题与逆定理

一、本节学习指导

这一节重在理解命题的概念，命题是能判断一件事情的正确与错误的句子，不能是问句，也不能是省略句，这个句子必须是完整的，并且能判断正确与否才叫做命题。

2、数学命题通常由题设、结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。因此命题可以写成“如果²²²²²²，那么²²²²²²”的形式。

3、人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始数据。

4、有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

二、知识要点

1、命题、定理、证明 ⑴

理解：命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题）

命题假命题（错误的命题）

⑶ 公理：的真命题叫公理。

⑷ 定理：的依据，这样的命题叫定理。⑸ ⑹ 证明的一般步骤

① 根据题意，画出图形。

② ③ 2、常用数学口诀.

平方差公式: a2b2(ab)(ab)

口诀：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

完全平方差公式: (ab)2a22abb2

完全平方和公式：(ab)2a22abb2

口诀：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；

首±尾括号带平方，尾项符号随中央。

证明

知识点一 证明的含义

从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。 注意：（1）证明一个命题时，首先要分清命题条件和结论，其次要从已知条件出发，运用定义、公理、定理进行推理，得出结论。

（2）证明的过程必须做到步步有据。

知识点二 命题的证明

证明几何命题的表述格式：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。

知识点三 折叠问题

1、 同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果。折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻

折180°，使它与另一部分在这条直线

2、 折叠的性质：折叠不改变图形的大小和形状，即折叠部分在折叠前后是全等的图形，满足公理“轴反射” 知识点四 反证法

从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

反证法的关键在于反设所证命题的结论。适用范围：证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否定则比较简单。

反证法证题步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论成立。

例 在 △ABC中，∠A 、∠B 、∠C是它的三个内角。

求证：在∠A 、∠B、 ∠C中不可能有两个直角。

逆命题与逆定理

知识点：

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

例： “两直线平行，内错角相等”的题设是______，结论是_____它是 命题。

练习

1．命题“平行四边形的对角线互相平分”的条件是_____，结论是

______．

二、互逆命题

1．概念：互逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

几何证明知识点

逆命题和逆定理

1、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

2、如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。

3、每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理。

线段的垂直平分线

1、定理：线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

2、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、线段垂直平分线可以看作和一条线段两个端点距离相等的点的集合。

角的平分线

1、角的平分线的概念：从角的顶点出发，等分这个角的射线，叫做这个角的平分线。

2、角是轴对称图形，它的对称轴是这个角的平分线所在的直线。

3、角的平分线性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

4、角的平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

5、角的平分线可以看作这个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的集合。

直角三角形全等的判定

1、直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用。

2、直角三角形全等的判定定理

定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L.）。

直角三角形的性质

直角三角形的性质，可以从它的角、边以及特殊线段之间构成的各种关系的特征去理解。

1、定理1：直角三角形的两个锐角互余。

2、定理2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。

勾股定理

1、在直角三角形中，斜边大于直角边。

2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角

三角形。

4、勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用。

两点的距离公式

在直角坐标平面内：

1、x轴或平行于x轴的直线上的两点P1(x1,y)，P2(x2,y)间的距离P1P2x1x2。

2、y轴或平行于y轴的直线上的两点Q1(x,y1)，Q2(x,y2)间的距离Q1Q2y1y2。

x12y12 3、在x轴上一点P1Q11(x1,0)与在y轴上一点Q1(0,y1)之间的距离P

4、任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)之间的距离公式是AB(x1x2)2(y1y2)2

练习

1．命题“矩形的对角线相等”的逆命题是__________________．

2．命题“如果∠A=65°，∠B=25°，那么∠A与∠B互余”的逆命题是________，它的逆命题是_______(填“真”或“假”)命题．

3．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题的条件是___________，结论是_____________．

写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。

1、全等三角形的对应角相等；

2、自然数必为有理数；

3、若|a|＝|b|，则a＝b；

4、若a＝b，则

5、若x＝a，则ab33； x2(ab)xab0；

解：1、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形。原命题为真命题，逆命题为假命题；

2、逆命题为：有理数必为自然数。原命题为真命题，逆命题为假命题；

3、逆命题为：若a＝b，则|a|＝|b|。原命题为假命题，逆命题为真命题；

4、逆命题为：若a3b3，则a＝b。原命题为为真命题，逆命题为真命题；

5、逆命题为：若x2(ab)xab0，则x＝a。原命题为真命题，逆命题为假命题。

练习．写出下列命题的逆命题．

(1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0． (2)如果a＞0，那么a2＞0．(3)等角的补角相等．(4)对顶角相等．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

四、互逆定理举例

1．等腰三角形的性质定理与判定定理

性质定理：等腰三角形底角相等．

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形．

1． 角平分线的性质定理与判定定理

性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．

判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．

3．线段垂直平分线的性质定理与判定定理

性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等．

判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

4．勾股定理及其逆定理

勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．即若用a，b表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边，则a2+b2=c2． 勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．即若用a，b，c表示一个三

222角形的三边长，其中c为最长边，且满足a+b=c，则这个三角形是直角三角形，边c所对的角是直角．

基础巩固题

1．下列语言是命题的是 ( )A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等

2．下列命题中真命题的个数是 ( ) ①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则其斜边； 、 ②直角三角形的最大边长，最小边长为1，则另一边长2；

③在直角三角形中，若两直角边边长为9和40，则斜边长为41； ④等腰三角形的面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．

A．1个 B．2个 c．3个 D．4个

3．下列命题的逆命题是真命题的是 ( )A．直角都相B．钝角都小于180。C．如果x2+y2=0，那么x=y=0 D．对顶角相等

4．下列说法中，正确的是 ( )A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的

C．任何命题都有逆命题D．定理、公理都应经过证明后才能用

5．下列这些真命题中，其逆命题也真的是 ( )A．全等三角形的对应角相等B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

6．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )

A．8，15，17 B．4，5，6 C．5，8，10 D．8，39，40

7．证明一个命题是假命题的方法有__________．

8．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。

9．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

10．如图19—4—7所示，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+b＝4，ab=1，c=。试判断△ABC的形状．

探究提高题

11．下列说法中，正确的是 ( ) A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题

12．下列定理中，没有逆定理的是 ( )

A．内错角相等，两直线平行 B．直角三角形中两锐角互余

c．相反数的绝对值相等 D．同位角相等，两直线平行

拓展延伸题

15．下列命题中的真命题是 ( ) A．锐角大于它的余角 B．锐角大于它的补角 c．钝角大于它的补角 D．锐角与钝角之和等于平角

16．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．【逆命题与逆定理】

其中，正确命题的个数为 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【逆命题与逆定理】

中考模拟

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

逆命题与逆定理(二)
八年级数学逆命题和逆定理同步练习

逆命题和逆定理（1）同步练习

【知识盘点】

1．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做________．

2．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的________，这两个定理叫做_________．

3．每个命题都有它的________，但每个真命题的逆命题不一定是真命题． 4．线段垂直平分线性质定理的逆定理是_____________________．

5．命题“对顶角相等”的逆命题是_____________________，是_____命题．

【基础过关】

6．下列说法中，正确的是（ ）

A．每一个命题都有逆命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．每一个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 7．下列命题的逆命题为真命题的是（ ）

A．如果a=b，那么a2=b2 B．平行四边形是中心对称图形

C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．内错角相等 8．下列定理中，有逆定理的是（ ）

A．四边形的内角和等于360° B．同角的余角相等

C．全等三角形对应角相等 D．在一个三角形中，等边对等角 9

【应用拓展】

10．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；假命题，请举反例说明．

（1）有两边上的高相等的三角形是等腰三角形．

（2）三角形的中位线平行于第三边．

11．写出符合下列条件的一个原命题： （1）原命题和逆命题都是真命题．（2）原命题是假命题，但逆命题是真命题． （3）原命题是真命题，但逆命题是假命题．（4）原命题和逆命题都是假命题．

如果是•

【综合提高】

12．已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ①AB∥CD，②AO=CO，③，AD=BC，④∠ABC=∠ADC．

（1）请从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形ABCD是平行四边形，并使构成的命题为真命题，请对你所构造的一个真命题给予证明．

（2）能否从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形ABCD是平行四边形，并使构成的命题为假命题？若能，请写出一个满足条件的假命题，并举反例说明．

答案:

1．互逆命题 2．逆定理，互逆定理 3．逆命题

4．•到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 5．如果两个角相等，那么它们是对顶角；•假 6．A 7．C 8．D 9．（1）真，如果x（x-2）=0，那么x=2；假 （2）真，三边对应相等的两个三角形全等；真 （3）真，在一个三角形中，等角对等边；真 （4）真，•等边三角形是等腰三角形；假

（5）假，如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角；假 10．（1）等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，证明略

（2）•平行于三角形一边的线段是三角形的中位线，是假命题，反例略

11．略 12．（1）答案不唯一，如选①和②等，证明略 （2）如选①和③，反例略

5.7 逆命题和逆定理（2）同步练习

【知识盘点】

1．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是________． 2．在直角坐标系中，点（x，y）与点________关于原点对称． 3．点（3，-•2）•关于原点对称的点的坐标为______，•关于x•轴对称的点的坐标为________． 4．若点A（a，b）关于原点对称的点B坐标为（b，2），则a=______，b=_______． 5．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是___________．

【基础过关】

6．下列各组数能成为直角三角形三边长的是（ ）

A．2，3，4 B．3，4，6 C．3，4，5 D．5，6，7

222

7．若△ABC的三边a，b，c满足（a-b）（a+b-c）=0，则△ABC是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

8．在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是（ ） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对

2222

9．已知△ABC的三边长分别为a+b，2ab，a-b（a>b>0），则此三角形的形状为（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定

【应用拓展】

10．在直角坐标系中，已知点A（3m，m+n-2），B（-n，m-3）关于原点对称，求m，n的值，并写出这两个点的坐标．

11．如图，在△ABC中，已知AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，求证：AB=AC．

A

BD

12．如图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，AD=12，CD=13，•求四边形ABCD的面积．

A

B

C

13．已知一个三角形的三边长分别4，8-x，x是否存在x的值，使得此三角形为直角三角形？若存在，请求出所有x的值；若不存在，请说明理由．

【综合提高】

14．在直角坐标系中，ABCD的两个顶点的坐标为A（3，2），B（-1，2），原点O是ABCD的对称中心，请画出ABCD的示意图，并写出C，D的坐标．





15．在直角坐标系中，点A（3，-2），点D（0，4），点B与点A关于y轴对称，点C与点A•关于原点O对称，求四边形ABCD的面积．

答案:

1．直角三角形 2．（-x，-y） 3．（-3，2）；（3，2）；（-3，-2） 4．2，-2 5．•有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 6．C 7．D 8．C 9．C 10．m=1，n=3，A（3，2），B（-3，-2）

11．由AB=13，BC=10，BD=5得△ABD是直角三角形，于是AD•垂直平分BC，所以AB=AC 12．四边形ABCD的面积为36 13．存在，x=5或3 14．图略，C（-3，-2），D（1，-2） 15．四边形ABCD的面积为24

逆命题与逆定理(三)
19.4逆命题与逆定理测试题(华东师大版)

逆命题与逆定理

一、基础题（8题7分，其余每题各4分，共35分）

1．在两个直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？如果不一定全等，请举出一个反例．

2．写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假． （1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°；

（2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等． 3．已知：如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，BC=ED，∠ACD=∠ADC．求证：AB=AE．

4．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD=CD．求证：AB=AC．

5．已知：如图，AC⊥CD，BD⊥CD，AB的垂直平分线EF交AB于E，交CD于F，且AC=FD．求证：△ABF是等腰直角三角形．

6．判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．

（1）a=7，b=24，c=25；（2）a=1.5，b=2.5；（3）a=

52

，b=1，c=. 43

22

7．在△ABC中，AC=2a，BC=a+1，AB=a-1，其中a﹥1，△ABC是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？【逆命题与逆定理】

8．如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=DA=2，∠D=90°，求∠BAD的度数

.

二、学科内综合题（5分）

9．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，则腰AC的长为（ ） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 三、学科间综合题（5分）

10．一平面镜以与水平成45°角固定在水平桌面上，如图，小球以1米／秒的速度沿桌面向平面镜匀速滚去，则小球在平面镜里所成的像（ ）

A．以1米／秒的速度，做竖直向上运动 B．以l米／秒的速度，做竖直向下运动 C．以2米／秒的速度，做竖直向上运动 D．以2米／秒的速度，做竖直向下运动

四、应用题（10分）

11．如图，河南区一个工厂在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，到河上公路桥较近桥头（图中A点）的距离与到公路东侧学校（图中B点）的距离也相等，试在图上标出工厂的位置．

五、创新题（每题10分，共40分） （一）教材中的变型题 12．（课本原题）（1）在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD为∠BAC的平分线．求证：D在AB的垂直平分线上．

（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线，交AB于D,交AC于E,∠EBC=30°求∠A的度数

.

（二）一题多解

13．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，求∠A的度数．

（三）一题多变

14．如左图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15cm，BD=6cm，求△ABC的周长．

（1）一变：如右图所示，在△ABC中AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交AC于E．若AB=a，△ABC的周长为b，求△BCE的周长．

（四）开放题

15．如果两个等腰三角形 ，那么这两个等腰三角形全等．（只填一种能使结论成立的条件即可）

六、中考题（13分） 16．（2分）如下图左，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系不成立的是（ ）

A．∠B=∠CAE B．∠DEA=∠CEA C．∠B=∠BAE D．

AC=2EC

17．（2分）如上图中所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S

四边形AEPF

=

1

S△ABC；④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E2

不与A、B重合），上述结论始终正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（2分）如上图右所示，△ABC中，AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是 .

19．（2分）若等腰三角形的一个底角是30°，则这个等腰三角形的顶角是 . 20．（2分）如下图，AM是△ABC的角平分线，N为BM的中点，NE∥AM，交AB于D，交CA的延长线于E，下列结论正确的是（ ）

A．BM=MC B．AE=BD C．AM=DE D．DN=BN 21．（3分）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ） A．30° B．75° C．30°或60° D．75°或15°

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