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德州一中高一期中考试2014-2015数学
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高一数学试卷 2015.1
第一部分 (选择题 共40分)
一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合 , ,则
A. B. C. D.
2.
A. B. C. D.
3.已知△ 三个顶点的坐标分别为 , , ,若 ,那么
的值是
A. B.3 C. D.4
4.在下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的函数为
A. B. C. D.
5.函数 的一个对称中心
A. B. C. D.
6. 函数 ( 且 )的图象经过点 ,函数 ( 且 )的图象经过点 ,则下列关系式中正确的是德州一中高一期中考试2014-2015数学
A. B. C. D.
7.如图,点 在边长为 的正方形的边上运动,设 是 的中点,则当 沿着路径 运动时,点 经过的路程 与△ 的面积 的函数关系为 ,则 的图象是
8.已知函数 ,在下列结论中:
① 是 的一个周期;② 的图象关于直线 对称;③ 在 上单调递减.
正确结论的个数为
A. 0 B.1 C. 2 D. 3
第二部分 (非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 如果向量 , ,且 , 共线,那么实数 .
10. 已知集合 ,则 .
11.sin15osin75o的值是____________.
12. 已知函数 且 ,则 的值为 .
13. 已知 是正三角形,若 与向量 的夹角大于 ,则实数 的取值范围是__________.
14.给出定义:若 (其中 为整数),则 叫做离实数 最近的整数,记作 ,即 . 在此基础上给出下列关于函数 的四个判断:
① 的定义域是 ,值域是 ;
②点 是 的图象的对称中心,其中 ;
③函数 的最小正周期为 ;
④函数 在 上是增函数.
则上述判断中正确的序号是 .(填上所有正确的序号)德州一中高一期中考试2014-2015数学
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分13分)
已知函数 .
(I)求函数 的定义域;
(II)求 的值;
(III)求函数 的零点.
16. (本小题满分14分)
已知 . 其中 是第三象限角.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的值;
(III) 求 的值.
17. (本小题满分13分)
已知向量 , ,其中 .
(Ⅰ)当 时,求 的值;
(Ⅱ)当 时,求 的最大值.
18. (本小题满分14分)
函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数 的解析式;
(Ⅱ)将y=f(x)的图象向右平移π6个单位后得到新函数 的图象,求函数 的解析式;德州一中高一期中考试2014-2015数学
(Ⅲ)求函数 的单调增区间.
19. (本小题满分13分)
设二次函数 满足条件:
① ,
② ;
③ 在 上的最小值为 .
(I)求 的值;
(II)求 的解析式;
(III)求最大值 ,使得存在 ,只要 ,都有 成立.
20.(本小题满分13分)
若函数 对任意的 ,均有 ,则称函数 具有性质 .
(Ⅰ)判断下面两个函数是否具有性质 ,并说明理由.
① ; ② .
(Ⅱ)若函数 具有性质 ,且 ( ),
求证:对任意 有 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否对任意 均有 .若成立给出证明,若不成立给出反例.
密云县2014—2015学年度第一学期期末考试
高一数学试卷参考答案及评分参考
2015.01
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D C B C A C
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.-2 10. 11.
12. 13. 14.①③④
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分13分)
解:(I)由题: , ----------------2分
函数 的定义域 . ----------------4分
(II) ----------------8分
(III)令 ,
函数 的零点为 ----------------13分
16. (本小题满分14分)
解:(Ⅰ) 且 是第三象限角,
----------------2分
----------------4分
(Ⅱ)由(Ⅰ), ----------------6分
----------------9分
(III)
----------------12分
----------------14分
17. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)当 时, ,---------------2分
----------------5分
(Ⅱ)由题:
. ----------------10分
,
.
当 即 时, ----------------11分
的最大值为 . --------------- ----13分
18. (本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由所给图象知A=1, ---------------1分
34T=11π12-π6=3π4,T=π,所以ω=2πT=2.----------------2分
由sin2×π6+φ=1,|φ|<π2得π3+φ=π2,解得φ=π6,-------4分
所以f(x)=sin2x+π6. ----------------5分
(Ⅱ)f(x)=sin2x+π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解
析式为 =sin2x-π6+π6 ----------------7分
=sin2x-π6. --------------9分
(Ⅲ)由题:
. ----------------12分
----------------13分
.------------14分
19.(本小题满分13分)
解:(I) ∵ 在 上恒成立,
∴
即 . ---------------------------2分
(II)∵ ,∴函数图象关于直线 对称,
∴
∵ ,∴ ---------------------------4分
又∵ 在 上的最小值为 ,∴ ,即 ,
由 解得 ,
∴ ; -------------7分
(III)∵当 时, 恒成立,∴ 且 ,
由 得 ,解得 ---------------9分
由 得: ,
解得 ,……………(10分)
∵ ,∴ ,---------------11分
当 时,对于任意 ,恒有 ,
∴ 的最大值为 . -------------------12分
另解:(酌情给分) 且
在 上恒成立
∵ 在 上递减,∴ ,
∵ 在 上递减,
∴
∴ ,∴ , ,
∵ ,∴ ,
∴ ,∴ 的最大值为
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)证明:①函数 具有性质 .
,……………1分
即 ,
此函数为具有性质 .……………2分
②函数 不具有性质 . ……………3分
例如,当 时, ,
,
所以, ,……………4分
此函数不具有性质 .德州一中高一期中考试2014-2015数学
(Ⅱ)假设 为 中第一个大于 的值,
则 ,
因为函数 具有性质 ,
所以,对于任意 ,均有 ,
所以 ,
所以 ,
与 矛盾,
所以,对任意的 有 . ……………9分
(Ⅲ)不成立.
例如 ……………10分
证明:当 为有理数时, 均为有理数,
,
当 为无理数时, 均为无理数,
所以,函数 对任意的 ,均有 ,
即函数 具有性质 . ……………12分
而当 ( )且当 为无理数时, .
所以,在(Ⅱ)的条件下,“对任意 均有 ”不成立.……………13分
(其他反例仿此给分,
如 等.)
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