认识几何体,高二数学

导读：　认识几何体,高二数学(共4篇)高中数学空间几何体知识点总结高中数学必修2知识点总结01 空间几何体几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，而空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用。教材要求：从空间几何体的整体观察入手，研究空间几何体的结构特征、三视图和...

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认识几何体,高二数学(一)
高中数学空间几何体知识点总结

高中数学必修2知识点总结01 空间几何体

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，而空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用。教材要求：从空间几何体的整体观察入手，研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图，了解简单几何体的表面积与体积的计算方法。

一、空间几何体的结构特征 课标要求：

1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；

3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式； 要点精讲：

1．柱、锥、台、球的结构特征

由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的轴。

（1）柱

棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形„„的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱„„ 注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：

棱柱的性质：

①侧棱都相等，侧面是平行四边形；

②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。

棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥

棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥„„的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„

正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 注：棱锥的性质：

①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

圆锥的性质：

①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②轴截面是等腰三角形；

棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台

棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

正棱台的性质：

①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； ③棱台经常补成棱锥研究。

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台的性质：

①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆； ②圆台的轴截面是等腰梯形； ③圆台经常补成圆锥来研究。

圆台和棱台统称为台体。 （4）球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

注：球的有关问题转化为圆的问题解决。 （5）组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 2．空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

具体包括：

（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和长度；

（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和宽度；

（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的长度和宽度； 3．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；

''

②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使X'OY=45（或135），

’’

’’

它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半； ④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。 结论：

注：解决两种常见的题型时应注意

1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.

2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。

（2）平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。 4．知识归纳及拓展

（1）几种常凸多面体间的关系

‘

‘

倍。

认识几何体,高二数学(二)
高二数学必修二简单几何体导学案

第1课时 多面体的结构特征

【学习要求】

1．认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体； 2．认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；

3．了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．

【学法指导】

通过直观感受空间物体，从实物中概括出多面体的几何结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培养空间想象能力.【认识几何体,高二数学】

【知识要点】

1．空间几何体

（1）概念：如果只考虑物体的 和 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． （2）特殊的几何体

①多面体：一般地，由若干个 围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的 ；相邻两个面的 叫做多面体的棱；棱与棱的 叫做多面体的顶点．

②旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的 ． 2．多面体的结构特征

（1）棱柱的结构特征：一般地，有两个面 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．

（2）棱锥的结构特征：一般地，有一个面是 ，其余各面都是 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．

（3）棱台的结构特征：用一个 棱锥底面的平面去截棱锥， 之间的部分叫做棱台.

问题2 如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型？

问题3 观察图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系，你能归纳出它们有何共同特点吗？

小结 我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．

问题4 观察图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中组成几何体的每个面有何共同特点？

小结 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．

探究点二 棱柱的结构特征

问题1 我们把下面的多面体取名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗？

【问题探究】

探究点一 空间几何体的类型

问题1 观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？【认识几何体,高二数学】

图1 图2

问题2 为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？

问题3 棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？

问题4 一个棱柱至少有几个侧面？一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？ 问题5 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？

小结 在棱柱中，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；图1

中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′.

探究点三 棱锥的结构特征

问题1 我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？

跟踪训练2 若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高(过顶点向底面作垂线，顶点与垂足的距离)．

【当堂检测】

1．下列说法中正确的是 ( ) A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高

D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 2．下列说法中，正确的是 ( )

A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是 棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 3．下列说法错误的是( )

A．多面体至少有四个面 B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C．长方体、正方体都是棱柱 D．三棱柱的侧面为三角形

问题2 参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？

问题3 类比棱柱的分类，棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类？如何用棱锥各顶点的字母表示问题1中的三个棱锥？

问题4 一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？ 问题5 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？ 问题6 棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？

探究点四 棱台的结构特征

问题1 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台．那么棱台有哪些结构特征？

问题2 仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义，如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶点呢？ 问题3 根据三棱锥、四棱锥、五棱锥……的定义，如何定义三棱台、四棱台、五棱台……？如何用字母表示棱台？

问题4 既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？ 例1 试判断下列说法是否正确：

（1）棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面； （2）棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形． 小结 概念辨析题常用方法：（1）利用常见几何体举反例；（2）从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断． 跟踪训练1 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称： （1）由6个平行四边形围成的几何体．

（2）由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面是有一个公共顶点的三角形．

例2 如图，几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面．

小结 认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开．

【课堂小结】

1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．

2．对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力．

【课后作业】

第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征

【学习要求】

1．认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体；

2．认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．

【学法指导】

通过直观感受空间物体，从实物中概括出旋转体与简单组合体的结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活中，增强学习的积极性，培养空间想象力．

【知识要点】

1．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 ；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 ；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的 ．

2．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做． 3．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线．

4．以半圆的直径所在直线为，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做，简称球．半圆的圆心叫做球的 ，半圆的半径叫做球的 ，半圆的直径叫做球的 ．球常用表示球心的字母O表示． 5．简单组合体

（1）概念：由 组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．

（2）基本形式：一种是由简单几何体 而成，另一种是由简单几何体 或 一部分而成.

【问题探究】

[问题情境]

举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点．它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征． 探究点一 圆柱的结构特征

问题1 如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的几个概念是如何定义的？

问题2 如图，平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形？

探究点二 圆锥的结构特征

问题1 类比圆柱的定义，结合下图你能给圆锥下个定义吗？

小结 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程组而解得．

跟踪训练1 将例1中“截去的圆锥的母线长是3 cm”改为“圆锥SO的母线长为16 cm”其余条件不变，则结果如何？

探究点四 球的结构特征

问题 类比圆柱、圆锥、圆台的定义，球是如何定义的？球心及球半径是指什么？如何用字母表示球？ 例2 判断下列各命题是否正确：

（1）三棱柱有6个顶点，三棱锥有4个顶点；

（2）圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

（3）一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

（4）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

（5）到定点的距离等于定长的点的集合是球．

小结 对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力． 跟踪训练2 下列叙述中正确的个数是 ( )

①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

A．0 B．1 C．2 D．3

探究点五 简单组合体的结构特征

问题1 现实生活中的物体多数是由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．那么这些组合体是怎样构成的？ 问题2 观察教材图1.1－11中(1)、(3)两物体所示的几何体，你能说出它们各由哪些简单几何体组合而成吗？ 例3 描述下列几何体的结构特征．

问题2 类比圆柱的轴、底面、侧面、母线的定义，如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线？ 问题3 经过圆锥的任意两条母线的截面是什么图形？圆锥如何用字母表示？

探究点三 圆台的结构特征

问题1 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台．圆台可以由什么平面图形旋转而形成？

问题2 与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，它们的含义分别如何？圆台如何用字母表示？ 问题3 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？

例1 用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．

小结 组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割． 跟踪训练3 数学奥林匹克竞赛中，若你获得第一名，被授予如图所示的奖杯，那么，请你介绍一下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的？

【当堂检测】

1．下图是由哪个平面图形旋转得到的 (

)

1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图

【学习要求】

2．下列说法正确的是 ( )

A．圆锥的母线长等于底面圆直径 B．圆柱的母线与轴垂直 C．圆台的母线与轴平行 D．球的直径必过球心 3．下面几何体的截面一定是圆面的是 ( )

A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱

1．了解投影、中心投影和平行投影的概念；

2．能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型．

【学法指导】

通过对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点；通过自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用，提高空间想象能力．

【课堂小结】

1．本节所学几何体的类型：

圆柱体三棱柱柱体棱柱体四棱柱

……

【知识要点】

1．投影

（1）投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的 ，这种现象叫做投影，其中，我们把光线叫做 ，把留下物体影子的屏幕叫做 ． （2）投影的分类

①中心投影：光由 向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于 ．

②平行投影：在一束 光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的 是平行的.在平行投影中,投影线正对着投影面时，叫做 ,否则叫做 . 2．三视图

（1）三视图的分类

①正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的 ． ②侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的 ． ③俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的 ． （2）三视图的画法要求

①三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的 、 、 看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．

②一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的 ,长度与 的长度一样,侧视图放在正视图的右边,高度与 的高度一样,宽度与 的宽度一样.

③在绘制三视图的时候，分界线和可见轮廓线都用 线画出，被遮挡部分用 线画出.



圆锥体

三棱锥锥体棱锥体四棱锥几何体……

圆台体三棱台台体四棱台棱台体

……球体简单组合体

【问题探究】

[问题情境]

从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中．”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图和直观图来把几何体画在纸上． 探究点一 中心投影与平行投影

导引 在建筑、机械等工程中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第11页，然后思考下列问题． 问题1 什么是投影、投影线、投影面吗？

问题2 不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？

2．注意两点

（1）圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆台的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点，若不满足该条件，则一定不是圆台或棱台．

（2）球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合．而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．

【课后作业】

小结 我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．

问题3 用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？

问题4 用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？

问题5 用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？

小结 在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影． 问题6 一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？

例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的___________(填序号)．

问题3 圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？

问题4 球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体？

探究点三 简单组合体的三视图

导引 柱、锥、台、球是最基本、最简单的几何体，由这些几何体可以组成各种各样的组合体，怎样画简单组合体的三视图？

问题1 在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎样处理？

问题2 如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？ 例2 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图．(单位：cm) 小结 (1)在画三视图时，务必做到正(视图)侧(视图)高平齐，正(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)侧(视图)宽相等．(2)习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上，俯视图在正视图的正下方．

跟踪训练2 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是 (

)

小结 画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影．如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成．

跟踪训练1 如图(1)所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的________．

探究点二 柱、锥、台、球的三视图

导引 把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形．从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面．

问题1 如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么其三视图分别是什么？ 问题2 三视图，分别反映物体的哪些关系(上下、左右、前后)？哪些数量(长、宽、高)? 小结 一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为：正侧等高，正俯等长，侧俯等宽．

探究点四 将三视图还原成几何体

导引 一个空间几何体都对应一组三视图，若已知一个几何体的三视图，我们如何去想象这个几何体的原形结构，并画出其示意图呢？

问题 下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图．

例3 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征．

认识几何体,高二数学(三)
高二数学学案空间的几何体

致远中学 高二数学◆必修2◆导学案

编写： 校审：

1.1

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；

2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；

3. 理解多面体的有关概念；

.

24

引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实

多面多

2014年◆高二数学必修2◆导学案 月 日 班级： 姓名： 第一章 空间几何体

新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体:

探究3：棱柱的结构特征 问题

：你能归纳下列图形共同的几何特征吗?

新知3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）

试试1： 你能指出探究3中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探究3中的棱柱分类吗？

新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形„的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱„

②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.

试试2： 探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢?

新知5：我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图(1)中这个棱柱表示为棱柱ABCD—ABCD.

探究4：棱锥的结构特征

问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一，它具有什么样的几何特征呢？

新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥„等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥SABCDE.

探究5：棱台的结构特征

问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地切掉,则切掉的部分是什么形状?剩余的部分呢?

新知7：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.

试试3：请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.

反思：根据结构特征,从变化的角度想一想,棱柱、棱台、棱锥三者之间有什么关系？

※ 典型例题

例 由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢？

三、总结提升

※ 学习小结

1. 多面体、旋转体的有关概念；

2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质.

※ 知识拓展

1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱；

2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；

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※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）.

A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体

2. 棱台不具有的性质是（ ）.

A.两底面相似 B.侧面都是梯形

C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点【认识几何体,高二数学】

3. 已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（ ）.

A.ABCDFE

B.ACBFDE

C.CABDFE

D.它们之间不都存在包含关系

4. 长方体三条棱长分别是AA=1AB=2，AD4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是_____________.

5. 若棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，则截得这棱台的原棱锥的高为___________.

1. 已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高(侧面三角形的高)SM=n，求经过SO

的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积.

2. 在边长a为正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.问折起后的图形是个什么几何体？它每个面的面积是多少？

致远中学 高二数学◆必修2◆导学案 编写： 校审：

1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；

2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；

3. 理解多面体的有关概念；

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一、课前准备

（预习教材P2~ P4，找出疑惑之处）

引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实

多面多

2014年◆高二数学必修2◆导学案 月 日 班级： 姓名： 第一章 空间几何体

认识几何体,高二数学(四)
高中数学几何体计算公式

高中数学几何体计算公式：

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

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