人教版九年数学案例及反思

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人教版九年数学案例及反思篇一：新人教版九年级数学全册教学反思

新人教版九年级数学全册教学反思

宁夏吴忠市汉渠学校 丁学良

《垂直于弦的直径》教学反思

本节课力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，教师要注意角色的转变，成为学生学习的组织者、参与者、合作者，教师的责任是为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法。整堂课以思维为主线，充分利用直观教具与学具及计算机辅助教学，让学生充分参与数学学习，融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体，通过“实验——观察——猜想——证明——应用”，使学生在获得知识的同时提高兴趣，增强信心，提高能力。

数学源于生活，而又服务于生活。本节课的内容与生活是息息相关的，因此学生反映很热烈，学起来也不困难。因此这节课我采用了多媒体教学，使抽象的图形直观化，生活化；通过图片的折叠和旋转使复杂的问题简单化，学生也比较容易接受，从而突破了难点，达到了本节课的教

学目标。因此在今后的教学中应注重贴近学生的实际生活，从学生的角度去挖掘素材，找准突破点，尽可能地使数学生活化，趣味化，使学生自愿地去亲身经历数学，体验数学，从而达到我们教学的目的

《直线和圆的位置关系》教学反思

在《直线和圆的位置关系》这节课中，我首先由生活中的情景——日落引入，让学生发现地平线和太阳位置关系的变化，从而引出课题：直线和圆的位置关系。然后由学生平移直尺，自主探索发现直线和圆的三种位置关系，给出定义，联系实际，由学生发现日常生活中存在的直线和圆相交、相切、相离的现象，紧接着引导学生探索三种位置关系下圆心到直线的距离与圆半径的大小关系，由“做一做”进行应用，最后去解决实际问题。通过本节课的教学，我认为成功之处有以下几点：

１．由日落的三张照片（太阳与地平线相离、相切、相交）引入，学生比较感兴趣，充分感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，体验到数学来源于实践。对生活中的数学问题发生好奇，这是学生最容易接受的学习数学的

好方法。新课标下的数学教学的基本特点之一就是密切关注数学与现实生活的联系，从生活中“找”数学，“想”数学，让学生真正感受到生活之中处处有数学。

２．在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，我先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，学生很轻松的就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化，这种等价关系是研究切线的理论基础，从而为下节课探索切线的性质打好基础。

３．新课标下的数学强调人人学有价值的数学，人人学有用的数学，为此，在做一做之后我安排了一道实际问题：“经过两村庄的笔直公路会不会穿越一个圆形的森林公园？”培养学生解决实际问题的能力。由于此题要学生回到生活中去运用数学，学生的积极性高涨，都急着讨论解决方案，是乏味的数学学习变得有滋有味，使学生体会到学数学的重要性，体验“生活中处处用数学”。

同时，我也感觉到本节课的设计有不妥之处，主要有以下三点：

１．学生观察得到直线和圆的三种位置关系后，是由我讲解的三个概念：相交、相切、相离。学生被动的接受，对概念的理解不是很深刻，可以改为让学生下定义，师生共同讨论的形式给学生以思维想象的空间，充分调动学生的积极性，使学生实现自主探究。

２．虽然我在设计本节课时是体现让学生自主操作探究的原则，但在让学生探索直线和圆三种位置关系所对应的数量关系时，没有给予学生足够的探索、交流的时间，限制了学生的思维。此处应充分发挥小组的特点，让学生相互启发讨论，形成思维互补，集思广益，从而使概念更清楚，结论更准确。

《用配方法解一元二次方程》教学反思

通过本节课的教学，大部分同学能利用配方法解一元二次方程，并能独立讲述用配方法解一元二次方程的步骤。明白了用配方法解一元二次方程关键是配方，都能正确在方程两边加上一次项系数的平方。

教师围绕着用配方法解一元二次方程进行教学。教学中做了重点突出，难点突破，对用配方法解一元二次方程的

步骤讲得很清楚，反复强调配方的方法，让学生齐读配方法解一元二次方程的步骤，分组读，齐背，特别是配一次项系数一半的平方教师在整节课中强调了十多次。教师也很重视例题的讲解，规范地板书了两个例子的解答过程，同时也像学生强调了解题的书写格式，然后有学生独立完成，完成效果好。

通过本节课的教学发现也存在着一些问题：其一，完全平方式写错。把两数差的平方写成了两数和得平方。其二，非负数的平方根求错，或二次根式未化成最简二次根式。其三，一项未变号。其四，少数同学配方时左边加了一次项系数一半的平方，但右边忘记加。针对上面各种情况教师利用课余时间对存在问题的学生逐个讲解。

教师方面也存在着要加强的地方：1教师普通话有待提高2讲授有时语速过快，声音较大3有的知识重复次数太多4学生自己动手练习时间偏少

《二次根式的加减》教学反思

本节课开始时，首先由一个求修建两块运动场的草坪

人教版九年数学案例及反思篇二：新人教版九年级数学上配方法教学设计与反思

人教版九年数学案例及反思篇三：新人教版九年级数学全册教学反思

新人教版九年级数学全册教学反思

《垂直于弦的直径》教学反思

本节课力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，教师要注意角色的转变，成为学生学习的组织者、参与者、合作者，教师的责任是为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法。整堂课以思维为主线，充分利用直观教具与学具及计算机辅助教学，让学生充分参与数学学习，融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体，通过“实验——观察——猜想——证明——应用”，使学生在获得知识的同时提高兴趣，增强信心，提高能力。

数学源于生活，而又服务于生活。本节课的内容与生活是息息相关的，因此学生反映很热烈，学起来也不困难。因此这节课我采用了多媒体教学，使抽象的图形直观化，生活化；通过图片的折叠和旋转使复杂的问题简单化，学生也比较容易接受，从而突破了难点，达到了本节课的教学目标。因此在今后的教学中应注重贴近学生的实际生活，

从学生的角度去挖掘素材，找准突破点，尽可能地使数学生活化，趣味化，使学生自愿地去亲身经历数学，体验数学，从而达到我们教学的目的

《直线和圆的位置关系》教学反思

在《直线和圆的位置关系》这节课中，我首先由生活中的情景——日落引入，让学生发现地平线和太阳位置关系的变化，从而引出课题：直线和圆的位置关系。然后由学生平移直尺，自主探索发现直线和圆的三种位置关系，给出定义，联系实际，由学生发现日常生活中存在的直线和圆相交、相切、相离的现象，紧接着引导学生探索三种位置关系下圆心到直线的距离与圆半径的大小关系，由“做一做”进行应用，最后去解决实际问题。通过本节课的教学，我认为成功之处有以下几点：

１．由日落的三张照片（太阳与地平线相离、相切、相交）引入，学生比较感兴趣，充分感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，体验到数学来源于实践。对生活中的数学问题发生好奇，这是学生最容易接受的学习数学的好方法。新课标下的数学教学的基本特点之一就是密切关

注数学与现实生活的联系，从生活中“找”数学，“想”数学，让学生真正感受到生活之中处处有数学。

２．在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，我先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，学生很轻松的就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化，这种等价关系是研究切线的理论基础，从而为下节课探索切线的性质打好基础。

３．新课标下的数学强调人人学有价值的数学，人人学有用的数学，为此，在做一做之后我安排了一道实际问题：“经过两村庄的笔直公路会不会穿越一个圆形的森林公园？”培养学生解决实际问题的能力。由于此题要学生回到生活中去运用数学，学生的积极性高涨，都急着讨论解决方案，是乏味的数学学习变得有滋有味，使学生体会到学数学的重要性，体验“生活中处处用数学”。

同时，我也感觉到本节课的设计有不妥之处，主要有以下三点：

１．学生观察得到直线和圆的三种位置关系后，是由

我讲解的三个概念：相交、相切、相离。学生被动的接受，对概念的理解不是很深刻，可以改为让学生下定义，师生共同讨论的形式给学生以思维想象的空间，充分调动学生的积极性，使学生实现自主探究。

２．虽然我在设计本节课时是体现让学生自主操作探究的原则，但在让学生探索直线和圆三种位置关系所对应的数量关系时，没有给予学生足够的探索、交流的时间，限制了学生的思维。此处应充分发挥小组的特点，让学生相互启发讨论，形成思维互补，集思广益，从而使概念更清楚，结论更准确。

《用配方法解一元二次方程》教学反思

通过本节课的教学，大部分同学能利用配方法解一元二次方程，并能独立讲述用配方法解一元二次方程的步骤。明白了用配方法解一元二次方程关键是配方，都能正确在方程两边加上一次项系数的平方。

教师围绕着用配方法解一元二次方程进行教学。教学中做了重点突出，难点突破，对用配方法解一元二次方程的步骤讲得很清楚，反复强调配方的方法，让学生齐读配方法解一元二次方程的步骤，分组读，齐背，特别是配一次

项系数一半的平方教师在整节课中强调了十多次。教师也很重视例题的讲解，规范地板书了两个例子的解答过程，同时也像学生强调了解题的书写格式，然后有学生独立完成，完成效果好。

通过本节课的教学发现也存在着一些问题：其一，完全平方式写错。把两数差的平方写成了两数和得平方。其二，非负数的平方根求错，或二次根式未化成最简二次根式。其三，一项未变号。其四，少数同学配方时左边加了一次项系数一半的平方，但右边忘记加。针对上面各种情况教师利用课余时间对存在问题的学生逐个讲解。

教师方面也存在着要加强的地方：1教师普通话有待提高2讲授有时语速过快，声音较大3有的知识重复次数太多4学生自己动手练习时间偏少

《二次根式的加减》教学反思

本节课开始时，首先由一个求修建两块运动场的草坪面积的实际问题出发，引导学生得出两个二次根式求和的运算。从而提出问题：如何进行二次根式的加减运算?这样

人教版九年数学案例及反思篇四：新人教版九年级数学全册教学反思

新人教版九年级数学全册教学反思

《垂直于弦的直径》教学反思

本节课力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，教师要注意角色的转变，成为学生学习的组织者、参与者、合作者，教师的责任是为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法。整堂课以思维为主线，充分利用直观教具与学具及计算机辅助教学，让学生充分参与数学学习，融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体，通过“实验——观察——猜想——证明——应用”，使学生在获得知识的同时提高兴趣，增强信心，提高能力。

数学源于生活，而又服务于生活。本节课的内容与生活是息息相关的，因此学生反映很热烈，学起来也不困难。因此这节课我采用了多媒体教学，使抽象的图形直观化，生活化；通过图片的折叠和旋转使复杂的问题简单化，学生也比较容易接受，从而突破了难点，达到了本节课的教学目标。因此在今后的教学中应注重贴近学生的实际生活，

从学生的角度去挖掘素材，找准突破点，尽可能地使数学生活化，趣味化，使学生自愿地去亲身经历数学，体验数学，从而达到我们教学的目的

《直线和圆的位置关系》教学反思

在《直线和圆的位置关系》这节课中，我首先由生活中的情景——日落引入，让学生发现地平线和太阳位置关系的变化，从而引出课题：直线和圆的位置关系。然后由学生平移直尺，自主探索发现直线和圆的三种位置关系，给出定义，联系实际，由学生发现日常生活中存在的直线和圆相交、相切、相离的现象，紧接着引导学生探索三种位置关系下圆心到直线的距离与圆半径的大小关系，由“做一做”进行应用，最后去解决实际问题。通过本节课的教学，我认为成功之处有以下几点：

１．由日落的三张照片（太阳与地平线相离、相切、相交）引入，学生比较感兴趣，充分感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，体验到数学来源于实践。对生活中的数学问题发生好奇，这是学生最容易接受的学习数学的好方法。新课标下的数学教学的基本特点之一就是密切关注数学与现实生活的联系，从生活中“找”数学，“想”数

学，让学生真正感受到生活之中处处有数学。

２．在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，我先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，学生很轻松的就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化，这种等价关系是研究切线的理论基础，从而为下节课探索切线的性质打好基础。

３．新课标下的数学强调人人学有价值的数学，人人学有用的数学，为此，在做一做之后我安排了一道实际问题：“经过两村庄的笔直公路会不会穿越一个圆形的森林公园？”培养学生解决实际问题的能力。由于此题要学生回到生活中去运用数学，学生的积极性高涨，都急着讨论解决方案，是乏味的数学学习变得有滋有味，使学生体会到学数学的重要性，体验“生活中处处用数学”。

同时，我也感觉到本节课的设计有不妥之处，主要有以下三点：

１．学生观察得到直线和圆的三种位置关系后，是由我讲解的三个概念：相交、相切、相离。学生被动的接受，

对概念的理解不是很深刻，可以改为让学生下定义，师生共同讨论的形式给学生以思维想象的空间，充分调动学生的积极性，使学生实现自主探究。

２．虽然我在设计本节课时是体现让学生自主操作探究的原则，但在让学生探索直线和圆三种位置关系所对应的数量关系时，没有给予学生足够的探索、交流的时间，限制了学生的思维。此处应充分发挥小组的特点，让学生相互启发讨论，形成思维互补，集思广益，从而使概念更清楚，结论更准确。

《用配方法解一元二次方程》教学反思

通过本节课的教学，大部分同学能利用配方法解一元二次方程，并能独立讲述用配方法解一元二次方程的步骤。明白了用配方法解一元二次方程关键是配方，都能正确在方程两边加上一次项系数的平方。

教师围绕着用配方法解一元二次方程进行教学。教学中做了重点突出，难点突破，对用配方法解一元二次方程的步骤讲得很清楚，反复强调配方的方法，让学生齐读配方法解一元二次方程的步骤，分组读，齐背，特别是配一次项系数一半的平方教师在整节课中强调了十多次。教师也很重视例题的讲解，规范地板书了两个例子的解答过程，同时也像学生强调了解题的书写格式，然后有学生独立完成，完成效果好。

通过本节课的教学发现也存在着一些问题：其一，完全平方式写错。把两数差的平方写成了两数和得平方。其二，非负数的平方根求错，或二次根式未化成最简二次根式。其三，一项未变号。其四，少数同学配方时左边加了一次项系数一半的平方，但右边忘记加。针对上面各种情况教师利用课余时间对存在问题的学生逐个讲解。

教师方面也存在着要加强的地方：1教师普通话有待提高2讲授有时语速过快，声音较大3有的知识重复次数太多4学生自己动手练习时间偏少

《二次根式的加减》教学反思

本节课开始时，首先由一个求修建两块运动场的草坪面积的实际问题出发，引导学生得出两个二次根式求和的运算。从而提出问题：如何进行二次根式的加减运算?这样通过问题指向本课研究的重点，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望。然后指导学生根据问题导读单，去自学课本。通过自学课本再完成问题导读单，从而自己独立学习结合小组合作学习掌握二次根式的加减运算。

通过我深入小组搜集信息、指导学习，发现学生具备自学能力，独立自学时很肃静，同学们都能够通过翻阅课本自己独立完成一些问题。合作学习时也很热闹，同学们都能够交流自己的见解，并且能够针对一些见解提出自己

人教版九年数学案例及反思篇五：新人教版九年级下册(全册)数学教案

二次函数

26．1 二次函数

[本课知识要点]

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM及创新思维]

（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]

例1． m取哪些值时，函数y(mm)xmx(m1)是以x为自变量的二次函数？ 分析 若函数y(mm)xmx(m1)是二次函数，须满足的条件是：

2

22

2

m2m0．

解 若函数y(mm)xmx(m1)是二次函数，则 mm0． 解得 m0，且m1．

因此，当m0，且m1时，函数y(mm)xmx(m1)是二次函数． 回顾与反思 形如yaxbxc的函数只有在a0的条件下才是二次函数． 探索 若函数y(mm)xmx(m1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？

例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．

1

2

22

2

2

2

2

2

解 （1）由题意，得 S6a(a0)，其中S是a的二次函数；

2

x2

（2）由题意，得 y(x0)，其中y是x的二次函数；

4

（3）由题意，得 y100001.98%x10000（x≥0且是正整数），

其中y是x的一次函数； （4）由题意，得 S

11

其中S是x的二次函数． x(26x)x213x(0x26)，

22

例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余

下的部分做成一个无盖的盒子．

(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积． 解 （1）S154x2254x(0x

2

222

15)； 2

（2）当x=3cm时，S22543189（cm2）． [当堂课内练习]

1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）yx0 （3）yx

22

（2）y(x2)(x2)(x1)

2

12

（4）yx2x3 x

k2k

2．当k为何值时，函数y(k1)x

2

1为二次函数？

3．已知正方形的面积为y(cm)，周长为x（cm）． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)判断y是否为x的二次函数． [本课课外作业]

A组

1． 已知函数y(m3)x

2m27

是二次函数，求m的值．

2． 已知二次函数yax，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．

3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱

的底面半径x为3，求此时的y．

4． 用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之

2

间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

B组

5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A．y(m1)x B．y(m1)x C．y(m1)x D．y(m1)x 6．下列函数关系中，可以看作二次函数yaxbxc（a0）模型的是 （ ） A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计

空气阻力）

D． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]

26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）

教学目标

(一)知识与技能

1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．

3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标． (二)过程与方法

1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．

2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．

3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识． (三)情感态度与价值观

1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性， 2．具有初步的创新精神和实践能力． 教学重点

1．体会方程与函数之间的联系．

2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根． 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标． 教学难点

1．探索方程与函数之间的联系的过程．

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．

22

现在我们学习了一元二次方程ax+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?

2.选教材提出的问题，直接引入新课 Ⅱ．合作交流 解读探究

1.二次函数与一元二次方程之间的关系 探究：教材问题 师生同步完成.

观察：教材22页，学生小组交流.

归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳. Ⅲ.应用迁移 巩固提高

1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根 同期声

2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.

3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况 Ⅳ．总结反思 拓展升华 本节课学了如下内容：

1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系．

2．理解了二次函数与x轴交点的个数

与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.

3.数学方法:分类讨论和数形结合.

反思：在判断抛物线与x轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案

Ⅴ．课后作业P231.3.5

26．2 二次函数的图象与性质（1）

[本课知识要点]

会用描点法画出二次函数yax的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM及创新思维]

我们已经知道，一次函数y2x1，反比例函数y

4

2

3

的图象分别是 x

yx的图象是什么呢？

（1）描点法画函数yx的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？

（2）观察函数yx的图象，你能得出什么结论？

[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）y2x

2

2

2

2

（2）y2x

2

分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：y2x的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对

称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．

2

y2x2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对

称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．

回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知y(k2)x

k2k4

是二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴．

k2k42

解 （1）由题意，得， 解得k=2．

k20

5

人教版九年数学案例及反思篇六：人教版九年级数学下册 教案

26.1二次函数

第1课时

教学目标 1．知识与技能

能够表示简单变量间的二次函数关系．理解二次函数的意义与特征，提高学生的分析，概括的能力. 2．过程与方法

逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函数的定义，获得用二次函数来表示变量之间关系的体验.

3．情感、态度与价值观

进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛应用中的作用． 教学重点难点 1．教学重点

二次函数实例分析、二次函数定义的理解 2．教学难点

从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系． 课型与课时

新课 第一节课 教学手段

教案，尺子，粉笔 教学方法

提问法，练习法，总结法 教学过程

（一）创设情境 导入新课

导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用，从而导人新课

导语二 观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片（或在黑板画出示意图）．思考：为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导人新课．

导语三 观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线 „ „ 探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？ （二）合作交流 解读探究 1．用自变量的二次式表示函数关系

- 1 -

【想一想】① 正方体的棱长为x，表面积为y，则y＝ 6x2 ．（用含x的代数式表示） ② 圆的面积为S，半径为R，则S = лr2（用含 R 的代数式表示） 【探究 l】多边形的对角线d与边数n有什么关系？

【思路分析】从多边形的一个顶点出发，可以作多少条对角线？从n个顶点出发，又可以作多少条对角线？

【答案】从多边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，从n个顶点出发，可以作条对角线.即d=

12

12

²n²（n-3）

²n²（n-3）.

【点评】思路是从简单到复杂． 【易错点】对关系式中

12

不很理解.

【探究2】某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍那么，两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定．y 与x之间的关系应怎样表示？

【解析】一年后的产量为20(1+x). 再过一年后的产量为20(1+x). 即两年后的产量为20(1+x)2. 【答案】y=20(1+x)

【点评】此题必须理解每一年的产量. 2．二次函数的定义 观察比较以下关系式 ①y=bx2；②d=

12

2

2

n²（n-3）即y

12

n

2

32

n；③y=20(1+x)即y=20x+40x+20

22

函数①②③有什么共同点与不同点．

共同点：A. 等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式 B．等式的右边可统一为“ax2+bx+c”的形式．

二次函数：一般地，形如y=ax+bx+c （a, b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数． 【注意】①函数y=ax2+bx+c中，a≠0是必要条件，切不可忽视．而b，c的值可以为任何实数． ② 定义是关于x的二次整式（切不可把“y=x+（三）应用迁移巩固提高

类型之一 二次函数定义的判定及其应用 例1下列函数是二次函数的有

- 2 -

2

2

1x

+3，也当成二次函数)

A.y=8x2+1 B.y=2x-3 C.y=3x2+

1x

2

D.y=

3x

【解析】A 符合二次函数定义，故它是二次函数． B.是一次函数． C,D都出现分式，故C,D都不是二次函数.

【答案】A

【点评】紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②ax2+bx+c是整式（二次三项式）. 变式题 若y=(b-1)x+3是二次函数，则b≠1. 类型之一 实际问题中的二次函数

例2 一个正方形的边长是12cm.若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形.剩余的部分的面积为ycm2.

（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数.

（2）当小长方形的长中x的值为2，4时，相应的剩余部分面积是多少？ 【分析】可画出示意图，剩余面积=正方形面积-小长方形面积. 解：（1）y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144

∴y是x的二次函数.

（2）当x=2，4时，相应的y的值分别为132cm2，104cm2.

【点评】几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来. 变式题 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式. 【分析】S表=S侧+2S底 解：S侧=2лr·r=2лr2，S底=лr2，

∴S表=2 S底+ S侧=2лr2+2лr2=4лr2.

【点评】S侧=Ch=2лr²h.此公式易记错，需借助侧面展开图加强理解.

例2 n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式. 【分析】将n支球队看作是平面内的n各点（任意三点不在同一直线），再将任意两点作为线段的端点连接起来，找出共有多少条线段即可.

解：m=

12

2

n²（n-1），即m=

12

n-

2

12

n.

【点评】这类问题可用数形结合的方法来研究，很直观。

板书设计

- 3 -

探究

1. 二次函数y=ax2中，当x=1时，y=2，则a= 2 . 【解析】将x=1，y=2，代入y=ax2中，解得a=2.

2. 已知函数y=(a+2)x+x+3是二次函数，则常数a的取值范围是【解析】∵二次函数中二次项系数不能为0. ∴a+2≠0,即 a≠-2 3. 下列函数中是二次函数的是 （ C ） A.y

1x

2

2

x1 B.y=x-(x+1) C.y

22

12

x3x1 D.y=x+x-2

22

-1

【分析】只有C满足二次函数的定义 4. 设y=y1-y2，y1与

1x

成反比列，y2与x2成正比列，则y与x的函数关系是（ C ）

A.正比列函数 B. 反比列函数 C. 二次函数 D. 一次函数 【解析】∵y1与

1x

成反比列，∴可设y1

k11x

，即y1=k1x（k1≠0）.

∵y2与x2成正比列，∴可设y2=k2x2（k2≠0）∴y=y1-y2=k1x- k2x2， ∴y是x的二次函数.

布置作业：

课后反思：

- 4 -

26.1二次函数

第2课时

教学目标 1．知识与技能

能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质 2．过程与方法

经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法. 3．情感、态度与价值观

在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感． 教学重点难点 教学重点

函数y=ax的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax的图象与性质 教学难点

用描点的方法准确地画出函数y=ax的图象，掌握其性质特征． 课型，课时 新课 第二节课 教学手段

教案，尺子，粉笔，黑板 教学方法

提问法，练习法，总结法 教学过程

（一）创设情境 导入新课

导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？、 导语二 展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？ 导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？

（二）合作交流 解读探究

1．函数y=ax2 的图象画法及相关名称 【探究 l】画y=x2的图象

学生动手实践、尝试画y=x的图象

- 5 -

2

2

2

2

人教版九年数学案例及反思篇七：初中数学新课标人教版九年级教材的教材解读与教学反思

初中数学新课标人教版九年级教材的教材解读与教学反思（基教课改讲座十之7）

主讲人：钟炜（四川省自贡市荣县教研室主任）时间：2010年12月26日

编者按:本人对“基教课改讲座”分为若干个系列，对每个系列分为若干个专题。本文《初中数学新课标人教版九年级教材的教材解读与教学反思（基教课改讲座系列十[数学九年级]之专题7）》，分为两个版块:一是新课标人教版九年级数学教材的教材解读，二是新课标人教版九年级数学教材的教学反思。致谢各

位原作者和诸位读者。

一、新课标人教版九年级数学教材的教材解读

原作者：灵宝市三中 赵娟丽 日期：2009年9月12日

王敏勤教授说过：“无论课程改革怎样改，钻研教材把握教材是我们教师永远的基本功。”只有把握好教材，教师在教学中才能游刃有余。下面将从6个方面对人教版九年级数学教材的理解，作解读并与大家

交流。

1.1、课程标准对本学段的基本要求.

新课标将初中数学分为：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与运用四个领域进行阐述，拓宽了学习的知识面，使学生尽早体会到数学的全貌，破除数学的神秘感，从而树立起学好数学的信心。

⑴数与代数。教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律。注重使学生经

历从实际问题中建立数学模型。

⑵空间与图形。教学中，应注重所学内容与现实生活的联系。注重使学生经历观察、操作、推理、

想象等探索过程。

⑶统计与概率。教学中，应注重所学内容与自然、社会和科学技术领域的联系。使学生体会统计与

概率，对制定决策的重要作用。

⑷实践与运用。教学时应引导学生结合生活经验，清楚地表达自己的观点，并能解决一些实际问题。

1.2、教材的编写意图和体例实排.

⑴体例安排。

①每章均配有为教师导入新课、学生预习所用的引人入胜的章前图和引言，例如：学习“用函数观点看一元二次方程”从一个斜抛物体（例如高尔夫球）的飞行高度问题入手，以给出二次函数的函数值反过来求自变量的值的形式，用函数观点讨论一元二次方程的根的几种不同情况，最后结合二次函数的图象（抛物线）归纳出一般性结论，并介绍了利用图象解一元二次方程的方法。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。同学们个个兴趣盎然，很快在前言中找到了答案。激动的他们迫切地要学习每章安排具有一定综合性，实践性、开放性的“数学活动”，学生可以有选择地进行活动，不同的学生达到不同层次的发展。章后安排了小结，包括本章的知识结构图和本章内容的回顾与思考，利于学生复习本

单元的重难点，也益于他们找到掌握不到位的知识。

②正文设置“思考”“探究”“归纳”等栏目，为学生提供思维发展和交流的空间。

例如：学习“实际问题与二次函数”安排了三个探究性问题，以商品价格、磁盘存储量和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。教材从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问

题的能力。适当安排“观察与猜想”“实验与探究”“阅读与思考”“信息技术应用”等选学内容来加深对相关内容

的认识、了解数学发展史、扩大学生知识面。激发学生学习数学的兴趣。

③章后安排了供课上使用的练习题 ，供课内或课外作业选用的习题；供全章复习时选用的复习题。

分类分层体现知识的应用性。

⑵编写意图。

①正确处理数学，社会，学生三者的关系，适应科技发展的形势，关注社会进步的需求，更新对数学基础知识和基本技能的认识，注重培养理性精神和创新意识，提高学生发现、提出、分析和解决问题的

能力。

②遵循认知规律，为学生创造自主探究，合作交流的空间，为教师营造教学创新的氛围，为师生互动式教学提供丰富的资源。促进现代信息技术与数学课程的整合，改进教材的呈现方式，提高学生学习数

学的兴趣。

1.3、说教材内容和逻辑线索.

九年级教材包含四大领域，共9章内容，上册5章，下册4章，内容如下。

⑴九年级下册书包括5章。

①第21章二次根式。

ⅰ在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握一些重要结论。关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到，并运用它们进行

二次根式的化简。

ⅱ“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。

②第22章一元二次方程。

ⅰ学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 ── 一元二次方程。本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元

二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念。

ⅱ“ 降次──解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。 （a）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出。这样的方程可以化为更为简单的方程，由平方根的

概念，可以得到这个方程的解。

（b）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数

根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。

（c）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元

二次方程的方法进行小结。

ⅲ“实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速

运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

③第23章旋转。

ⅰ旋转学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。“旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基

础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。 ⅱ“中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系，以及利用这一关系作与

一个图形成中心对称的图形的方法。

ⅲ“课题学习 图案设计”一节让学生探索图形之间的变换关系（平移、轴对称、旋转及其组合），灵

活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计。

④第24章圆。

ⅰ圆是一种常见的图形。在“圆”这一章，学生将进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习，学生的解决图形问题的能力将会进一步提高。“ 圆”一节首先介绍圆及其有关概念。然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论，并运用这些结论解决问题。接下来，让学生探究弧、弦、圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。最后让学生探究圆周角与圆心角的关系，并运用上

述关系解决问题。

ⅱ“与圆有关的位置关系”一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念，并通过证明“在同一直线上的三点不能作圆”引出了反证法。然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有

关的结论。最后介绍圆和圆的位置关系。

ⅲ“正多边形和圆”一节揭示了正多边形和圆的关系，介绍了等分圆周得到正多边形的方法。

ⅳ“弧长和扇形面积”一节首先介绍弧长公式。然后介绍扇形及其面积公式。最后介绍圆锥的侧面积公

式。

⑤第25章概率初步。

ⅰ概率初步将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面也可能出现反面，出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢？学了“概率”一章，学生就能更好地认识这个问题了。掌握了概率的初步知识，学生还会解决更多的实际问题。“ 概率”一节首先通过实例介绍随机事件的概念，然后通过掷币问题引出概率的概念。

ⅱ“用列举法求概率”一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安排运用这种方法求概

率的例题。在例题中，涉及列表及画树形图。

ⅲ“利用频率估计概率”一节通过幼树成活率和柑橘损坏率等问题介绍了用频率估计概率的方法。 ⅳ“课题学习 键盘上字母的排列规律”一节让学生通过这一课题的研究体会概率的广泛应用。

⑵九年级下册书包括4章。

①第26章二次函数。

ⅰ第1节“二次函数”首先从简单的实际问题出发，从中引发和归纳出二次函数的概念；然后由函数开始，逐步深入地、由特殊到一般地、数形结合地讨论图象和基本性质，最后安排了运用二次函数基本性质探究最大（小）值的问题。这些内容都是二次函数的基础知识，它们为后面两节的学习打下理论基础。

ⅱ第2节“用函数观点看一元二次方程”从一个斜抛物体（例如高尔夫球）的飞行高度问题入手，以给出二次函数的函数值反过来求自变量的值的形式，用函数观点讨论一元二次方程的根的几种不同情况，最后结合二次函数的图象（抛物线）归纳出一般性结论，并介绍了利用图象解一元二次方程的方法。这一节

是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

ⅲ第3节“实际问题与二次函数”安排了三个探究性问题，以商品价格、磁盘存储量和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。教材从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的

能力。

②第27章相似。

ⅰ“图形的相似”从学生熟悉的一些实际问题说起，引出相似图形的概念，以及相似多边形的概念、性

质等，使学生对相似先有一个一般性的认识。

ⅱ“相似三角形”的内容是讨论最基本的多边形──三角形的相似关系，这是认识相似关系的基础，也是本章的重点内容。教材首先安排了证明了“过三角形一边中点且平行于另一边的直线，截出的三角形与原三角形相似”，然后将其推广到更一般的结论“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”。在此基础上，教材安排了三个探究问题，引导学生得出相似三角形的三种主要判定方法。

教材对于其中第一个问题进行了推导证明，另两个问题的推导证明安排学生自己完成。

ⅲ“位似”讨论一种图形变换──位似变换。位似是一种特殊的相似，它的特殊性表现在“两个相似图形的对应点的连线都交于一点（位似中心）”。教材安排了利用坐标描述位似变换的内容，这是数形结合方法的体现。本套教材中先后共出现了四种图形变换：平移、轴对称、旋转和位似，本节最后安排了一幅包含

这四种变换的图案，学生通过思考图案中的问题，可以对四种变换进行综合回顾。

③第28章锐角三角函数。

ⅰ“锐角三角函数”中，教材从沿山坡铺设水管的问题谈起，通过讨论直角三角形中直角边与斜边的比，使学生感受到锐角的大小确定后相应边的比也随之确定，而且不同的角度对应不同的比值，这种对应正是函数关系。教材设置了“探究”栏目，让学生通过自主探究，利用相似三角形得出结论，由此引出正弦函数的概念。在此基础上，引导学生类比对正弦函数的讨论，得出余弦函数和正切函数的定义。接着教材讨论了“已知角的大小求它的三角函数值”和“已知角的三角函数值求角”这两种问题，这样就从两个相反方向再次强调了锐角与其三角函数值之间的一一对应关系。现在计算器已经成为学习和运用三角函数的有力工

具，教材在本节最后介绍了如何使用计算器求三角函数值以及如何由三角函数值求对应的角。

ⅱ“解直角三角形”中，教材借助实际问题背景，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，并归纳出解直角三角形常用的知识和方法。接着教材又结合四个实际问题介绍了解直角三角形在实际中的应用，这些问题的已知条件分别属于几种不同类型，解决方法具有典型性，体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用。本节最后通过对比测量大坝的高度与测量山的高度，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”，“化曲为直，以直代曲”的数学基本

思想。

④第29章投影与视图。

ⅰ“投影”中，首先从物体在日光或灯光下的影子说起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念；然后以铁丝和正方形纸板的影子为例，讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规律；最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同位置关

系时的正投影。整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的。

ⅱ“三视图”讨论的重点是三视图，其中包括三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定、一些基本几何体的三视图等，最后通过6道例题讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化。这一节是全章的重点内容，它不仅包括了有关三视图的基本概念和规律，而且包括了反映立体图形

和平面图形的联系与转化的内容，与培养空间想象能力有直接的关系。

ⅲ“课题学习 制作立体模型”中，安排了观察、想象、制作相结合的实践活动，这是动脑与动手并重的学习内容。进行这个课题学习既可以采用独立完成的形式，也可以采用合作式学习的方式。应该把这个

课题学习看作对前面学习的内容是否切实理解掌握以及能否灵活运用的一次联系实际的检验。

1.4、数学思想方法.

⑴对于数学的学习，如果把数学知识看成是金子，那么点金之术就是数学思想方法。九年级所学的

内容中蕴含着许多重要的数学思想方法。

⑵数学思想方法是从数学知识中提炼出来的数学学科的精髓，是数学的生命和灵魂，是将知识转化

为能力的桥梁，同学们只有领会了数学思想方法才能有效的应用知识、形成能力。

1.5、站在整个初中学段的角度该怎样处理这套教材.

如果从初始年级教到毕业班，教师在处理教材时要注意以下四点。

⑴简约——化难为易，易于理解。就是教师对教材进行挖掘、梳理、浓缩，使课堂教学内容化难为

易，学生易于理解掌握。

⑵扩充——多向思维，开拓思路。就是根据课堂教学的实际需要，对教材内容进行适当的补充、增

加。

⑶探究——以疑促思，体验感悟。通过教师对教材的加工和处理，使课堂上学生的活动更具有探究

性。

⑷拓展——扩展课外，延伸社会。既立足于课堂，又不局限于课堂，努力做到课堂向课前延伸，向

课后拓展，向大自然、社会和家庭开放，努力促进多种教学资源的利用。

⑸总而言之。好的教学效果＝好的教学内容＋好的呈现形式＋好的教学方法

1.6、设想学生收获.

走近学生你会发现他们收获很多。

⑴获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识及基本的数学思想方法和必要的应用

技能。

⑵初步学会运用数学的思想方式观察、分析现实社会，去解决日常生活中其它学科中的问题，增强

应用数学的意识。

⑶体会数学与自然及人类社会的联系，了解数学的价值增进对数学的理解和学好数学的信心。

⑷具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都得到充分发展。

人教版九年数学案例及反思篇八：2014-2015新人教版九年级数学全册教案

第二十一章 一元二次方程

单元要点分析

教材内容

1．本单元教学的主要内容．

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．

2．本单元在教材中的地位与作用．

一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．

教学目标

1．知识与技能

了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．

2．过程与方法

（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．

（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．

（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．

（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．

（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．

（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．

3．情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．

教学重点

1．一元二次方程及其它有关的概念．

2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．

3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．

教学难点

1．一元二次方程配方法解题．

2．用公式法解一元二次方程时的讨论．

3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别． 教学关键

1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．

2．用配方法解一元二次方程的步骤．

3．解一元二次方程公式法的推导．

课时划分

本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：

21．1 一元二次方程 2课时

21．2 降次──解一元二次方程 7课时

21．3 实际问题与一元二次方程 5课时

发现一元二次方程根与系数的关系 2课时

第1课时 21．1 一元二次方程

教学内容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．

教学目标

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．

1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．

2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．

3．解决一些概念性的题目．

4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点关键

1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

教学过程

一、复习引入

学生活动：列方程．

问题（1）古算趣题：“执竿进屋”

笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。

有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。

借问竿长多少数，谁人算出我佩服。

如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，长为_______•尺， •根据题意，•得________．

整理、化简，得：__________．

问题（2）如图，如果ACCB，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． ABAC

如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________．

问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．

整理，得：________．

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．

二、探索新知

学生活动：请口答下面问题．

（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

解：略

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．

解：略

三、巩固练习

教材P32 练习1、2

补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？

(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5 =0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0 x

四、应用拓展

例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．

证明：m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

• 练习:1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什

么条件下此方程为一元一次方程？

2.当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程

五、归纳小结（学生总结，老师点评）

本节课要掌握：

（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．

六、布置作业

1．教材P34 习题22．1 1(2)(4)(6)、2．

2．选用作业设计．补充:若x-2x2m-1+3=0是关于x的一元二次方程,求m的值 作业设计

一、选择题

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．

①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5=0 x

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（ ）．

A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）．

A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数

二、填空题

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为

_________．

2．一元二次方程的一般形式是__________．

3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．

三、综合提高题

1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）

（x+1）是一元二次方程？

2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？

3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：

设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：

第一步：

所以，第二步：

所以，________<x<__________

（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；

（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．

课后反思

第2课时 21．1 一元二次方程

教学内容

1．一元二次方程根的概念；

2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标

了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．

提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．

重难点关键

1．重点：判定一个数是否是方程的根；

2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是

人教版九年数学案例及反思篇九：人教版九年数学28.2

教 学 设 计

总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。

人教版九年数学案例及反思篇十：人教版九年数学26.2.1

教 学 设 计

总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“文案”。

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