人教版八年级数学上册第15章教案

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人教版八年级数学上册第15章教案篇一：最新人教版八年级上册第15章《分式》全章教案(共12份)

一、课前导学：（学生自学课本126-127页内容，并完成下列问题） 1、单项式和多项式统称 . 2、

3

表示 ÷ 的商，(可以表示为 . 2ab)(mn)5

2

3、填空：⑴长方形的面积为10cm，长为7cm，宽应为；长方形的面积为S，长为a，宽应为 . ⑵把体积为200cm的水倒入底面积为33cm的圆柱形容器中，水面高度为 cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为 . 思考：式子

3

2

svx2x1，，，有什么共同点？ 答： asx5x2

它们与分数有什么相同点和不同点？ 答：相同点： ，不同点 4【、定义】一般地，形如A的式子叫做分式，其中A和B均为 ，B中含有 .

B5、⑴当x 时，分式

x

有意义；

3xx1x3x3

⑶当x 时，分式有意义； ⑷当x＝ 时，分式无意义

2x52x6

有意义； ⑵当x 时，分式

【结论】分式有意义的条件是 ；分式无意义的条件是 . 6、当x= 时，分式

2

x3x4

值为零； 当x= 时，分式值为零

x5x

【结论】分式值为零的条件是 .

二、合作、交流、展示： 1.问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

2.例题： 例题1列各式中，哪些是分式，哪些整式？

1xx2312 43xa

（1）（2）（3）（4）（5）x（6） ⑺

xy 2xy22x 4 4

注意：分式的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必

须含有字母，这是分式与整式的根本区别.

例题2. 当x为何值时，下列分式有意义. （1）

x5x3x31

（2）2 （3） （4）2 3x5x4x2xx2例题3当x为何值时，下列分式的值为零

思考：分式

x32x3x29x24（1） （2） （3） ⑷

xx21x5x3xx2三、巩固与应用: 1.填空：

⑴走一段长10千米的路，步行用了2x小时，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少为0.2小时，骑自行车的平均速度为 .

⑵甲完成一项工作需t小时，乙完成同样工作比甲少用1小时，甲乙的工作效率是 . ⑶小李要打一份12000字的文件，第一天他打了2 h，打字速度为字每分钟w字/min，第二天他打

x1

的值可能为0，为什么？

字的速度比第一天快了10字/ min，两天打完全部文件，第二天他字用的时间为 .

2、下列各式中，分式的有 ， 是整式的有 ；

a2b21xa2a51mnxc

①，②，③，④，⑤，⑥2，⑦，⑧，⑨，

abx33x1mn3(ab)xy2

3、下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）

x23x1

A． B． C． D．2

2x12x12x1x2

1

x

xx3x21

4、当x＝ 时，分式2的值为零， 当x＝ 时，分式的值为

2x6xx2

零.

四、小结：１. 式子A是分式的条件是A和B均为 ，B中含有 .

B

２. 分式A有意义的条件是 ，分式A值为零的条件是 .

BB五、作业： 《课本》第133页. 第1、2、3题 六、课后反思：

教 学 过 程 设 计

一、课前导学：（学生自学课本129-131页内容，并完成下列问题）

1.因式分解中平方差公式： ，完全平方公式： . 2.把下列各式分解因式：

⑴6ab2ab＝ ⑵x2y4y＝ ⑶ab2abb＝ 3.填空：⑴

2

2

2

2

3

21024322a5c5

， ， (其中a≠0 )， (其中a≠0 ) 

35639c

分数的基本性质： .

4.【思考】类比分数的基本性质，你能猜想分式的有什么性质？

分式的基本性质： .

AA

＝ （C≠0） ⑵＝ （C≠0） BB

 ⑶ ab2ab2x

5.填空：⑴ ⑵ 2

bba2ac3y6xy

用式子表示为⑴

2x22xy 6xxyxy ⑷ ⑸ ⑹ 

8y4y4x22xxy2xy2ab22ab22b22x22x2x2 5. ⑴ ⑵33222

4b4b2bx2x2x2【定义】与分数的约分类似，利用分式的基本性质，我们可以对分式进行约分.

把一个分式的分子和分母中的 约去，叫做分式的约分.

【定义】把一个分式约分后，分式中的分子和分母没有公因式， 这样的分式

叫做 .

5.把下列分式进行约分：

2

ab22x28m2nx3 ⑶2 ⑷⑴3 ⑵

2bcxx18mnx3x4

二、合作、交流、展示： 1.分式的基本性质：

分式的分子、分母乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. 可用式子表示为：2．例题

例题1.填空：

AACAAC＝ ＝（C≠0） （思考：为什么C≠0） BBCBBC

b1x3xx2x

⑴= ⑵ ⑶⑷

acancnxyy x13x23xyxy



6x2

例题2.约分：

25a2bc3x29(a1)36x212xy6y2

⑴ ⑵2 ⑶ ⑷ 2

1a3x3y15abcx6x9

注意：1、约分的关键步骤是确定分子与分母的公因式，当分子或分母是多项式时，应先分

解因式， 然后再约分.

2、分式约分后的结果是最简分式或整式.

例题3.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

a3abac5xy3

(1) (2) （3)2 ⑷  2222

3babb17b

仔细观察，思考：分子、分母、分式本身的三个符号中，同时改变几个符号， 分式值不会改变？ 三、巩固与应用:

1.若分式 xy 的分子、分母中的x与y同时扩大2倍，则分式的值（ ）

xyA、扩大2倍 B、缩小2倍 C、不变 D、是原来的2倍

2x26a3b23a3b1x2y2xy

2、(1) 2= ;(2) = （3) =; (4) = 32

acancnx3xx38bxy3.约分：

a2ab2(xy)33a2bx2y2

（1） （2） （3）22 ⑷ 2

ab6ab2cyxxy4.不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号. （1）

x2y2ab

（2）

ab3xy

四、小结： 1.分式的基本性质 2.分式约分的步聚 五、作业：《课本》第133页. 第4、5、6题 六、课后反思：

教 学 过 程 设 计

一、课前导学：（学生自学课本131-132页内容，并完成下列问题）

1．分式的基本性质： . 2.填空：⑴

5yyx

＝ ；⑵＝ ；⑶＝ . x3x2x22

3737

和通分：＝ ， ＝ . 812812

12b2

6ab的分式： 4.利用分式的基本性质，把和化成分母都是2

2ab3a

3.把分数

11＝

2ab2ab

＝



2



6ab

，

2b2b＝23a3a2＝ 



2

6ab

【定义】与分数的通分类似，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的

的分式，

叫做分式的通分. 我们把分母6ab叫做分式

思考：最简公分母6ab与分母2ab、3a之间有什么关系？

【定义】一般取各分母的 因式的 的积作公分母，它叫做最简公分母. 【方法】确定最简公分母的步骤： ⑴.系数取： ； ⑵.字母和因式

取： ；⑶.字母和因式的指数取 . 简称为“小、全、高” 5. 指出下列分式分母的最简公分，并把它们通分. ⑴

2

2

2

12b

和的最简公分母， 2

2ab3a

3a

和 解： 最简公分母： 2ab28bc23a3a＝＝ ， ＝＝

2ab28bc28bc22ab2

人教版八年级数学上册第15章教案篇二：新人教版八年级数学上册第15章整式的乘除与因式分解教案

第15章 整式的乘除与因式分解

15.1.1 整式的乘法

教学目标

①感受生活中幂的运算的存在与价值．

②经历自主探索同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这些性质，并会运用它们熟练地进行计算．

③逐步形成独立思考、主动探索的习惯．

④通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力．

教学重点与难点

重点：幂的三个运算性质．

难点：幂的三个运算性质．

教学设计

创设情境导入新课

问题：一种电子计算机每秒可以进行1012次运算，它工作103s可以进行多少次运算?你能用学过的知识解决吗?

从实际问题的导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识．从而构建新的知识体系，同时因为关于底数、指数、幂等概念是在有理数的乘法中学习的，学生可能生疏或遗忘，在新课讲解之前利用这个实际问题进行复习．

3123123学生略作思考后得出，它工作10s可以进行的运算次数是10×10．怎样计算10×10?

根据乘方的意义可以知道：

探究新知1．探一探根据乘方的意义填空：

从引例到“探一探”，“猜一猜”，“说一说”是一个从特殊到一般，从具体到抽象，把幂的底数与指数分两步有层次地进行概括抽象的过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得运算法则．

学生独立思考后回答，教师板演．

2．猜一猜

问：看看计算结果，你能发现结果有什么规律吗?

学生小组讨论后交流结果：不管底数是什么数，只要底数相同，结果就是指数相加．

3．说一说

mnmnm+na×a(m，n是正整数)?学生说出理由，教师板演共同得出结论：a×a=a(m，n都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

注意性质中的m、n的取值范围．

注：要求学生用语言叙述这个性质，即“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．

4．想一想

a×a×a=?

5．做一做

例1教科书第142页的例1(1)～(4)

(5)-a3·a5；

23(6)(x+1)·(x+1)

同底数幂的性质很容易推广到三个以上的同底数幂相乘．

在例1的课堂教学中教师要求学生说明底数是什么，指数是什么，引导学生观察是不是同底数幂相乘，再利用性质进行计算．例1(5)中注意让学生说清“-a”的底数是“a”还是“-a”．性质中的字母可以是单项式也可以是多项式，如例1(6)，把底数进一步扩充到式的范围．

6．自主学习

根据乘方的意义及同底数幂的乘法，让学生自主探究教科书第170页探究问题．学生在独立思考、合作交流的基础上，得出幂的乘方运算性质：(a)=a(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘．

7．做一做

例2教科书第171页的例2(1)～(4)

(5) -(x3)4·x2

8．想一想

让学生自主探究教科书第171页的探究问题，并完成填空．尝试分析运算过程中用到哪些运算律?运算结果有什么规律?

nnn学生自己归纳出积的乘方的运算性质：(ab)=ab(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因

式分别乘方，再把所得的幂相乘．

那么，(abc)n=?

注：和前两个性质的教学一样，这个性质也是先用具体指数为例说明积的乘方的意义和导出性质的每一步依据，从而归纳出一般指数情形的性质．这个性质也很容易推广到三个以上因式的乘方．

9．做一做

例3教科书第172页的例3(1)～(4);补充：(5) [-3(x+y)2]3

例4 计算：x·(x2)3-2x4·x2

比一比

这节课我们学习了三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”．组织学生进行计时比赛，在规定时间内完成教科书第170页、17l页、172页的练习．

深入探究例5计算：(1)(-8)2004·(-0.125)2005(2)(-2)2n+1+2·(-2)2n(n为正整数)．

在这三个性质中的底数、指数中，指数注明为正整数，而底数可以是数、字母或式．把底数进一步扩充到式的范围．

议一议

下面的计算对不对?如果不对，应当怎样改正．

(1)a3·a3=a6； (2)b4·b4=2b4；

(3)x5+x5=x10; (4)y7·y=y8；

(5)(a3)5=a8； (6)a3·a5=a15;

(7)(a)·a=a； (8)(xy)=xy；

33(9)(-2x)=-2x

注：补充议一议与辨析题的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算性质的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．

小结

组织学生讨论和辨析三个运算性质．

2349326mnmn3mnp

课外巩固

1．必做题：教科书第148页习题15.1第1、2题．

2．备选题：

(1)计算：

(2)计算：a·a

mm-1n+2 +amm+2·a+a·an-1mn+1 (3)已知：a=7，b=4，则(ab)=______

(4)已知：3x+2y-3=0，则27x·9y=___________

教学后记 2m

15.1整式的乘法(2)

教学目标:

①探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．

②让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．

教学重点与难点

重点：单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．

难点：单项式与多项式相乘去括号法则的应用．

教学设计

复习引新

1．知识回顾：

回忆幂的运算性质：

am·an=am+n(m，n都是正整数)

即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

(am)n=amn(m，n都是正整数)

即幂的乘方，底数不变，指数相乘．

nnn(ab)=ab(n为正整数)

即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

2．练一练

口答：

幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习．

创设情境引入新课

问题光的速度约为3×10千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×10秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?

注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．

5252地球与太阳的距离约为(3×10)×(5×10)千米．问题是(3×10)×(5×10)等于多少呢?学生提出

运用乘法交换律和结合律可以解决：

(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107(为什么?)

在此处再问学生更加规范的书写是什么?应该是地球与太阳的距离约为1.5×lO8千米．

请学生回顾，我们是如何解决问题的．

探究新知

1．问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗?

学生独立思考，小组交流．

注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．

学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．

ac5·bc2

=(a·c)·(b·c)

=(a·b)·(c·c)

5+2=abc

=abc

注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．

2．试一试：

类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(-5a2b3)·(-4b2c)

ac5和bc2，2c5和5c2，(-5a2b3)和(-4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法?

注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．

学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

3．算一算例1教科书第145页例4

在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则。分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．

例2 小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米? 注：将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．

4．辩一辩教科书第145页练习2

注：辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．

深入探究

1．师生共同研究教科书第145页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．

注：这个实际问题来源于学生的生活实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论．

2．试一试计算：2a2·(3a2-5b)(根据乘法分配律，不难算出结果吧!)

7525252

注：因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．

3．想一想

从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘?

学生发言，互相补充后得出结论：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

4．做一做

教科书第146页例5(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号) 注：学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．

小结

课外巩固

1．必做题：教科书第148页习题15.1第3、4、6题

2．备选题：

(1)若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4，则m-n的值为______

(2)计算：(a3b)2(a2b)3

(3)计算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)

(4)计算：

教学后记

15.1整式的乘法(3)

教学目标

①探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．②让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力．

教学重点与难点

重点：多项式与多项式相乘．

难点：多项式与多项式相乘．

教学设计

复习引新

1．前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学回忆方法．

2．练一练：教科书第147页练习2

我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：

为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部

分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同

的表示方法之间有什么关系?

用不同的方法怎样表示扩大后的绿地面积?用不同的方法得到的代数式

人教版八年级数学上册第15章教案篇三：新版,人教版,数学,八年级上册第十五章《分式》教案

第十五章 分式

15.1分式

15.1.1从分数到分式

一、 教学目标

1． 了解分式、有理式的概念.

2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.

二、重点、难点

1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.

2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.

三、课堂引入

1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：10，s，200，v.

7a33s

2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.

设江水的流速为x千米/时.

轮船顺流航行100千米所用的时间为100小时，逆流航行60千米所用时间60小时，20v20v

所以100=60.

20v20v

20v20v3. 以上的式子100，60，s，v，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同as

点？

五、例题讲解

P5例1. 当x为何值时，分式有意义.

[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解

出字母x的取值范围.

[提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.

(补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？ 2

（1m1（2）m1m3mm2m1

1分母不能为零；○2分子为零，这样[分析] 分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○．．

求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解.

[答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1

六、随堂练习

1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, 7 , 9y, m4, 8y3，1 xx9520y2

2. 当x取何值时，下列分式有意义？

（1）（2）（3）x2432xx2

3. 当x为何值时，分式的值为0？ 3x52x5x21x77x（1）（2）xx5x213x

七、课后练习

1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？

(1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.

（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时.

(3)x与y的差于4的商是 .

x212．当x取何值时，分式无意义？ 3x2

x1的值为0？ 3. 当x为何值时，分式x2x

八、答案：

六、1.整式：9x+4, 9y, m4 分式： 7 , 8y3，1 xx9205y2

2．(1）x≠-2 （2）x≠（3）x≠±2 2

3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1

80七、1．1s,xy; 整式：8x, a+b, xy; xab44

分式：80, s abx

2 2． 3. x=-1 3

课后反思： 3

15.1.2分式的基本性质

一、教学目标

1．理解分式的基本性质.

2．会用分式的基本性质将分式变形.

二、重点、难点

1．重点: 理解分式的基本性质.

2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形.

三、例、习题的意图分析

1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.

2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.

3．P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”

号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.

“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.

四、课堂引入

15313与9与相等吗？为什么？

4202482．说出与之间变形的过程，并说出变形依据？ 4与20248

3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.

五、例题讲解

P7例2.填空：

[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.

P11例3．约分：

[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.

P11例4．通分：

[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

6b， x， 2mn5a3y31593， 7m， 3x。

6n4y

[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.

解：6b

5a

= 6b5a， x3y=x3y，2mn=2mn， 7m7m3x3x= ， =。 6n6n4y4y

六、随堂练习

1．填空： 2x26a3b23a3

(1) 2= (2) = 3x3x3x8bb1x2y2xy（3) = (4) = 2acancnxy

2．约分：

3a2b8m2n2(xy)34x2yz3

（1） （2） （3） （4） 52mn26ab2cyx16xyz

3．通分：

（1）

（3）12ba和 （2）和 2ab35a2b2c2xy3x23ca11和 （4）和 2ab28bc2y1y1

4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号. x3ya35a(ab)2

(1)  (2)  （3) (4) 222m17b13x3ab

七、课后练习

1．判断下列约分是否正确：

（1）aca1xy= （2）2= 2bcbxyxy

mn=0 mn

12x1x1和 （2）和 22223ab7abxxxx

2abx2y （2） ab3xy（3）2．通分： （1）3．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号. （1）

八、答案：

六、1．(1)2x (2) 4b （3） bn+n (4)x+y

2．（1）a4mx2 （2） （3） （4）-2(x-y) 22bcn4z

3．通分：

15ac4b2= ， = 22323235abc10abc2ab10abc

ba3ax2by（2）= 2， 2= 2 3x2xy6xy6xy（1）

3caab12c3

（3）= = 2ab28ab2c28bc28ab2c2

1y11y1（4）= = y1(y1)(y1)y1(y1)(y1)

x3ya35a(ab)2

4．(1) (2)  （3) (4)  222m3ab17b13x

课后反思：

15．2分式的运算

15．2．1分式的乘除(一)

一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.

二、重点、难点

1．重点：会用分式乘除的法则进行运算.

2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 .

三、例、习题的意图分析

1．P13本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是

拉机的工作效率的vm，大拖拉机的工作效率是小拖abnab倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出P14[观mn

察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时，不易耽误太多时间.

2．P14例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简.

3．P14例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.

4．P14例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)=a-2a+1<a-2+1,即(a-1)<a-1.这一点要给学生讲清楚，才能分析清楚“丰收2号”单位面积产量高.（或用求差法比较两代数式的大小）

四、课堂引入

1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高

拖拉机的工作效率的22222vm，问题2求大拖拉机的工作效率是小abnab倍. mn

[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.

1． P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.

3．[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？ 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.

五、例题讲解

P14例1.

[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.

P15例2.

[分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.

P15例.

[分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是500、500，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.2a1a12

人教版八年级数学上册第15章教案篇四：新课标人教版八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解全章教案

第十五章 整式的乘除与因式分解

15．1．1 整式

教学目标

1．单项式、单项式的定义．

2．多项式、多项式的次数．

3、理解整式概念．

教学重点

单项式及多项式的有关概念．

教学难点

单项式及多项式的有关概念．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题

1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？

2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？

结论：

1、要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC•的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，•那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为

2．小王的平均速度是S． t1²c²h． 2

问题：这些式子有什么特征呢？

（1）有数字、有表示数字的字母．

（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．

归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．

判断上面得到的三个式子：a+b+c、1Sch、是不是代数式？（是） 2t

代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式． Ⅱ．明确和巩固整式有关概念

（出示投影）

结论：（1）正方形的周长：4x．

（2）汽车走过的路程：vt．

（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，•所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长³宽³高，即a3．

（4）n的相反数是－n．

分析这四个数的特征．

1它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+cch、2

S中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数t也不尽相同．

请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．

根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、

式？是单项式的，写出它的系数和次数．

11 结论:4x、vt、6a2、a3、-n、ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、．它22

1们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、•ch都是二21Sch、这些代数式中，哪些是单项2t

次单项式；a3是三次单项式．

问题:vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？

结论:不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式．

生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？

写出下列式子（出示投影）

结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．

1 （3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即ab-3.12r2． 2

（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3³2、4³3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．

我们可以观察下列代数式：

1 a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的2

式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？

这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．

1根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2zab-3.12r2、x2+2x+18都是多项式．请2分别指出它们的项和次数．

a+b+c的项分别是a、b、c．

t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项．

3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z． 11 ab-3.12r2的项分别是ab、-3.12r2． 22

x2+2x+18的项分别是x2、2x、18．

找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，•二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．

这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．

Ⅲ．随堂练习

1．课本P162练习

Ⅳ．课时小结

通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，•发展符号感．

Ⅴ．课后作业

1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．

2．预习“整式的加减”．

课后作业：《课堂感悟与探究》

15．1．2 整式的加减（1）

教学目的：

1、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。

2、会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。 教学重点：

会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。

教学难点：

正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。

教学过程：

一、课前练习：

1、填空：整式包括 和

2x2y2、单项式的系数是 、次数是 3

3、多项式3m32m5m2是次项式，其中二次项

系数是 一次项是 ，常数项是

4、下列各式，是同类项的一组是（ ）

12 （A）22x2y与yx2 （B）2m2n与2mn2 （C）ab与abc 33

5、去括号后合并同类项：(3ab)(5a2b)(7a4b)

二、探索练习：

1、如果用a 、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示

为 交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为 这两个两位数的和为

2、如果用a 、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三

位数可以表示为 交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位

数为

这两个三位数的差为 ●议一议：在上面的两个问题中，分别涉及到了整式的什么运算？ 说说你是如何运算的？

▲整式的加减运算实质就是 运算的结果是一个多项式或单项式。

三、巩固练习：

1、填空：（1）2ab与ab的差是

（2）、单项式5x2y、2x2y、2xy2、4x2y的和为（3）如图所示，下面为由棋子所组成的三角形，

一个三角形需六个棋子，三个三角形需

（ ）个棋子，n个三角形需 个棋子

2、计算：

（1）(3k27k)(4k23k1)

（2）(3x22xy1x)(2x2xyx) 2

（3）3a5a(a2)41

3、（1）求x27x2与2x24x1的和

(2)求4k27k与k23k1的差

14、先化简，再求值：5x23x2(2x3)4x2 其中x 2

四、提高练习：

1、若A是五次多项式，B是三次多项式，则A+B一定是

（A） 五次整式 （B）八次多项式

（C）三次多项式 （D）次数不能确定

2、足球比赛中，如果胜一场记3a分，平一场记a分，负一场 记0分，那么某队在比赛胜5场，平3场，负2场，共积多 少分？

3、一个两位数与把它的数字对调所成的数的和，一定能被14 整除，请证明这个结论。

人教版八年级数学上册第15章教案篇五：新课标人教版八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解全章教案

第十五章 整式的乘除与因式分解

15．1．1 同底数幂的乘法

教学目标

（一）教学知识点

1．理解同底数幂的乘法法则．

2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．

（二）能力训练要求

1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．

2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．

（三）情感与价值观要求

体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．

教学重点

正确理解同底数幂的乘法法则．

教学难点

正确理解和应用同底数幂的乘法法则．

教学方法

透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．

教具准备

投影片（或小黑板）．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

复习an的意义：

an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，•n是指数．

an

提出问题：

问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？

[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？

[生]运算次数=运算速度×工作时间

所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103．

[师]1012×103如何计算呢？

[生]根据乘方的意义可知

1510)=10． 1012×103=(1010)×（10×10×10）=(1010

12个1015个10

[师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．

Ⅱ．导入新课

1．做一做

你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．

[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．

[生]（1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）

=27=25+2．

因为25表示5个2相乘，；22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得

a3〃a2=（a〃a〃a）〃（a〃a）=a5=a3+2．

m+n 5m〃5n= (555)×(555)=5． 

m个5n个5

（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．

[生]我们可以发现下列规律：

（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．

（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．

2．议一议

[师生共析]

am〃an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：

m+n am〃an=(aaa)〃(aaa)=aaa=a

m个a

mnm+nn个a(m+n)个a 于是有a〃a=a（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：

“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．

[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．

[生]am表示n个a相乘，an表示n个a相乘，am〃an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am〃an=am+n．

[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．

3．例题讲解

[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？

[生1]（1）、（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．

[生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．

[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，•看谁算得又准又快． 生板演：

（1）解：x2〃x5=x2+5=x7．

（2）解：a〃a6=a1〃a6=a1+6=a7．

（3）解：2×24×23=21+4〃23=25〃23=25+3=28．

（4）解：xm〃x3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1．

[师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？•与同伴交流一下解题方法． 解法一：am〃an〃ap=（am〃an）〃ap

=am+n〃ap=am+n+p；

解法二：am〃an〃ap=am〃（an〃ap）=am〃an+p=am+n+p．

解法三：am〃an〃ap=aaa〃aaa〃aaa 

m个an个ap个a

=am+n+p．

评析：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；•解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．

[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，•就一定是底数不变，指数相加．

[师]是的，能不能用符号表示出来呢？

[生]am1〃am2〃…〃amn=am1+m2+mn

[师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．

2×24×23=21+4+3=28．

Ⅲ．随堂练习

1．课本P166练习

Ⅳ．课时小结

[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，•请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？

[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．

[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，•我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am〃an=am+n（m、n是正整数）．

Ⅴ．课后作业

1．课本P175习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8．

板书设计

15．2．3幂的乘方

教学目标：1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理

能力和有条理的表达能力。

2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。

教学重点：会进行幂的乘方的运算。

教学难点：幂的乘方法则的总结及运用。

教学方法：尝试练习法，讨论法，归纳法。

教学用具： 常用的教学用具

活动准备：

1、计算（1）（x+y）2〃（x+y）3 （2）x2〃x2〃x+x4〃x

1 （3）（0.75a）3〃（a）4 （4）x3〃xn-1－xn-2〃x4 4

教学过程：

通过练习的方式，先让学生复习乘方的知识，并紧接着利用乘方的知识探索新课的内容。

一、 探索练习：

1、 64表示_________个___________相乘.

(62)4表示_________个___________相乘.

a3表示_________个___________相乘.

(a2)3表示_________个___________相乘.

在这个练习中，要引导学生观察，推测(62)4与(a2)3的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。 24 2、（6）=________×_________×_______×________

=__________(根据an〃am=anm)

=__________

（33）5=_____×_______×_______×________×_______

=__________(根据an〃am=anm)

=__________

（a2）3=_______×_________×_______

=__________(根据an〃am=anm)

=__________

（am）2=________×_________

=__________(根据an〃am=anm)

=__________

（am）n=________×________×…×_______×_______

=__________(根据an〃am=anm)

=__________

即 （am）n= ______________(其中m、n都是正整数)

通过上面的探索活动,发现了什么?

幂的乘方,底数__________,指数__________.

学生在探索练习的指引下,自主的完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。教师应当鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点（如底数、指数发生了怎样的变化）并运用自己的语言进行描述。然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会幂的意义。

二、 巩固练习：

1、 1、计算下列各题：

234 ）]（3）[（－6）3]4 3

25（4）（x） （5）－（a2）7 （6）－（as）3

（7）（x3）4〃x2 （8）2（x2）n－（xn）2

（9）[（x2）3]7

学生在做练习时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每一步的运算理由，进一步体会乘方的意义与幂的意义。

2、 判断题，错误的予以改正。

5（1）a+a5=2a10 （ ）

（2）（s3）3=x6 （ ）

（3）（－3）2〃（－3）4=（－3）6=－36 （ ）

（4）x3+y3=（x+y）3 （ ）

（5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0 （ ）

学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。在此基础上加深知识的应用.

三、 提高练习：

1、计算 5（P3）4〃（－P2）3+2[（－P）2]4〃（－P5）2

[（－1）m]2n+1m-1+02002―（―1）1990

2、若（x2）n=x8，则m=_____________.

3、若[（x3）m]2=x12，则m=_____________。

4、若xm〃x2m=2，求x9m的值。

5、若a2n=3，求（a3n）4的值。

6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.

小 结：会进行幂的乘方的运算。

作 业：课本P16习题1.7：1、2、3。

（1）（103）3 （2）[（

15．2．3 积的乘方

教学目标

（一）教学知识点

1．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．

2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．

（二）能力训练要求

1．在探究积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力．

2．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．

（三）情感与价值观要求

在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美．

教学重点

积的乘方运算法则及其应用．

教学难点

幂的运算法则的灵活运用．

教学方法

自学─引导相结合的方法．

同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方成一个体系，研究方法类同，有前两节课做基础，本节课可放手让学生自学，教师引导学生总结，从而让学生真正理解幂的运算方法，能解决一些实际问

人教版八年级数学上册第15章教案篇六：人教版八年级数学第十五章《分式》全章教案

第十五章 分 式

15.1.1 从分数到分式

教学目标

1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．

2．能确定分式有意义的条件．

教学重、难点

分式的概念

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

章引言:

一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？ 问题1 顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船

在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？

顺流航行的速度=轮船在静水中的速度+水流速度；

逆流航行的速度=轮船在静水中的速度-水流速度．

问题2 这个问题的等量关系是什么？

顺流航行90 km所用时间=逆流航行60 km所用时间．

问题3 应怎样设未知数？如何根据等量关系列出方程？

解：设江水的流速为v km/h. 依题意得：

追问

式子 与分数有什么相同点和不同点？它们与你学过的整式有什么不同？

问题4 填空：

（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为 cm.

问题4 填空：

（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为 cm；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 . 追问1 上面问题中得到的式子，，，哪些不是我们学过的整式？ 追问2 式子的特征？

二、知识应用，巩固提高

分式的定义： ，，与以前学过的整式不同，这些代数式有什么共同

一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式（fraction）.

分式中，A 叫做分子，B 叫做分母.

问题5 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？为什么？

例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？

三、应用提高、拓展创新

课本128页 练习1、2、3

四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）你能举例说明什么是分式吗？

（3）如何确定分式有意义的条件？

五、布置作业：

教科书习题15.1第1、2、3题.

教后反思：

15.1.2 分式的基本性质（1）

教学目标

1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法．

2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．

教学重、难点

分式的基本性质和分式的约分

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题1 下列分数是否相等？

追问 这些分数相等的依据是什么？

问题2 你能叙述分数的基本性质吗？

分数的基本性质：

一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变．

问题3 你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？

问题4 类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？

分式的基本性质：

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的 整式，分式的值不变．

追问1 如何用式子表示分式的基本性质？

二、知识应用，巩固提高

追问2 应用分式的基本性质时需要注意什么？

（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；

（2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；

（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零.

例2 填空：

问题5 观察上例中（1）中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分

数的相应变形，你联想到什么？

像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．

例3 约分:

追问1 由上例你能归纳出在分式中，找分子和分母的公因式的方法是什么吗？ 追问2 如果分式的分子或分母是多项式，那么该如何思考呢？

三、应用提高、拓展创新

教科书132页 练习1

四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）运用分式的基本性质时应注意什么？

（3）分式约分的关键是什么？如何找公因式？

（4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？

五、布置作业：

教科书习题15.1第4、6题.

教后反思：

15.1.2 分式的基本性质（2）

教学目标

1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母.

2．通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想

.

教学重、难点

准确确定分式的最简公分母

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题1 通分：

追问1 分数通分的依据是什么？

追问2 如何确定异分母分数的最小公分母？

问题2 填空：

像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分

式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分

式的通分.

追问1 你认为分式通分的关键是什么？

分式通分的关键是找出分式各分母的公分母.

追问2 上面问题中的两个分式的公分母是什么？

为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.

追问3 两个分式的最简公分母是如何确定的？

最简公分母的确定方法：

取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．

分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：

先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母．

二、知识应用，巩固提高

例 通分：

三、应用提高、拓展创新

教科书132页 练习1

四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）分式通分的关键是什么？

（3）分式通分时，确定最简公分母的方法是什么？

五、布置作业：

教科书习题15.1第7题

教后反思：

15.2.1 分式的乘除（1）

教学目标

1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想.

2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理

教学重、难点

分式的乘除法法则的运用

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m时，水面的高度为多少？ n

（1）这个长方体容器的高怎么表示？

（2）容器内水面的高与容器内的水所占容积间有何关系？

容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所占容积的比相等.

问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？

（1）本题中出现的“工作效率”的含义是什么？

（2）大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？

观察上述两个问题中所列出的式子中，其中涉及到分式的有哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？

问题3 计算：

在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？

如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？ 怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？

二、知识应用，巩固提高

分式的乘除法法则

如何用文字语言来描述？

乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母.

除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

例1 计算：

三、应用提高、拓展创新

教科书138页 练习2

四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

人教版八年级数学上册第15章教案篇七：新人教版初二数学15章教案1

第十五章 整式的乘除与因式分解

15.1.1同底数幂的乘法

松山区第五中学：刘宝铭 课型：新授 教学目标

1．知识与技能

在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用． 2．过程与方法

经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力． 3．情感、态度与价值观

在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心． 重、难点与关键

1．重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用． 2．难点：同底数幂的乘法的法则的应用．

预习导航：幂的运算中的同底数幂的乘法教学，要突破这个难点，•必须引导学生，循序渐进，合作交流，获得各种运算的感性认识，进而上各项到理性上来，提醒学生注意－a2与（－a）2的区别．

教学方法

采用“情境导入──探究提升”的方法，让学生从生活实际出发，认识同底数幂的运算法则． 教学过程

一、创设情境，故事引入

【情境导入】

“盘古开天壁地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流．

【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？

52

光的速度为3〓10千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5〓10秒，•你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？

【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式： 3〓105〓5〓102=15•〓105〓102=15〓？（引入课题）

【教师提问】到底105〓102=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分

四人小组讨论．

【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示． 计算过程：105〓102=（10〓10〓10〓10〓10）〓（10〓10） =10〓10〓10〓10〓10〓10〓10 =10

【教师活动】下面引例． 1．请同学们计算并探索规律．

（1）2〓2=（2〓2〓2）〓（2〓2〓2〓2）=2 （2）53〓54=_____________=5( )； （4）（

110

33

4

( )

7

；

（3）（－3）7〓（－3）6=___________________=（－3）( )；

）〓（

43

110

）=___________=（

( )

110

）

( )

；

（5）a〃a=________________a．

提出问题：①这几道题目有什么共同特点？

②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？ 【学生活动】独立完成，并在黑板上演算．

【教师拓展】计算a〃a=？请同学们想一想．

m+n

aaa)(aaa)(aaaa)=a 【学生总结】a〃a=(

m个a

n个a

(mn)个a

这样就探究出了同底数幂的乘法法则． 二、范例学习，应用所学

【例】计算：

（1）10〓10； （2）a〃a； （3）a〃a〃a； （4）x〃x+x〃x

【思路点拨】（1）计算结果可以用幂的形式表示．如（1）103〓104=103+4=107，但是如果计算较简单时也可以计算出得数．（2）注意a是a的一次方，•提醒学生不要漏掉这个指数1，x+x得2x，提醒学生应该用合并同类项．（3）上述例题的探究，•目的是使学生理解法则，运用法则，解题时不要简化计算过程，要让学生反复叙述法则．

【教师活动】投影显示例题，指导学生学习．

【学生活动】参与教师讲例，应用所学知识解决问题． 三、随堂练习，巩固深化 课本第142页练习题． 【探研时空】

据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约

19

含有3.34〓10个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？ 四、课堂总结，发展潜能

1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，•使用方法：乘积中，幂的底数不变，指数相加．

注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；

3

3

3

3

4

3

3

5

2

2

二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，

mnm+n

即a〃a=a（m、n是正整数）．

2．应用时可以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘，仍成立，•底数和指数，它既可以取一个或几个具体数，由可取单项式或多项式． 练习（1）（a－b）〃（a－b）

3．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆． 五、布置作业，专题突破

1．课本P148习题15．1第1（1），（2），2（1）题． 2．选用目标小练习．

3

4

七、教学反思

15.1.2 幂的乘方

松山区第五中学：刘宝铭 课型：新授 教学目标 1．知识与技能

理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质． 2．过程与方法

经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力．

3．情感、态度与价值观

培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值． 重、难点与关键

1．重点：幂的乘方法则．

2．难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用．

预习导航：在引导这个推导过程时，步步深入，层层引导，•要求对性质深入地理解．

教学方法

采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中，认识幂的乘

方法则．

教学过程

一、创设情境，导入新知

【情境导入】

大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，•木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r，那么，•请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=

43

r）

3

【学生活动】进行计算，并在黑板上演算．

解：设地球的半径为1，则木星的半径就是10，因此，木星的体积为 V木星=

43

2

（10）=？（引入课题）． 〃

2

3

23

【教师引导】（10）=？利用幂的意义来推导．

【学生活动】有些同学这时无从下手．

【教师启发】请同学们思考一下a3代表什么？（102）3呢？

【学生回答】a3=a〓a〓a，指3个a相乘．（102）3=102〓102〓102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，10〓102〓102=102+2+2=106，•因此（102）3=106． 【教师活动】下面有问题：X|k |b| 1 . c|o |m 利用刚才的推导方法推导下面几个题目：

（1）（a2）3；（2）（24）3；（3）（bn）3；（4）－（x2）2．

【学生活动】推导上面的问题，个别同学上讲台演示．

【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（a）的结果是多少？

【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论：

m

（a）=(amama)a



mmm

n个m

2

mn



n个a

m

= a．

mn

评析：通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指

数相乘．

二、范例学习，应用所学

【例】计算： （1）（103）5；（2）（b3）4；（3）（xn）3；（4）－（x7）7．

【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则，准确地运用幂的乘方法则进行计算． 【教师活动】启发学生共同完成例题．

【学生活动】在教师启发下，完成例题的问题：并进一步理解幂的乘方法则：

解：（1）（103）5=103〓5=1015； （3）（xn）3=xn〓3=x3n； （2）（b3）4=b3〓4=b12； （4）－（x7）7=－x7〓7=－x49． 三、随堂练习，巩固练习

课本P143练习． 提高练习：

计算 5（P3）4〃（－P2）3+2[（－P）2]4〃（－P5）2 [（－1）m]2n+1m-1+02002―

1990

（―1）

若（x2）m=x8，则m=______

若[（x3）m]2=x12，则m=_______ 若xm〃x2m=2，求x9m的值。 若a2n=3，求（a3n）4的值。 已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.

【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生。 【学生活动】书面练习、板演． 四、课堂总结，发展潜能

1．幂的乘方（am）n=amn（m，n都是正整数）使用范围：幂的乘方．方法：底数不变，指数相乘．

2．知识拓展：这里的底数、指数可以是数，可以是字母，•也可以是单项式或多项式．

3．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，•一个是“指数相加”．

五、布置作业：

1. 课本P148习题15．1第1、2题． 2.选用目标小练习 3.附加练习

[-(x+y)3]4 (an+1)2〓(a2n+1)3 (-32)3 a3〓a4〓a+(a2)4+2(a4)2

(xm+n)2〓(-xm-n)3+x2m-n〓(-x3)m 计算：－x2〃x2〃（x2）3+x10．

七、教学反思：

人教版八年级数学上册第15章教案篇八：新人教版数学教案八年级上册15章整式全章教案

课题：15．1 整式的加减(1)

人教版八年级数学上册第15章教案篇九：八年级数学上册(人教课标)教案：第十五章 分式 15.1.2 分式的基本性质 (1)

教学目标

1．理解分式的基本性质.

2．会用分式的基本性质将分式变形.

重点难点

1．重点: 理解分式的基本性质.

2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形.

3.认知难点与突破方法

教学难点是灵活应用分式的基本性质将分式变形. 突破的方法是通过复习分数的通分、约分总结出分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质.应用分式的基本性质导出通分、约分的概念，使学生在理解的基础上灵活地将分式变形.

教学过程

一、例、习题的意图分析

1．教科书的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.

2．教科书的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.

3．教科书习题15.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.

“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.

二、课堂引入

14与与8相等吗？为什么？ 2024

159332．说出4与8之间变形的过程，并说出变形依据？ 20之间变形的过程，24与31593

3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.

三、例题讲解

（教科书）例2 填空：

[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.

（教科书）例3 约分：

[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.

（教科书）例4 通分：

[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

（补充）例5 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

6b

5a， x， 2m， 7m， 3x．

3yn6n4y

[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.

解：xx6b6b2m2m7m7m= ， =，=， = ， 5a5ann6n6n3y3y3x3x=-． 4y4y

四、随堂练习

1．填空：

6a3b23a32x2

(1) 2= (2) = 8b3x3xx3b1x2y2xy（3) = (4) = 2acancnxy2．约分：

2(xy)33a2b8m2n4x2yz3

（1） （2） （3） （4） 52mn26ab2cyx16xyz

3．通分：

（1）a12b和 （2）和 2xy3x22ab35a2b2c113ca和 （4）和 2ab28bc2y1y1（3）

4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

5ax3ya3(ab)2

(1)  (2)  （3) (4) 222m13x3ab17b

五、课后练习

1．判断下列约分是否正确：

（1）1acamnxy= （2）2= （3）=0 2bcbmnxyxy

2．通分：

（1）12x1x1和 （2）和 x2xx2x3ab27a2b

3．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号.

（1）x2y2ab （2） ab3xy

六、答案：

四、1．(1)2x (2) 4b （3） bn+n (4)x+y

2．（1）a4mx2 （2） （3） （4）-2(x-y) 22bcn4z

3．通分： （1）15ac4b2= ， = 5a2b2c10a2b3c2ab310a2b3c

（2）ab3ax2by= ， = 3x22xy6x2y6x2y12c33caab （3）= = 2ab28ab2c28bc28ab2c2 （4）1y11y1= = y1(y1)(y1)y1(y1)(y1)

x3ya35a(ab)2

4．(1) (2)  （3) (4)  m3ab217b213x2

五、1.（1）错误 （2）正确 （3）错误 2. （1）127a6b=，=； 2222223ab21ab7ab21ab

22（x1）（x1）x1x1（2）2=，2=. xxx（x1）（x-1）xxx（x1）（x-1）

3.（1）x2yx-2y2ab2ab=；（2）=. a-bab3xy3xy

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