复数z的几何意义

导读：　复数z的几何意义(共2篇)复数的几何意义教案课题：复数的几何意义学校 姓名一、教学目标：（1）能够类比实数的几何意义说出复数几何意义（2）会利用几何意义求复数的模；（3）能够说出共轭复数的概念二、教学重点、难点：重点：复数的几何意义以及复数的模难点：复数的几何意义及模的综合应用三、教学方法：本...

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复数z的几何意义(一)
复数的几何意义教案

课题：复数的几何意义

学校 姓名

一、教学目标：

（1）能够类比实数的几何意义说出复数几何意义

（2）会利用几何意义求复数的模；

（3）能够说出共轭复数的概念

二、教学重点、难点：

重点：复数的几何意义以及复数的模

难点：复数的几何意义及模的综合应用

三、教学方法：

本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，

探究出复数的几何意义和复数的模公式。

四、教学过程：

（一）课题引入

实数的几何意义

1.提问：在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来

表示

 数轴上的点 实数 

(数) (形)

（二）新知探究

探究一：复数的几何意义

思考1: 实数与数轴上的点的对应关系是什么？类比实数的表示，是否也

存在一个点与之对应？若存在，这个点的形式是什么？

问：你能找出复数与有序实数对、 坐标点的对应关系吗？

（教师提出问题，学生思考，进行小组讨论）。

通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系。从而找

到复数的几何意义。

思考2：平面向量oz的坐标为 ,由此你能得出复数的另一

个几何意义吗？

一一对应

通过思考2，让学生能够把复数和位置向量相结合，从而推导复数

的另一个几何意义。

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

一一对应一一对应复数 复平面内的点 平面向量

（数） （形）

建立了平面直角坐标系来表示 ------复数平面 (简称复平面)

x轴------实轴 y轴------虚轴

小结：复数的几何意义：

1复数与复平面内的点是一一对应的

2复数与复平面内向量oz一一对应的

复平面的有关概念介绍

1复平面

2实轴 表示实数

3虚轴 除原点外都是纯虚数

探究二：复数的模

思考：实数绝对值的几何意义？通过类比，你能说出复数的模几何意义吗? 复数z=a+bi(a，b∈R)的模：|z

|==

共轭复数：

（三）典型例题

例1．辨析

下列命题中的假命题是（ ）

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

变式（或跟踪）训练

1．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（ ）。

(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)不充分不必要条件

2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。

(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)不充分不必要条件

例2．已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围

方法总结：表示复数的点所在象限的问题 转化 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题

( 几何问题) (代数问题)

一种重要的数学思想：数形结合思想

变式（或跟踪）训练：1、已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。

解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），

∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0

∴m=1或m=-2。

2：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。

（四）拓展提升

探究三、复数的模 的几何意义:

对应平面向量 的模| Z|，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。

（五）归纳小结

1、复数几何意义【复数z的几何意义】

2、复数模的几何意义

3、数学思想方法：类比、数形结合

五、作业布置

1.书面作业：

2.探究性作业：思考：

(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？

（2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？

六、教学反思

七、超级链接

1、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：

4，3+i，-1+4i，-3-2i，-i

13i，试比较它们模的大小 22

3、若复数Z=4a+3ai(a<0)，则其模长为 2、已知复数Z1=3-4i，Z2=

4满足|z|=1(z∈R)的z值有几个？满足|z|=1(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？

5、 复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一

个平行四边形的三个顶点，求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数.

6.设Z为纯虚数，且z1i，求复数Z

7、设Z为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数Z

复数z的几何意义(二)
复数的几何意义习题

【复数z的几何意义】

[学业水平训练]

1．下列不等式正确的是( )

A．3i＞2i B．|2＋3i|＞|1－4i|

C．|2－i|＞2 D．i＞－i

解析：选C．两虚数不能比较大小，A、D错误；又|2＋3i|＝13＜|1－4i|＝17，B不正确，故选C．

2．给出复平面内的以下各点：A(3,1)，B(－2,0)，C(0,4)，D(0，0)，E(－1，－5)，则这些点中对应的复数为虚数的点的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C．A，C，E三点对应的复数分别为3＋i,4i，－1－5i，是虚数，B，D对应的是实数，因此共有3个点．

→→→→3．向量OA对应的复数为1＋4i，向量OB对应的复数为－3＋6i，则向量OA＋OB对应的

复数为( )

A．－3＋2i B．－2＋10i

C．4－2i D．－12i

→→解析：选B.向量OA对应的复数为1＋4i，向量OB对应的复数为－3＋6i，

→→所以OA＝(1,4)，OB＝(－3,6)，

→→所以OA＋OB＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10)，

→→所以向量OA＋OB对应的复数为－2＋10i.

4．设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是( )

A．a＜－1或a＞1 B．－1＜a＜1

C．a＞1 D．a＞0

解析：选B.∵|z1|＝ a＋4，|z2|4＋15， ∴a＋4＜5，即a2＋4＜5，

∴a＜1，即－1＜a＜1.

5．(2014·石家庄高二检测)复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则

( )

A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠0

C．a＝0 D．a＝2或a＝0【复数z的几何意义】

22解析：选D．因为复数z＝(a－2a)＋(a－a－2)i对应的点在虚轴上，

所以a2－2a＝0，

解得a＝0或a＝2.

6．在复平面内，表示复数z＝(m－3)＋2mi的点位于直线y＝x上，则实数m的值为________．

解析：由表示复数z＝(m－3)＋2mi的点位于直线y＝x上，得m－3＝m，解得m＝9.

答案：9

7．已知复数z＝(a－2)＋i对应的点在第一象限，且|z|＝17，则实数a＝________. 解析：据题意得(a－2)2＋1＝17，

即a2－4a－12＝0，

解得a＝－2或a＝6.

当a＝－2时，z＝－4＋i对应的点位于第二象限，与题意不符；当a＝6时，z＝4＋i对应的点在第一象限，满足条件，故实数a＝6.

答案：6

8．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.

解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

由题意，得x＋yix＋y＝－1＋i，

即(xx＋y)＋yi＝－1＋i.

x－x＋y＝－1，根据复数相等的条件，得 y＝1.

x＝0，解得∴z＝i. y＝1，

法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，

等式两边取模，得|z|＝|z|－1＋1.

两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1⇒|z|＝1.

把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.

答案：i

19．求复数z1＝3＋4i及z22i的模，并比较它们的模的大小． 2解：|z1|＝3＋4＝5，

13|z2|＝ －2＋2＝. 22

3∵5|z1|＞|z2|. 2

1313→→→10．在复平面内画出复数z1＝，z

2＝－1，z3＝－对应的向量OZ1，OZ2，OZ3，2222并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系． 解：

13根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(－1,0)，22

13→→→(，－，则向量OZ1，OZ2，OZ3如图所示． 22|z1|＝132＋2＝1， 22

132＋2＝1. 22

如图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．

[高考水平训练]

1．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z的对应点的轨迹是( )

A．1个圆 B．线段

C．2个点 D．2个圆

2解析：选A.由|z|－2|z|－3＝0，

得(|z|＋1)(|z|－3)＝0.

又∵|z|＞0，∴|z|＝－1(舍去)，∴|z|＝3.

故复数z的对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．故选A.

2．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________． 解析：复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝

限，

a－2＜0，所以解得－1＜a＜2. a＋1＞0，

由条件得|z|＝a－2＋a＋12a－2a＋5

1919＝2a2－a＋2a－2＋， 4222

32因为－1＜a＜2，所以|z|∈(3)． 2

2答案：(，3) 2

3．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点

(1)位于第四象限？

(2)位于第一、三象限？

(3)位于直线y＝x上？

2m－8m＋15＞0m＜3或m＞5，解：(1)由2⇒解得－2＜m＜3或5＜m＜7，此时复数m－5m－14＜0－2＜m＜7.

z对应的点位于第四象限．

22m－8m＋15＞0m－8m＋15＜0，(2)由2或2 m－5m－14＞0m－5m－14＜0.

2可等价转化为(m－8m＋15)(m2－5m－14)＞0，

即(m－3)(m－5)(m＋2)(m－7)＞0，

利用“数轴标根法”可得：m＜－2或

3＜m＜5或m＞7，此时复数z对应的点位于第

一、三象限．

29(3)要使复数对应的点在直线y＝x上，需m2－8m＋15＝m2－5m－14，解得m＝此时，3

复数z对应的点位于直线y＝x上．

4．已知z1＝2－2i，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值．

解：如图，∵|z|＝1，z的轨迹可看成半径为1，圆心为点(0,0)的圆．

而z1对应坐标系中的点Z1(2，－2)，

∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)与圆上的点的最大距离，

由图知|z－z1|max＝2＋1.

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