二次函数的图像和性质教案

导读：　二次函数的图像和性质教案(共5篇)二次函数的性质和图像教学设计必修1《2 2 2 二次函数的性质与图象》教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教B版）第二章第二节第二课（2 2 2）《二次函数的性质与图象》。关于《二次函数的性质与图象》在初中已经学习过，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次...

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二次函数的图像和性质教案(一)
二次函数的性质和图像教学设计

必修1《2.2.2 二次函数的性质与图象》教学设计

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教B版）第二章第二节第二课（2.2.2）《二次函数的性质与图象》。关于《二次函数的性质与图象》在初中已经学习过，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。二次函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习其他初等函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以二次函数应重点研究。

二、学生学习况情分析

二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。基于在初中教材的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，已经让学生掌握了二次函数的图象及一些性质，只是像单调性、对称性、零点这种性质还没有规范，课本给出的三个例题对于学生来说非常熟悉。本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

三、设计思想

1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

2.结合新课程实施的教学理念，在本课的教学中我努力实践以下两点：

（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究尝试培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

（2）在教学过程中努力做到师生的互动，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

四、教学目标

根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：

1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够借助于具体的二次函数应用所学知识解决简单的函数问题，理解和掌握从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质和从函数解析式性质去研究函数图象这两种从不同角度研究函数的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。

3、情感、态度、价值观：让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

五、教学重点与难点

教学重点：使学生掌握二次函数的概念、图象和性质；熟悉从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

教学难点：借助于二次函数的解析式通过配方对函数性质的研究来分析推断二次函数的图象。

六、教学过程：

（一）创设情景、提出问题

本节课一开始我就让学生直接总结出二次函数的性质与图象，并指出如何得到函数的相关性质。学生在初中学习的基础上很容易就完成。就在学生回答后，教师提出一个让大家意想不到的问题：既然大家已经学习也掌握了二次函数的图象和性质，那我们今天还有必要再重复吗？编者的失误？还是另有用意呢？

【设计意图：一方面可以激发学生学习热情和探索新知的欲望；另一方面也给学生传递一个学习目标方面的信息。在学生感觉很疑惑的时候，教师再次设问，把问题引向深入。】

【学情预设：学生可能很疑惑，或者有一些猜测】

你能独立完成问题2吗？。

问题2:试作出二次函数的图象。

要求学生按照自己处理二次函数的方法独立完成。

【设计意图：充分暴露学生的问题，突出本节课的重要性，激发学生学习的动力。】

【学情预设：一部分学生使用描点法作图；另一部分学生只确定对称轴和开口、只利用对称轴和y轴的交点等不是很规范的方法作图。】

在总结交流的基础上教师指出：有的同学用描点作图的方法作出函数的图象，从方法上没有问题，但是需要描出大量的点才能得到较为准确的图象；有的同学只是找到函数的对称轴判定开口方向就画出一个图象，或者是找到函数的对称轴和y轴的交点确定开口方向就画出函数的图象等等，这种不是很规范的作图方法，感觉很快，但是往往得到的图象不是很准确的，为什么呢？

（学生稍作思考）

师：实质上函数的性质是函数自身特殊对应关系的体现，而体现函数的对应关系的方法有解析式法、图象法和列表法。既然能够用解析式结合图象得到函数的性质，那么能否借助于解析式直接分析其性质，然后推断出图象的特征呢?在推断函数的图象时要考虑函数的哪些主要性质呢？我想这也是今天这节课的意图所在，如何利用函数性质的研究来推断出较为准确的函数图象，大家是否有兴趣和能力来探讨这个问题呢？

带着这样的问题我带领学生进入下一个环节——师生互动、探究新知。

（二）师生互动、探究新知

在这个环节上，我引用课本所给的例题1请同学们以学习小组为单位尝试完成。

例1、试述二次函数的性质，并作出它的图象。

要求：按照解析式----性质----推断函数图象的过程来探讨，

【设计意图是：以便于学生在对比中进一步理解函数性质的应用，突破应用函数的性质来推断函数图象这一难点。同时体验分析障碍和获得成功的快乐，激发学生的学习兴趣。】

在学生学习小组的一番探讨后，教师选小组代表做总结发言，要求说出利用解析式得到性质的分析过程。

（其他小组作出补充，教师引导从以下几个方面完善）：【二次函数的图像和性质教案】

（1）定义域（2）开口方向（3）值域（顶点）及最值（4）对称轴（5）单调性（6）奇偶性（7）零点（8）图象

【设计意图是：让学生在师生互动，共同探讨的过程中逐步实现知识的迁移，基本上形成新的认知。】

【学情预设：因为是第一次尝试利用解析式分析性质并推断图象，学生对于某些性质不能准确的阐述出分析过程，对对称轴的确定、单调区间及单调性的分析等可能存在困难。】

这时教师可以利用对解析式的分析结合多媒体引导学生得到分析的思路和解决的方法，进而突破教学难点。

根据实际情况教师可以引导学生从二次函数的配方结果来分析：

（1）单调性的分析： 在=中当时，取得最小值-2，当时，自变量就越大，越小，就越大，就越大，即就越大，即就越大； 就越大；当时，自变量越大，这样单调性及单调区间（分界点）自然可以解决，结合单调性的定义可给出严格的证明；同时也可以帮助我们说明开口的方向是向上的。

（2）对称性的分析：

在=中当和时，如果=时，即，也就是，则时，一定有

也就是成立。因此可以令成立，这就是说二次函数的两个数于直线和对称。 的自变量时，函数值在轴上取两个关于-4对应的点为对称中心的两个点对应总是成立的，这就说明函数的图象关在对解析式分析的同时借助于几何画板课件演示，让学生直观感受：【二次函数的图像和性质教案】

然后在教师的引导之下推广并得出一般结论：如果函数成立，则函数的图象关于直线对定义域内的任意

对称。 都有在得出对称性的一般结论这一副产品后，为了强化对这个结论的认识和理解，教师可以安插一个练习题： 练习：试用以上结论来概括函数

___________________________. 应该满足的结论是

在完成以上各环节后，教师再次提出任务：既然我们把二次函数的相关性质都分析完成，那么根据以上性质请同学们再次分析如何利用二次函数的性质推断出二次函数的图象? 用二次函数的性质推断函数的图象时需要研究分析二次函数的哪些主要性质才能比较准确地画出图象？

二次函数的图像和性质教案(二)
二次函数的图象和性质教案

二次函数y=ax²+k的图象和性质教案 石柱县南宾中学校初三数学组

授课人：李方勇

一、教学目标

根据新课标的目标要求和对教材的分析，结合学生已有的知识基础，目标制订如下： (1)使学生会画出特殊二次函数y=ax2+k的图象，能通过它们的图象和解析式，正确地说出它们的开口方向，对称轴以及顶点坐标，能比较它们的图象与抛物线y=ax2的位置关系，培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力。［知识与技能目标］

(2)让学生经历作图、观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。［过程与方法目标］

(3)在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦，［情感、态度、价值观目标］ 二、教学重、难点

重点：根据二次函数的图象与解析式，能说出它们的开口方向，对称轴以及顶点坐标，能比较它们图象间的位置关系。

难点：会由所学特殊函数的特殊情形向一般情形转化，了解图象间的平移规律。 三、 学情分析

①学生已掌握一次函数，二次函数y=ax²图象的画法，以及它们图象的性质； ②学生个性活泼，积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。 ③初三学生程度参差不齐，两极分化已形成。 四、教材处理

由于本节课的教学要借助图象来完成，例题间又缺乏过渡，教材知识点较为抽象，我对教材作了以下处理：

①在例题教学前安排了一组准备性练习。 ②增设了一道情景课堂作业。 五、教学方法

以“探究式”体验教学法和“启发式”教学法为主进行教学。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教。 六、教学手段

采用多媒体教学，直观呈现抛物线和谐、对称的美和抛物线的运动与变化，激发学生的学习 兴趣，参与热情，增大教学容量，提高教学效率。 七、教学过程

课前准备：每位学生发二张有直角坐标系的网格纸 1、创设情境(关键）

（1）、问题情境

①填空：抛物线y=ax2的对称轴是 顶点是 , 顶点坐标是 ,当a>0时抛物线y=ax2的开口 ,当a<0时抛物线y=ax2的开口 （集体要求）

② （在事先备好的有网格坐标系的纸上）画出y=x2的图象（集体要求） ③指出y=x2图象的开口方向，对称轴、顶点坐标（较低层次学生作答） ④在y=ax2中，a的取值与抛物线有何关系？（较高层次学生作答） （2）、游戏情境

①演示与观察：把y=x2的图象向上、下两个方向平移一个单位长度。[演示] ②问题：平移后得到的两条抛物线与抛物线y=x2的形状，大小如何？

③ 游戏：学生任指一条抛物线，老师在短时间内说出它的解析式、顶点坐标、对称轴。 2、探求新知（重点）

①在事先备好的同一网格坐标系中，学生独立画出y=x2+1，y=x2-1的图象。（例2） ②先独立思考，再合作交流，完成下表：

3、猜想验证（重点）

4、当堂训练（用第二张网格纸作图）

①抛物线y=3x²+1的顶点坐标是 对称轴是 开口方向是__.

②（情景练习）把抛物线y= x2上、下两个方向平移2个单位长度，抛物线的解析式、顶点坐标，对称轴分别是什么？[演示]

③在同一坐标系内,画出二次函数：y=2x2， y=2x2-1的图象

分别说出它们的开口方向及对称轴、顶点坐标，能说出它们彼此间的位置关系。（中下层次学生完成） 5、小结、扩展

当k>0时，向上平移|k| 个单位长度

y=ax²+k

当k<0时，向下平移|k| 个单位长度

6、分层作业

A、必做题

在同一坐标系内画出函数y=3x²，y=3x²+1的图象，并分别说出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标。

B、选做题

在同一坐标系内画出函数y=3x²,y=3x²+1，y=3(x+1)2的图象，分别说出它们的开口方向、

对称轴、顶点坐标，以及三个图象间的位置关系。 7、总结收获

说一说 学习内容 议一议 重点、难点 谈一谈 你的收获

二次函数的图像和性质教案(三)
二次函数的图象与性质教案(1份)

二次函数的图象与性质【二次函数的图像和性质教案】

教学过程： 一、知识点回顾

（3）对称轴为直线 x=－1, 顶点M到点A(-1，3)距离为2，

4、如图四，能确定解析式吗?

二次函数的性质 ①二次函数增减性

若a>0，当 ，y随x的增大而增大；当 ，y随x的增大而减小 若a<0，当 ，y随x的增大而增大；当 ，y随x的增大而减小 ②二次函数的最值

若a>0，当 时，y有最小值 ； 若a<0，当 时，y有最大值 。 ③二次函数平移规律 ④二次函数中a、b、c的作用

2．抛物线形状与y=2x相同，图像经过原点，与x轴负半轴交于点A，顶点为P，若△OAP为直角三角形，求函数解析式。

2

3、拓展练习

例：已知抛物线y=x-(m+2)x-m-3(m＞0) （1）

试判断这条抛物线的顶点M所在的象限，并说明理由；

2

（2） 如果这条抛物线与X轴交于点A、B(点A在点B的左边)，与y轴相交于点C,△ABC的

面积是15，求经过 A和抛物线顶点M的直线的解析式。

Ⅰ 二次函数的概念，二次函数的图象及性质。

例：已知函数 是关于x的二次函数，求： y(m2)xmm4(1)满足条件的m值；

(2)m为何值时，抛物线有最低点？当x为何值时，y随x的增大而增大？ (3)m为何值时，函数有最大值？当x为何值时，y随x的增大而减小？ 教师讲解：对于二次函数的一般式，强调a≠0。而常数b、c可以为0。

(1)关于x的二次函数，则m²＋m－4＝2，且m＋2≠0，即： m²＋m－4＝2 ，m＋2≠0，解m＝2或m＝－3，m≠－2

(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m＋2＞0， (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m＋2＜0。

【设计意图】让学生分析所涉及的知识点及解题方法，加深对二次函数定义的理解；抛物线的增减性要结合图象进行分析，学生需要画出草图，渗透了数形结合思想。

Ⅱ 用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律。

例：用配方法求出抛物线y＝－3x²－6x＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y＝－3x² 教师讲解：

(1)在学生回答的基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线一般式与顶点式的互化关系。

(2)强调利用抛物线对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。

(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳。

【设计意图】归纳抛物线画法的步骤，总结平移的规律及解题方法与思路。感悟这些理论知识是如何应用到实践操作中的。

2

Ⅲ 用待定系数法确定二次函数解析式。 例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。

(1)抛物线y＝ax²＋bx＋c 经过(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。 (2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。

(3)已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x＝1为对称轴。 (4)已知二次函数y＝ax²＋bx＋c图象经过一次函数y＝－x＋3图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a(x－h)²＋k的形式。

教师讲解：二次函数解析式常用的有三种形式 (1)一般式：y＝ax²＋bx＋c (a≠0) (2)顶点式：y＝a(x－h)²＋k (a≠0) (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0)

当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax²＋bx＋c形式。

当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)²＋k形式。 当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2) 【设计意图】通过让学生阐述解题方法，归纳出二次函数三种常用的解析式，培养学生自我小结的良好习惯。

Ⅳ 最大面积问题。

例：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的边长为x，面积为S平方米。 (1)求出S与x之间的函数关系式；

(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用。 教师讲解：

(1)由矩形面积公式易得出S＝x·(6－x)＝－x²＋6x

(2)确定所建立的二次函数的最大值，从而可得相应广告费的最大值。

由S＝－x²＋6x＝－(x－3)²＋9，知当x＝3时，即此矩形为边长为3的正方形时，矩形面积最大，为9m²，因而相应的广告费也最多：为9×1000＝9000元。

【设计意图】让学生根据实际几何问题中的数量关系，建立恰当的二次函数模型，并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。这是道简单的实际问题，学生会比较容易的列出函数关系式，建立学好数学的信心。

课堂练习：

①若二次函数y＝(m＋1)x²＋m²－2m－3的图象经过原点，则m＝______。 ②函数y＝3x²与直线y＝kx＋3的交点为(2，b)，则k＝______，b＝______。

③开口向上的抛物线y＝a(x＋2)(x－8)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若∠ACB＝90°，则a＝_____。

④已知抛物线y＝ax²＋bx＋c的对称轴为x＝2，且过(3，0)，则a＋b＋c＝______。 ⑤某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费每提高2元，则减少10张床位租出，为了投资少而获利大，每床每晚应收费多少元？ 作业

① — ⑨ 为必做题，⑩ 为选做题

①二次函数y=-x+6x+3的图象顶点为 对称轴为 . ②抛物线y=x-3x-4与x轴的交点坐标是 .

2

③若x的方程xxn0没有实数根，则抛物线yxxn的顶点在第_____象限．

2

2

2

④已知函数ymx2(m2m)x2的图象关于y轴对称，则m＝

⑤一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=-2x相同，这个函数解析式为 ．

⑥二次函数y=2x-x ,当x 时y随x增大而增大，当x 时,y随x增大而减小．

⑦抛物线y=ax+bx+c的顶点在y轴上，则a．b．c中一定有 =0． ⑧已知抛物线y=ax+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过 象限. ⑨当x=3时，y最小值=-1，且图象过（0，7）时求关于x的二次函数的解析式

⑩如果抛物线y= -x+2(k-1)x+2k-k经过原点并且开口向下.求：解析式；与x轴交点A．B及顶点C组成的△ABC面积．

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2

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二次函数的图像和性质教案(四)
二次函数的图像和性质教学设计

《34.3二次函数的图像和性质》教学设计

一、教学分析

（一）教学内容分析

二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质是冀教版九年级数学下册第三十四章第三节第二课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念及y=ax2的图像和性质之后引入的新内容。本节课的教学内容既是对y=ax的图像和性质的引申，也是后面研究一般形式的二次函数图像性质的基础。所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。 （二）教学对象分析

九年级的学生在前面的学习过程中已经接触过一次函数和反比例函数的内容，从学习情况看，他们对函数的理解和掌握情况并不理想。通过课下的了解，学生们对二次函数有一定的畏难情绪，对学习非常的不利。所以我们在教学过程中，要想方设法的调动学生的积极性，帮助他们突破难点。 （三）教学环境分析

我校共配备一个网络教室和三个多媒体教室，其中九年级教室均安装有多媒体设备。为了本节课教学的方便，讲课安排在教室进行。

2

二、教学目标

（一）知识与技能：

能够准确绘制二次函数图像；通过图像发现和研究顶点式二次函数的性质。 （二）过程与方法：

经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程；体会数形结合的数学思想在数学中的应用。

（三）情感、态度与价值观：

经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。

三、教学重难点

教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索顶点式二次函数的图像特点和性质。 教学难点：顶点式二次函数的图像特点和性质的得出过程。

四、教学过程

二次函数的图像和性质教案(五)
全国优秀教学设计：二次函数图像和性质

二次函数的图象和性质（3）教学设计 1

《二次函数的图象和性质（3）》教学设计

北京市三帆中学 陈立雪

一、教学内容解析

1. 本章的内容和地位

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，对《二次函数》的课程内容做出了以下五点要求：

（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.

（2）会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.

（3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题.

（4）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

（5）*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.

从内容上看，学生在八年级时学习了《一次函数》、《反比例函数》两章内容，《二次函数》一章编排于九年级下册，此后，在《普通高中课程标准实验教科书 数学 必修1》的课程中，学生将继续学习和研究指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的性质.

从方法上看，在研究一次函数和反比例函数时，教材侧重于通过观察函数图象来直观了解函数的性质. 而进入高中后，教材则侧重于通过分析解析式来研究函数性质. 因此，在《二次函数》一章的教学中，我引导学生将研究方法从图象逐步向解析式转移，让学生在体会数形结合思想的同时，初步经历代数说理的过程，也为下一学段的学习做好过渡.

2. 本课的内容和地位

在教学中，本章内容共安排了13个课时，其中第26.1节“二次函数及其图象”包含了7个课时. 教学中为了突出学生的主体地位，适应学生的认知需求，在本章起始课上，我让学生从已有知识和经验出发，自己定义出一类可称为“二次函数”的新函数，并探讨对这类函数的进一步研究设想. 结合一次函数的研究经验，依据从特殊到一般的原则，部分学生提出了如下的研究思路：

为顺应学生的研究思路，我尝试对第26.1节的内容做了调整，安排如下：

北京市三帆中学 陈立雪

2 二次函数的图象和性质（3）教学设计

原教学安排以抛物线的平移作为主线，知识间的逻辑关系清晰，先从特殊到一般地研究形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的二次函数，最后提出形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数，学生自然就能想到将后者配方变形为已学过的形式，这样的设计便于突出重点、突破难点.

而我尝试对内容作调整则是立足于尊重学生的认知需求，保护学生学习的主动性. 此外，我校学生程度较好，具备一定的研究问题的能力，也乐于探究问题. 因此，我结合学生学情制定了本课的教学目标，并且对教学情境、问题设计、代数说理等方面的内容和难度进行了反复推敲，进行这节课的尝试. 从学生的课后反馈来看，取得了较好的教学效果.

二、学生学情分析

授课班级的学生程度较好，基础扎实，思维灵活，具备一定的探索数学问题

北京市三帆中学 陈立雪

二次函数的图象和性质（3）教学设计 3

的能力，并乐于探究具有一定挑战性的问题.

在知识基础方面，学生八年级时学习了一次函数和反比例函数，会用描点法绘制函数图象，会用待定系数法求函数解析式，能够借助函数图象描述出函数的简单性质，能够理解函数的解析式、图象和性质之间的内在联系.

通过《二次函数》一章前几课时的学习，学生已经了解到二次函数的图象是抛物线，会用不共线的三点坐标求出二次函数的解析式，掌握了形如y=ax2+c(a≠0)的二次函数的图象和性质，并能从解析式上对函数的最值、对称性、增减性等特征进行说明.

在研究能力方面，学生在七年级时参加了我校开展的研究性学习课程，具备较强的解决问题的能力. 而在学习一次函数时，学生经历过自己提出问题、设计方案、解决问题的过程. 比如，在学了正比例函数y=kx后，研究一次函数y=kx+b时，学生就提出想要研究“b对函数图象的影响”这样的问题，为解决问题，部分学生针对性地设计出函数组（如y=2x+1，y=2x+2，y=2x-1；或y=x+1，y=2x+1，y=-x+1等），还有一些学生从解析式中猜想出了直线的上下平移关系，最终从不同解法中总结出“b的几何意义”.

因此，学生们不仅能够适应本课教学内容的调整，还能够从中表现出更强的自主性，获得更高的能力提升空间.

三、教学目标设置

1. 教学目标

（1）会将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，并确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）经历从特殊到一般的研究过程，体会数与形的内在联系；

（3）能利用二次函数的图象特征推测函数的性质，并利用二次函数的解析式对其图象特征进行解释和判断；

（4）感受数学的直观性、抽象性、严谨性，在方法迁移的过程中获得成功的体验.

2. 教学重点、教学难点

教学重点：形如y=ax2+bx(a≠0)的数字系数的二次函数的图象与性质.

教学难点：从解析式的角度对二次函数图象的对称性进行说理论证.

四、教学策略分析

1. 教学面临的问题

对本课而言，学生要掌握用配方的方法将数字系数的二次函数化为

北京市三帆中学 陈立雪

4 二次函数的图象和性质（3）教学设计

y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，这需要考虑以下问题：

（1）在学生提出的研究思路中，y=ax2+bx(a≠0)和y=ax2+bx+c(a≠0)两种形式的二次函数所使用的方法本质上是一样的，应当通过教学让学生意识到这种关系，使知识融合为一体；

（2）在研究以上两种形式的二次函数时，如果直接面对解析式，学生可能在绘制图象时已经遇到障碍，根据描出的有限几个点确定不出顶点或对称轴的位置，让代数变形的探究缺乏支撑；

（3）由于本课所研究的问题有一定难度，容易让学生感觉枯燥，所以问题情境的设计要尽量新颖、浅显，保护学生的积极性。

2. 教学方法的选择

本课主要采用了教师启发讲授和学生探究相结合的方法，包括教师的启发讲授、提问、演示，以及学生的练习、展示、讨论等过程.

3. 教学情境的设计

为了让课堂更丰富，同时加强知识之间的联系，我将所研究的几个二次函数用一个桥拱的情境串联起来，从图形入手，由浅入深地实现问题的引入、探究、推广和提升.

在问题1中，根据学生建系方式的不同，可以分别得到几类不同形式的二次函数，这样就把几节课的知识巧妙地串联起来了. 同时能够很快得出新形式的二次函数的对称轴和顶点坐标，为后面的探究确定了目标.

问题2在背景上看似问题1的延续，实则在思维上与问题1互逆，在方法上

北京市三帆中学 陈立雪

二次函数的图象和性质（3）教学设计 5

又是问题1的推广，让研究的对象过渡为形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数，这两种二次函数在形式上有差异，但知识间是有联系的，因而解决问题的方法是一样的.

问题3留给学有余力的学生在课下探究，希望他们通过观察和思考，找到抛物线位置和开口方向的决定因素，理解同一条抛物线在不同坐标系下所对应的不同解析式之间的联系，其实这种联系是双向的：通过y1的平移可以得出y2、y3、y4的图象；从更高层面理解，y2、y3、y4的性质本质上就是由y1的性质得到的. 随着理解的深入，学生对这些知识的理解经历着由感性到理性的过程.

如果去掉桥拱的问题背景，学生实际要研究的是以下三个二次函数：

这三个二次函数在形式和方法上由易到难.

函数y3是由图象得解析式，便于探究规律，形成方法. 函数y4容易配方，也较容易绘制出图象，还可以由前一个函数y3图象的平移得到这个函数的性质，可以让学生在方法迁移的过程中体会知识之间的联系，并获得成功的体验. 最后通过研究函数y=2x2-3x-1，巩固本课所学方法，并梳理研究二次函数的方法和过程.

4. 教学中的问题设计

本课教学中涉及到新方法的引入，研究过程中也会面临一些思维难题，因此，针对教学中的某些环节，我通过设计启发性或阶梯性的问题来帮助学生突破难点.

（1）引入配方方法的三步引导

【环节2】探究求解

①对y3=-2x2+4x，求证：当x=1时ymax=2.

在环节2中证明函数最值时，需要引导学生对解析式进行配方变形. 由于本章前几课时的研究中均没有出现配方，学生不容想到，所以需要给学生适当的引导. 在这里，我设计了三步引导来完成证明过程：

第1步：联想y=ax2+c(a≠0)的情形

当a<0时顶点(0,c)是最高点，这是因为ax2≤0，从而y=ax2+c≤c，

且当x=0时函数有最大值c，所以(0,c)是图象的最高点. 这是利用了

x2的非负性，来确定函数的最值和取得最值的条件，同时确定图象的

最高或最低点.

第2步：确定解析式的变形目标

若能够将解析式y3=-2x2+4x也变形成y=aM2+N的形式，其中M

北京市三帆中学 陈立雪

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