高中数学平面向量的内积备课教案

导读：　高中数学平面向量的内积备课教案(共5篇)平面向量的内积教案平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义 （2）了解平面向量内积的计算公式 为利用向量的内积研究有关问题奠定基础 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式 【教学难点】数量积的概...

本文是中国招生考试网（www.chinazhaokao.com）成考报名频道为大家整理的《高中数学平面向量的内积备课教案》，供大家学习参考。

高中数学平面向量的内积备课教案(一)
平面向量的内积教案

平面向量的内积

【教学目标】

知识目标：

（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.

（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：

通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．

【教学重点】

平面向量数量积的概念及计算公式.

【教学难点】

数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．

【教学设计】

教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．

在讲述向量内积时要注意：

（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；

（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.

教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：

（1）当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|；当<a,b>＝180时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．

（2）|a|

公式的基础；

（3）cos<a,b>＝

础；

（4）“a·b＝0ab”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． ab，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基|a||b|

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(80分钟)

【教学过程】

*揭示课题

7.3 平面向量的内积

*创设情境 兴趣导入

图7—21

如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成30角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？

动脑思考 探索新知

【新知识】

我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则

Fxi + y j Fsin30iFcos30j，

即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即

W＝｜F｜cos30·｜s｜＝100×3·10＝500 （J）

2

这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．

如图7－23，设有两个非零向量a,

b，作OA＝

a, OB＝

b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，

B

记作<a,b>．

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即

(7.10)

上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.

由内积的定义可知

a·0＝0, 0·a＝0．

由内积的定义可以得到下面几个重要结果：

（1） 当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|；当<a,b>＝180时，a·b＝−|a||b|.

（2） cos<a,b>＝ab. |a||b|

（3

） 当b＝a时，有<a,a>＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|（4） 当a,b90时，ab，因此，a·b＝abcos900,因此对非零向量a，b，

有

a·b＝0ab.

可以验证，向量的内积满足下面的运算律：

（1） a·b＝b·a．

（2） (a)·b＝(a·b)＝a·(b)．

（3） (a＋b)·c＝a·c＋b·c．

注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即

a·(b·c)≠（a·b）·c.

请结合实例进行验证.

*巩固知识 典型例题

例1 已知|a|＝3,|b|＝2, <a,b>＝60,求a·b．

解 a·b＝|a||b| cos<a,b> ＝3×2×cos60＝3．

例2 已知|a|＝|b|＝2,a·b＝2,求<a,b>．

解 cos<a,b>＝22ab＝＝−. |a||b|222

由于 0≤<a,b>≤180，

所以 <a,b>＝135．*理论升华 整体建构

思考并回答下面的问题：

平面向量内积的概念、几何意义?

结论：【高中数学平面向量的内积备课教案】

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即

(7.10)

a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积．

知识 典型例题

例3 求下列向量的内积：

（1） a＝ (2,−3), b＝(1,3)；

运用知识 强化练习

1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为60，求a·b．

2. 已知a·a＝9,求|a|．

3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝30，求(2a＋b)·b．

动脑思考 探索新知

设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以

a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j)

＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j

＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2

＝ x1 x2＋ y1 y2．【高中数学平面向量的内积备课教案】

这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即

(7.11)

利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则

a

a (7.12)

由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时，

(7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.

由于aba·b＝0，由公式(7.11)可知

a·b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0．

因此

ab x1 x2＋ y1 y2＝0． (7.14)

利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题． *巩固知识 典型例题

例3 求下列向量的内积：

（2） a＝ (2,−3), b＝(1,3)；

（3） a＝ (2, −1), b＝(1,2)；

（4） a＝ (4,2), b＝(−2, −3)．

解 (1) a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；

(2) a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；

(3) a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．

例4 已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a·b, |a|,|b|, <a,b>．

解 a·b＝(−1)( −3)＋2×1＝5；

|a|



|b|

；

cos<a,b>＝ab， |a||b

|所以 <a,b>＝45．

例5 判断下列各组向量是否互相垂直：

(1) a＝(−2, 3), b＝(6, 4)；

(2) a＝(0, −1), b＝(1, −2)．

解 (1) 因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以ab．

(2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂直． 运用知识 强化练习

1． 已知a＝(5, −4)，b＝(2,3)，求a·b．

2． 已知a＝(1,3)，b＝(0, )，求<a,b>．

3． 已知a＝(2, −3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．

高中数学平面向量的内积备课教案(二)
平面向量的内积教案

【高中数学平面向量的内积备课教案】

学科：数学 上课日期：2014年12月29—1月8日 班级或专业：13秋数学模块D

本课主题：平面向量的内积（一） 一、条件分析 学情分析 学情分析

向量的内积是从物理的具体问题中抽象出来的数学模式——两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积，定义为向量内积的。由于它不是以前学过的乘法概念的延续与扩充，而是由一种“规定”得到的另类乘法，所以初学时，学生接受起来有些困难，使得内积的教学成为本单元的难点。 教材分析

为了克服向量概念的抽象性，教材一开始就借助于物理学中的位移、力、速度等概念与温度、质量、时间等概念的不同引入了向量概念。如果抛开这些物理概念，直接讨论向量，必然会使学生感到抽象，不好理解。教材随后给出了向量的几何表示，即用有向线段表示向量。这就大大地增强了向量教学的直观性，为变抽象为形象，帮助学生建立向量的空间概念创造了条件。同时，教材在编写过程中还注意多用图示说明的方法，帮助学生理解概念，培养学生对向量的空间想象力。 二、教学结构化 三维目标 知识与能力目标

1．了解向量的内积及其运算法则； 2．能初步利用向量的内积解题。 过程与方法目标

通过实例引出向量内积的定义，培养学生的观察和归纳能力。 情感态度与价值观

培养学生理解一切事物都会相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点 。

三、教学过程

四、课后作业 练习册P117、118页

高中数学平面向量的内积备课教案(三)
向量的内积教学设计

第七章 平面向量

7.4.1 向量的内积

【教学目标】

1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积． 2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题． 3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点． 【教学重点】

平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律． 【教学难点】

平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解． 【教学方法】

本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．

数学基础模块 下册

第七章 平面向量

数学基础模块 下册

高中数学平面向量的内积备课教案(四)
中职数学基础模块下册《平面向量的内积》word教案

教学主题 教学目标：

平面向量的内积

1、掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义 2、掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。 教学设计：

实例引入→数量积的定义→简单应用。 教学方法：

引导启发式，讲练结合。

教 学 过 程

（一） 复习回顾 ①复习向量的概念； ②向量的表示。 清点人数

导入新课：

1． 力做的功：W = |F||s|cos 是F与s的夹角

2． 定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a||b|cos， 并规定0与任何向量的数量积为0。 3． 向量夹角的概念：范围0≤≤

B



O

4.注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。

2两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个

向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

3在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，

若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0。这就得性质2。

4已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c。但是ab = bc

 a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA| bc = |b||c|cos = |b||OA| ab=bc 但a  c

5在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a

共线的向量，而一般a与c不共线。 投影的概念及两个向量的数量积的性质： 1．“投影”的概念：作图

O

B

O

1O O

1

O

1O

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。 注意：1投影也是一个数量，不是向量。 2当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|。

2．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。

3．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 ①ea = ae =|a|cos ②ab  ab = 0

③当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|。

特别的aa = |a|2或|a|aa

ab

④cos =|a||b|

⑤ab| ≤ |a||b|

高中数学平面向量的内积备课教案(五)
中职数学基础模块下册《平面向量的内积》word教案1

江苏省高邮职业教育中心校教案纸 首页

江苏省高邮职业教育中心校教案纸 续页

相关热词搜索：高中数学平面向量视频 高中数学平面向量习题