直线的倾斜角与斜率教案

导读：　直线的倾斜角与斜率教案(共5篇)直线的倾斜角与斜率 教案最新直线的倾斜角与斜率【教学目标】 （一）知识与技能1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 2、通过直线倾斜角概念的学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力 （二）过程与方法经历用代数...

本文是中国招生考试网（www.chinazhaokao.com）成考报名频道为大家整理的《直线的倾斜角与斜率教案》，供大家学习参考。

直线的倾斜角与斜率教案(一)
直线的倾斜角与斜率 教案最新

直线的倾斜角与斜率

【教学目标】 （一）知识与技能

1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 2、通过直线倾斜角概念的学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力. （二）过程与方法

经历用代数方法刻画直线斜率的过程. （三）情感态度与价值观

1、通过斜率概念的建立和斜率公示的推导，初步体会“数形结合”思想； 2、培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 【教学重点、难点】

重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式. 难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式. 【教学方法】

问题解决法、讨论法，三案一体导学案教学模式. 【教学工具】

计算机多媒体、实物投影仪 【教学过程】

（一）置疑问题、切入新知

一次函数的图象有何特点?给定一次函数函数y=2x+1,如何作出它的图像? 【问题一 】

（1）在平面直角坐标系中经过一点P的直线l的位置能确定么？ （2）这些直线有什么不同？

（二）互动探究，建构概念 1.直线倾斜角的定义： 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.

当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00.

【问题二】

（1） 请同学们根据倾斜角的定义找出下列三

条直线的倾斜角并指出它们分别是锐角、直角还是钝角？

（2）直线的倾斜角的取值范围是什么？

（3）直线a//b，那么它们的倾斜角是什么关系？

指出：倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等，因此我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.

1

【问题三】

在平面直角坐标系内要确定一条直线需要哪些几何要素呢？ 学生讨论交流，然后让学生回答，老师总结：确定一条直线需要两个独立的要素. 2．斜率的概念

在日常生活中我们描述人走地快慢、汽车行驶地快慢都是用速率来表示的，也就是用路程与时间的比来表示的；我们又如何刻画山坡的倾斜程度呢？ 如果我们以前进量所在的直线为x轴，点o为原点建立平面直角坐标系，就是直线的倾斜角，即坡度就是倾

斜角的正切值，也就是说我们可以用倾斜角的正切

值来刻画直线的倾斜程度.这个正切值我们称为直线的斜率 斜率的概念：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直

线的斜率.倾斜角是900的直线没有斜率.斜率常用k来表示，ktan

（900）.

【问题四】

（1）倾斜角是450、300、600的直线斜率分别是多少？ （2）当倾斜角为钝角时如何计算直线的斜率？

规定：当为锐角时，tan(1800)tan，

请同学们接受规定计算倾斜角为1200、1350度时直线的斜率.

3．用两点的坐标来表示斜率

【问题五】

如何由直线上两点的坐标来表示斜率？请同学们交流探究（教师在教室内巡视，让做的好的回答，也可以让学生把结果拿到展台上展示） 教师通过信息技术加以验证.

给出公式：

(x,y1)，P2(x2,y2)的直线的斜率公式为 经过两点P11

深化公式： 【问题六】

(x,y1)，P2(x2,y2) 已知直线上两点P11

（1）当y1y2时，能用公式求直线的斜率吗？ （2）当x1x2时，能用公式求直线的斜率吗？【直线的倾斜角与斜率教案】

（3）当x1x2时，直线的斜率与两点坐标的顺序有关系吗？

（三）应用新知、实战演练

练习1 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角： （1）A(3,2)，B(4,1) （2）C(18,8)，D(4,4) （3）P(0,0)，Q(1,3)

练习2 已知实数a,b,c,d求经过下列两点的直线的斜率：

（1） A(a,c),B(b,d)； （2）C(a,b),D(a,d)；

（3）P(b,bc),Q(a,ca)

（四）深化内涵、拓展提高 例1．在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率为1，1，2及3的直线l1，l2，l3及l4. 分析：要画出过原点的直线l1，只需找出位于l1上的某一点A1来，A1的坐标可以由OA1得斜率确定.

解：设A1(x1,y1)是直线l1上的一点，根据斜率公式有1

y10

，即x1y1. x10

设x11，则y11，于是A1的坐标是(1,1).过原点及A1(1,1)的直线为l1，如图. 同理，由1

y20

，得y2x2.设x21，则y21.于是的直线l2上的x20

一点A2的坐标为(1,1).过原点及A2(1,1)的直线即为l2.

同理可知，l3是过原点及A3(1,2)的直线，l4是过原点及A4(1,3)的直线. 对点演练 画出经过点0,2，且斜率分别为2与2的直线.

例2

已知过两点A(m22,m23)，B(3m2m,2m)的直线l的倾斜角为450，求实数m的值.

m232m20

m3m20,解得 解:∵2,∴tan4512

m2(3mm)

m1或m2

但当m1时,A、B重合,舍去 ∴m2.

例3 已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(2,9a)在一条直线上，求实数a的值. 解:∵A,B,C在一条直线上,所以直线AB和直线BC的斜率相等.所以

579a2

 ,解得a2或a 3a59

（五）回顾反思、感悟收获（由学生归纳，教师反馈） 1、直线的倾斜角和斜率的概念. 2、直线的斜率公式.

3、体会将几何问题转化为代数问题的思想方法.

（六）巩固提高，推荐作业 习题3.1 A组 3、4 附：板书设计

直线的倾斜角与斜率教案(二)
直线的倾斜角与斜率教学设计

普通高中课程标准实验教科书（北师大版）

数学必修2第二章第二节

直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率

1

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直线的倾斜角与斜率教案(三)
直线的倾斜角和斜率教案

《直线的倾斜角和斜率》教案

教学目的：

1.了解 “坐标法”

2.理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率

公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；

3.已知直线的倾斜角，求直线的斜率

4.已知直线的斜率，求直线的倾斜角

5.培养学生“数形结合”的数学思想.

教学重点： 斜率概念 ，用代数方法刻画直线斜率的过程.

教学难点： 1直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.

2运用两点坐标计算直线的斜率

授课类型： 新授课

课时安排： 1课时

教 具： 多媒体

教学过程：

一.知识背景与课题的引入

1.从本章起,我们研究什么?怎样研究?【直线的倾斜角与斜率教案】

解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的,解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期.解析几何由此成为近代数学的基础之一.

在解析几何学中,我们常常用一种方法:坐标法. 研究几何图形的性质。 坐标法是以坐标系为基础,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,它是解析几何中最基本的研究方法.

本章首先在平面直角坐标系中,建立直线的方程.然后通过方程,研究直线的交点、点到直线的距离等.

2．课题的引入

下面就让我们就一起踏着前人的足迹去学习和体会这一门科学的思想方法，用坐标法研究几何问题时,我们首先研究最简单的几何对象——直线，学习直线的倾斜角和斜率.

二.新课

1问题1

对于平面直角坐标系内的一条直线 它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗?

分析:对,两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与 轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角 叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角.

注:平行于 轴或于 轴重合的直线的倾斜角为0°

问题2

直线倾斜角的范围是多少?

这样在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角 ,倾斜角刻画了直线倾斜的程度,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等, 倾斜程度不相同的直线,其倾斜角也不相等.

问题3(斜率的概念)日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量: 例如:坡度(比)= 升高量/前进量

能否用一个比值刻画斜率呢？

如果 是一条直线的倾斜角,我们把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slop) 记作:k=tana

问题4

(1)是不是所有的直线都有倾斜角?是

（2）是不是直线都有斜率?倾斜角为90°时没有斜率, 因为90°的正切不存在. ( 是锐角时为正,倾斜角是钝角时为负)反映了直线向右或向左倾斜的程度,特别是倾斜角 是锐角时,斜率的值越大倾斜角也越大,倾斜角是钝角时也同样. 探究：由两点确定的直线的斜率

设直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),求此直线的斜率. 由相似三角形，我们有k=y2-y1

x2-x1

(1)当倾斜角为0°时,此公式适用吗？

(2)当倾斜角为90°时,此公式使用吗？不适用

综上讨论,我们得到经过两点

P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1¹x2)的直线的斜率为k=y2-y1

x2-x1

三.练习

(1)直线l1的倾斜角a1＝30o,直线l1与l2垂直，求l1与l2的斜率. 例1：

(2)已知直线l经过点A(0,1)，B(1,2)，求l的倾斜角的取值范围 sinq

例2:已知直线l过原点O，且与线段MN相交,又

M(-2,4),N(3,2)

(1)求直线OM,ON，MN的斜率.

(2)设M,N,P(4,a)三点共线,求a的值.

(3)求直线l的斜率的取值范围.

y(4)若MN与l交与点P（x,y），求的取值范围. x

(5)若l与MN交与点P(x,y)，且l的斜率k=3

求P点坐标.

思考：

已知a,b,c?R,且a+a+ca b，求证>.b+cb

四.小结

1、填表：

2、强调斜率公式的应用，能解决哪些类型的问题？

五.课后作业:P 练习题1、2、3、4

六．教学后记

直线的倾斜角与斜率教案(四)
直线的倾斜角与斜率教案

【直线的倾斜角与斜率教案】

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

教学目标:

1、 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

2、 理解直线的倾斜角的唯一性.

3、 理解直线的斜率的存在性.

4、 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?

2. 在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水

平面之间的一个什么关系呢?

二、讲授新课：

1. 教学直线倾斜角与斜率的概念：

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? (1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念:

① 直线倾斜角的概念： x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角

注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。

讨论:倾斜角的取值范围是什么呢? 0°≤α＜180°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入

直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系

内的每一条直线的倾斜程度.

直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α..

② 直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值叫直线的斜率.

常用k表示,ktan

讨论:当直线倾斜角为90度时它的斜率不存在吗?. 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?

斜率为正或负时,直线过哪些象限呢?取值范围是0°≤α＜180°.

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?

③ 直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点p1(x1,y1)与p2(x2,y2),

则过这两点的直线的斜

1

率ky2y1 x2x1

思考 :(1)直线的倾斜角确定后, 斜率k的值与点p1,p2的顺序是否有关?

(2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时,上述公式k

归纳： 对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

(2) k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与

分母不能交换;

(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.

2. 教学例题:

例1．已知 A（3，2），B（-4，1），C（0，-1）求直线AB、AC、BC的斜率,并判断这些直线

的倾斜角是锐角还是钝角.

例2．在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为 1,2,3的直线l1,l2,l3.

例3．已知三点A（a，2）、B（5，1）、C（-4，2a）在同一直线上，求a的值。（

三. 巩固与提高练习:

1．教材P86面练习第1、2、3、4题。 y2y1还适用吗? x2x17） 2

l

2．若直线l向上的方向与y轴正方向成30°角，则l的倾斜角为 60° 、 3．已知等边三角形ABC，若直线AB平行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的倾斜角为 0° ，

斜率为AC、BC所在的直线的倾斜角为120°、60°，斜率为 （ －、 3 ） 。

4．当且仅当m为何值时，经过两点A（m，3）、B（-m，2m-1）的直线的倾斜角为60°？

四.小结:

倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式.

五:作业《习案》十七

2

直线的倾斜角与斜率教案(五)
3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计

第三章 直线与方程

3.1.1 倾斜角与斜率（2课时）

主备教师：李劲东

一、内容及其解析

“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X轴正方向所成的角和角的正切值。之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、目标及其解析

目标定位：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率

3、掌握过两点的直线的斜率公式。

目标解析：

1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X轴为基准，直线与X轴相交时，X轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。

2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角，会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。

3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式k= （x1≠x2）

三、问题诊断与分析

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范围理解时会不糊不清 和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难，产生这两个问题的原因是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上认真正理解和对新公式

。tan(180)tan的运用还不灵活。要解决这一困难，就要让学生从开始就认真的从定义上理解倾斜角的概念和多用公式tan(180。)tan。其中理解倾斜角的关键是理解当直线与X职轴相交时倾斜角的概念是怎么定义的当直线不与X轴相交时又是怎么定义的。理解公式的tan(180。)tan的关键是多用该阶段只要求学生会用就行。

四、教学支持条件分析

本节课打算用多媒体进行教学，因为多媒体的教学更容易刻画直线在直线坐标系中的位置，直观明了。是学生更容易理解，并且多媒体教学的课容量大，大大提高了课堂的效率

五、教学设计

情景引入：初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线。我们知

道一次函数的图像在直角坐标系中画出来就是一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗？这就是我们本节课研究的主要内容

问题一：在平面直角坐标系中怎么定义直线的倾斜角和斜率？

(设计意图：以大问题的形式呈现本节课要学的内容然后理解这两个概念。)

问题1：在平面直角坐标系中过一点P能确定几条直线？观察并思考这些直线有什么共同点和不同点呢？

师生活动1：教师提问，学生动手画直角坐标系并过P作图观察并思考

结论：如图，过点P在直角坐标系中可以作出无数条直线。

这些直线的主要的共同点是都过点P，

不同点是这些直线与X轴的倾斜程度不同

由此可以定义直线的倾斜角

直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.

并且当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00。

如图为直线l的倾斜角

直线l的倾斜角分别为：锐角、直角、钝角、0角。

由直线倾斜角的定义可知：直线倾斜角的范围是0≤＜180

故

理解倾斜角的概念需要注意两点：

1. 直线倾斜角的定义包括两部分

（1） 当直线l与x轴相交时，定义它向上的方向与x轴正方向所成的角叫倾斜

角，包括锐角、直角、钝角。

（2） 当直线与x轴平行或重合时规定倾斜角为0

2. 在平面直角坐标系中，一条直线对应唯一的一个倾斜角，倾斜程度相同的直线，

倾斜角相等。倾斜程度不同的直线他们的倾斜角不同。故我们用倾斜角刻画直线

的倾斜程度。

问题2：探究在平面直角坐标系中怎么确定直线的位置？

师生活动：

1. 已知直线过点P能确定直线的位置吗？

结论：不能，如图点P的直线可以是无数条因为直线可以任意饶点P

转动

2. 已知直线的倾斜角是45时，能确定直线的位置吗？

结论：不能，如图因为直线可以平行移动



3. 当直线过定点p并已知它倾斜角是45，能确定直线的位置吗？

能确定，直线过定点p，并且倾斜角是45，因此这条直线不能转动和平移了。

如图： 

由此可知：确定直线的方法除了两点可以确定一条直线外

还有已知一点和一个倾斜角

例1：如图所示，直线l的倾斜角是多少度（ ）

A．45 B 135 C 0 D. 不存在

变式训练：已知一条直线在第一象限过一点M，其倾斜角是30，作出这条直线

问题二：什么是斜率？

（设计意图：提出问题，以大问题的形式引出要学的内容）

问题1：日常生活中我们描述人走的快慢、汽车行驶的快慢都是用速率来表示的，也就是用路程与时间的比来表示的；我们又如何刻画山坡的坡面的倾斜程度呢？ 学生思考并进行讨论学习

结论：如图一个山坡的坡度可近似看做一个直角三角形

如果我们以前进量所在的直线为x轴，点o为原点建平面直角坐标系，就是直线的倾斜角，也就是说我们可以用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度.

坡度（比）=升高量/前进量

即坡度就是倾斜角的正切值，这个正切值我们称为直线的斜率，

因此

直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率 斜率通常用小写的字母k表示，所以k=tan（≠90，=90正切值不存在） 当直线的倾斜角=45时，斜率k=tan45=1，当=tan135时，k=tan135 因初中学习锐角正切值的计算，因此可以直接给出公式当为锐角时

。tan(180)ta，对于这个公式要求会用就行，后面的学习将会进一步推n

导，因此tan135=tan(18045)tan45=—1

问题2：探究当在0度到90度变化时，斜率是如何变化的？当在90度到180度范围变化时，倾斜角的变化又如何？

下面请同学们计算：当直线斜率是以下角时，直线斜率是多少？

30、45、60，=120、135、150 =0、

由公式可计算得

k=tan0=0、

k=tan30、k=tan45=1、

k=tan60



k=tan120=tan(180-60)=-tan60

k=tan135tan(18045)tan451

k=tan150tan(18030)tan30可以利用计算器计算当由锐角无限接近90度时k值是向正无穷靠近的并且正值，即当在0度到90度变化时随着倾斜角的增大斜率增大，而当由钝角无效接近90度时，k值是无限向负无穷靠近的并且为负值。即当在90度到180度范围变化时，随着倾斜角的增大斜率增大。

由此可知： 当为锐角时，斜率k=tan>0

当为钝角时，斜率k=tan<0

当为直角时，tan不存在，所以斜率k也就不存在

当=0时，斜率k=tan0=0

反过来

当直线的斜率k>0时，直线的倾斜角为锐角

当直线的斜率k<0时，直线的倾斜角为钝角

当直线的斜率k=0时，直线的倾斜角为0度角

当直线的斜率k不存在时，直线的倾斜角为直角 

例2：已知一条直线与X轴平行，则这条直线的斜率k的值是（）

A.0

B C 1 D 不存在

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