人教版七年级下数学平行线教案

导读：　人教版七年级下数学平行线教案(共5篇)...

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人教版七年级下数学平行线教案(一)
新人教版七年级下册第五章《相交线与平行线》全章教案(共12份)

第五章 相交线与平行线

（总第一课时）5.1.1相交线

教 学 过 程 设 计

一、联系生活，导入新知

生：欣赏美丽的跨海大桥图片，观察思考两直线的位置关系有哪几种？

师：这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线、平行线有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．它们就是我们本章要研究的课题．

【板书】第五章 相交线、平行线

5．1 相交线、对顶角

【设计意图】在欣赏美丽的图画中寻找出数学模型，让学生体会“数学就在我们身边，初步培养学生从实物中抽象出简单的几何图形的能力，激发学生学习兴趣．

二、合作探究，形成概念

师：取两根木条a、b，用钉子将它们钉在一起，并且能随意张开． 生：画出图形，并用几何语言描述所画的图形． 师：思考所画的图形中有几个小于平角的角？ 生：四个．

师：为了方便描述，我们用：：∠1、∠2、∠3、∠4来表示这四个角，如果把这四个角中任意两个角组成一对，一共可以组成几对呢？

生：（互相补充）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4，∠2和∠3，∠2和∠4，∠3和∠4．

师：以小组为单位讨论：这六对角按位置特点来分可以分成几类？为什么？

1

生1：一类是相邻的∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4，一类是相对的∠1和∠3，∠2和∠4．

生2：一类是有公共边的∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4，另一类是无公共边的

„„

师：把这六对角分成两类，一类是有一条公共边，另一边互为反向延长线（∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4）；另一类是没有公共边，两边都互为反向延长线（∠1和∠3，∠2和∠4），这就是今天要学的对顶角和邻补角．

【板书】：两条直线相交得到的四个角中：有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角． 师：强调“相交直线”的前提条件．

对顶角：有公共顶点无公共边．邻补角：有公共顶点且有一公共边． ．．．．．．．．． “互为”两个字的含义是什么？

生：互为是针对两个角而言，如∠1是∠3的对顶角，反过来∠3也是∠1的对顶角． 【设计意图】引导学生按位置关系进行分类，并针对分类的原因进行探索和交流，让学生经历概念的形成过程，真正理解对顶角和邻补角的概念．在探索过程中，渗透分类思想，培养探究意识和合作交流能力，调动学生参与积极性．

三、及时巩固，加深理解

1、下列各图中，∠l和∠2是对顶角吗？为什么？

2

2

2 2

（２）

（１） （３） （４）

【设计意图】本组题目是巩固对顶角概念的，通过练习，使学生掌握在图形中辨认对顶角的要领，同时又用反例印证概念，使学生加深印象． ２． 下列各图中，∠l和∠2是邻补角吗？为什么？

2 2

2

（１） （２） 师：图（1）中的邻补角可以看成是怎样形成的？邻补角为什么互补？ 生：一条直线和一条射线相交形成，邻补角构成一个平角． 3、请分别画出图中的∠l对顶角和∠2的邻补角．

2

A

2

C

E

D

4、如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O， ∠AOE的对顶角是 ， ∠EOD的邻补角是 ．

【设计意图】通过辨、画、找，及时反馈学生思维上的一些偏差，加深对两个概念的理解，在画邻补角和找邻补角中让学领会分类思想．

四、师生互动，再探性质

师：在刚才的练习中，我们知道互为邻补角的两个角的和为180度，互为对顶角的两个角有什么样的大小关系呢？（演示相交线模型） 生：相等． 师：为什么？ 生：（讨论交流）

生1：∵∠1＝ 180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义）， ∴∠1＝∠3（等量代换）

生2：∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义）， ∴∠l＝∠3（同角的补角相等）

师：很好，根据上一章补角的性质“同角的补角相等”说明了对顶角相等这一性质． 【板书】：对顶角相等．

【设计意图】引导学生观察、猜测、推理，得到本节课的重点——对顶角相等，让学生深刻理解性质，训练学生的说理能力，树立学好几何图形的信心．

五、变式训练，提升能力

1．已知直线a、b相交，∠l＝40°,求∠2、∠3、∠4的度数．

变为∠l＝90°2． 变式1：把∠l＝40°,求∠2、∠3、∠4的度数．

变式2：把∠l＝40°变为∠l＝n°,求∠2、∠3、∠4的度数．

变式3：把∠l＝40°改为∠2是∠l的3倍，求∠1、∠2∠3、∠4的度数．

变式4：如图，直线AB、CD相交于O点，OE平分∠AOD， 若∠1＝20°，那么∠2＝______．

a b

3

A C

O

2

E

D B

3

变式5：如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°，若 ∠1＝20°，那么∠2＝____，∠3＝____，∠4＝____．

3．右图是对顶角量角器,你能说出用它测量角的原理吗？

4．如图，要测量两堵围墙所形成的角AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？ 5． 如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，

图中共有几对对顶角？

A C

E

D 变式：图中共有几对邻补角？

师：解决这类题目的关键是要善于从复杂图形中分离出基本图形．对顶角、邻补角的基本图形是两条直线相交，则三条直线相交的图形应分解为三个两条直线交于一点的图形．如：

为此，对顶角有 2×3＝6个，邻补角的对数为 4×3＝12个．

【设计意图】通过变式，由易到难，培养学生举一反三的能力，在利用数学解决实际问题中感受成功，培养学生从现实情境中建立几何模型的能力，思考题能很好地培养学生的化归能力．

六：回顾梳理，归纳小结

师：这节课你学到什么知识？理解的怎样？你有哪些方面的感悟？还有什么疑惑？ 生：„„

七：布置作业，分层发散

1．课本：P7－91，2，8，9；

2．探究（选做）四条直线相交于一点，共有几对对顶角？几对邻补角？n条直线呢？

【教学反思】：

4

（总第二课时）5.1.2垂线(第1课时)

教 学 过 程 设 计

5

人教版七年级下数学平行线教案(二)
七年级数学下册 5.2《平行线及其判定》教案 (新版)新人教版

5.2平行线及其判定教案

◆教学目标◆

◆知识与技能：

（1）理解在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种。

（2）能借助直尺和三角板过直线外一点作已知直线的平行线。

（3）体会平行公理及其推论。

◆过程与方法：通过对现实生活中平行线的认识，进一步建立空间观念， 让学生经历观察、实践、讨论、体会平行公理的过程，发展学生的抽象概括能力。

◆情感态度和价值观：

（1）通过对生活中平行线的认识，体验生活中处处有数学。

（2）通过师生的共同活动，促使学生在学习活动中学会与人交流，培养学生的良好情感和主动参与意识。

（3）学生经历观察、动手操作、发现讨论等数学活动，感受数学活动充满探索性与创造性，促进学生乐于探究。

◆教学重点与难点◆

◆重点：探索平行公理的过程

◆难点：平行公理推论的说理

◆教学方法◆

1、动：教师利用多媒体设计动画情景，鼓励学生动手做，动笔画，动脑想，动口说，亲身经历知识的发生、发展过程。

2、探：教师引导学生操作模型，动手画图与合作讨论，共同探索出平行公理及推论。同时，通过设置拓广探索、应用延伸等练习来激发学生强烈的探索欲望。

3、乐：本节课的设计力求做到“与学生的生活实践联系得紧一点，直观的多一点，动手实验的多一点，使学生的兴趣高一点，自信心强一点”，促使学生乐于学习，乐于思考，乐于探索，乐于创新。

4、渗：在整个教学过程中，渗透观察、猜想、归纳、类比等数学思维方法，同时，通过平行公理推论的教学，向学生初步渗透反证思想，让学生尝试“说点儿理”。

◆学法指导◆

让学生学会观察、比较、分析、归纳，学会从具体的实例中抽象出一般规律.从中提高他们的概括能力和语言能力，并养成动手、动脑、动口的良好的学习习惯.

◆教学准备

◆教师：课件 自制教具、三角板

◆学生：三角板

◆教学过程◆

（一）创设情景，引入新课

让学生感受一组画面，从而引出本节课题：平行线（板书课题），欣赏电脑画面,认识平行线。

1

在活动中教师应重点关注:

(1) 学生是否能从实际生活中发现并提出数学问题。

(2)学生的审美意识及对演示图片倾注的情感。

（二）观察与思考

建立模型 学生以小组为单位动手操作模型，并思考问题：在木条转动的过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？

利用这个模型引入，可以帮助学生直观理解平行线的概念。同时，通过学生主动的活动，让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质，亲身体验如何“做数学”，从中感受到数学的力量，促使学生乐于学习。

（三）认知与探索

在学生认识了平行线后，举出生活中平行线的例子，进一步加深理解。让学生通过动手画图、分组讨论，经历知识的发生、发展过程，变被动学习为主动学习。

通过演示空间里两条直线的位置关系，拓展学生的思维空间，建立空间观念，发展几何直觉，同时也让学生进一步理解为什么要强调“在同一平面内”。

1.平行线的概念：

（1）学生讨论得到：在木条转动过程中存在一个直线a与直线b不相交的位置，这时直线a与b互相平行（parallel），记作a∥b，读作a平行于b。

（2）平行线在生活中是很常见的，你还能举出其他一些例子吗？

（3）动手画一画，分小组讨论：在同一平面内，两条直线的位置关系有几种？

（4）动画演示空间图形：这样的两条直线会相交吗？那么它们平行吗？

2.平行线的画法：

（1）过直线AB外一点P，你能画出直线AB的平行线吗？能画出几条？

（2）动画演示平行线的画法。

（3）练习：过点P画直线MN的平行线：

画平行线是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，常常会遇到画平行线的问题。通过动画演示平行线的画法，指出画平行线的关键：一放、二靠、三移、四画，加强直观教学。这组练习是为了让学生认识一些变式图形，打破思维局限，牢固掌握画平行线这一基本技能。

3．平行公理：

（1）讨论：在前面转动木条a的过程中，有几个位置使得a与b平行？如图过点B画直线a的平行线，能画出几条？【人教版七年级下数学平行线教案】

（2）类比前面我们学过的“垂线的性质”，你能得出什么结论？

（3）归纳平行公理。

通过观察、画图、讨论等探索过程，用类比的方法归纳出平行公理，从而把学生的直观体验上升到理性思维。

4.平行公理的推论：

（1）讨论：过点B、C分别画直线a的平行线b和c，那么b和c平行吗？由此你又能得出什么结论？

（2）归纳平行公理的推论。

（3）平行公理推论的说理。

平行公理推论的说理是本节课的难点，为了突破这一难点，首先从学生感兴趣且容易理解的 2

问题入手，向学生初步渗透反证思想。然后自然过渡到平行公理推论的说理过程，让学生乐于接受。

（四）学以致用

小红的妈妈是舞蹈教师，有一次快到六一儿童节了，需要编排一个舞蹈，规定排成三行，然后变换各种队形。小红一听，高兴地对妈妈说：“这是我们学过的数学知识，让我来替您参谋参谋。”小红利用我们刚学过的知识：平面内三条直线的位置关系，设计出了四种队形。小红的妈妈一看，果然好办法，队形变化多端。

你知道小红是怎样设计的吗？

说明：学生分组讨论、设计并在全班交流，然后教师利用动画展示。

（五）课堂检测

一、选择题

1.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是( )

A.平行或相交 B.垂直或相交; C.垂直或平行 D.平行、垂直或相交

2.下列说法正确的是( )

A.经过一点有一条直线与已知直线平行

B.经过一点有无数条直线与已知直线平行

C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行

D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

二、填空题

3.在同一平面内,____________________________________叫做平行线.

4.若AB∥CD,AB∥EF,则_____∥______,理由是__________________.

三、解答题

5.已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的关系是什么?为什么?

6.根据下列要求画图.

(1)如图(1)所示,过点A画MN∥BC;

(2)如图(2)所示,过点P画PE∥OA,交OB于点E,过点P画PH∥OB,交OA于点H;

(3)如图(3)所示,过点C画CE∥DA,与AB交于点E,过点C画CF∥DB,与AB•的延长线交于点F.

ADC

C

(1) (2) (3)

（六）、课堂小结

1、什么是平行线？“平行”用什么表示？

2、平面内两条直线的位置关系有哪些？

3、平行公理及推论是什么？

将本节课所学知识进行回顾和梳理，进一步培养他们归纳，总结能力.

（七）板书设计

3

5．2．1平行线【人教版七年级下数学平行线教案】

1.平行线定义

2. 平行公理及推论

3.平面内两条直线的位置关系

◆课后思考◆

4

人教版七年级下数学平行线教案(三)
人教版七年级数学(下册)第五章 相交线与平行线教案

第五章 相交线与平行线

教材内容

本章主要内容是两条直线的位置关系：相交线和平行线，以及平移变换的内容。

本章首先研究了相交的情形，探索了两条直线相交所成角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角的概念，得出了“对顶角相等”的结论；并着重研究了相交的特殊情形——垂直，探索了垂直的性质，给出了点到直线的距离的概念。接着研究了平行的情形，教科书首先引入了一个基本事实（平行公理），以此为出发点探讨了两条直线平行的性质和判定，并给出了两条平行线间的距离的概念，还对命题以及命题的构成作了简单的介绍。最后研究了平移的概念和性质，以及利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题。

本章知识是学习线和角的继续，也是学习几何知识的重要基础，以后几乎所有几何图形的学习都用到本章知识。

教学目标

〔知识与技能〕

1、了解两条直线的位置关系有相交与平行两种，理解相交线、平行线、平移的有关概念及性质，会运用这些概念和性质进行简单的推理和计算；2、会用三角板、量角器等工具熟练地画垂线、平行线及有关简单几何图形，逐步培养学生的识图和绘图能力；3、进一步熟悉和掌握几何语言，能够把学过的概念和性质，用图形或符号语言表示出来；4、逐步了解几何推理要步步有据，会准确地填写推理的根据，并会作简单的推理。

〔过程与方法〕

1、通过探索、猜测，进一步体会学会推理的必要性，发展学生初步推理能力；2、通过揭示一些概念和性质之间的联系，对学生进行创新精神和实践能力的培养.

〔情感、态度与价值观〕

1、通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，以感受推理过程的严谨性以及结论的确定性；2、开展探究性活动，充分体现学生的自主性和合作精神，激发学生乐于探索的热情。

重点难点

垂线的概念与平行线的判定与性质及平移是重点；学会写推理过程和对直线平行的性质和判定的灵活运用是难点。

课时分配

5.1相交线 „„„„„„„„„„„„„„„ 2课时 5.2平行线 „„„„„„„„„„„„„„„ 3课时 5.3平行线的性质 „„„„„„„„„„„„ 3课时 5.4平移 „„„„„„„„„„„„„„„„ 5课时 本章小结 „„„„„„„„„„„„„„„„ 2课时

5.1.1 相交线

〔教学目标〕1、经历探究对顶角、邻补角的位置关系的过程；2、了解对顶角、邻补角的概念；3、知道“对顶角相等”并会运用它进行简单的说理。

〔重点难点〕重点：对顶角、邻补角的概念和“对顶角相等”；

难点：正确区别互为邻补角与互为补角和运用“对顶角相等”说理

〔教学过程〕 一、情景导入

下图是一段铁路桥梁的侧面图，找出图中的相交线、平行线。

“米”字形中的线段都相交，“米”字形中间的线段都平行，等等。 相交线和平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用。我们将在前一章的基础上，进一步研究直线间的位置关系，同时还要介绍一些有关推理证明的常识，为后面的学习做些准备。

二、邻补角和对顶角

下面是一把剪刀，你能联想到什么几何图形？

C

3 D

B 两条直线相交，如图。

上图中两条相交直线形成的四个角中，两两相配共能组成六对角，即: ∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4、∠2和∠3、∠2和∠4、∠3和∠4。 量一量各个角的度数，你能将上面的六对角分类吗？

可分为两类：∠1和∠2、∠1和∠4、∠2和∠3、∠3和∠4为一类，它们的和是180；∠1和∠3、∠2和∠4为二类，它们相等。

第一类角有什么共同的特征？

一条边公共，另一条边互为反向延长线。 具有这种关系的两个角，互为邻补角。 讨论：邻补角与补角有什么关系？ 邻补角是补角的一种特殊情况，数量上互补，位置上有一条公共边，而互补的角与位置无关。

第二类角有什么共同的特征?

有公共的顶点，两边互为反向延长线。 具有这种位置关系的角，互为对顶角。

思考：下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是〔 〕

A B C D 注意：对顶角形成的前提条件是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个。

三、对顶角的性质

在用剪刀剪布片的过程中，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开布片。在这过程中，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角有什么关系？

为了回答这个问题，我们先来研究下面的问题。

如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠1和∠3有什么关系？为什么？

C

3 O

D

B

∠1和∠3相等。

0 0 、

∵∠1＋∠2＝180，∠2＋∠3＝180∴∠1＝∠3（同角的补角相等） 同理∠2和∠4相等。 这就是说：对顶角相等。

你能利用这个性质回答上面的问题吗？ 因为剪刀的构造可以看成两条相交的直线，所以两个把手之间的角与剪刀刃之间的角互为对顶角，由于对顶角相等，因此，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角始终相等。

四、例题

如图，直线a、b相交，∠1＝40，求∠2、∠3、∠4的度数。

C

3 D

B

分析：∠1和∠2有什么关系？∠1和∠3有什么关系？∠2和∠4有什么关系？

00000

解：∵∠1＋∠2＝180，∴∠2＝180—∠1＝180—40＝140.

00

∠3＝∠1＝40，∠4＝∠2＝140. 五、课堂练习

D 1、一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个，而A

补角则可以有 个。

E O 2、下图中直线AB、CD相交于O，∠BOC的对顶角

C B 是 ，邻补角是 六、课堂小结

1、什么是邻补角？邻补角与补角有什么区别？ 2、什么是对顶角？对顶角有什么性质？ 作业：

5.1.2 垂线（一）

〔教学目标〕1、了解垂线的概念；2、理解垂线的性质1；3、会用三角尺或量角器过一点画一条直线垂直于已知直线。

〔重点难点〕重点：垂线的概念、性质1和画法；

难点：画线段和射线的垂线。

〔教学过程〕 一、情景导入

〔投影1〕如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b。当b的位置变化时，a、 b所成的角是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a与b是什么位置关系？

a

有，当＝90时；垂直。 二、垂线

显然，垂直是相交的一种特殊情形，即两条直线相交成90的情况。

两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如图，直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD,垂足为O。

CA

B

D

在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的,你能再举一些其它的例子吗？

思考：下面所叙述的两条直线是否垂直？ ①两条直线相交所成的四个角相等; ②两条直线相交,有一组邻补角相等; ③两条直线相交,对顶角互补.

①②③都是垂直的。 三、垂线的性质

探究:.学生用三角尺或量角器画已知直线l的垂线. (1)画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?

(2)经过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条? (3)经过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?

由画图可知：(1)可以画无数条； (2)可以画一条； (3)可以画一条。

这就是说，经过直线上或直线外一点，可以画一条垂线，并且只能画一条垂线，即：

性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ．．．．

注意：①“有”指存在，“只有”指唯一；②“过一点”中的“点”在直线上或在直线外。

四、课堂练习

1、课本9面9题；

2、课本5面练习2题。 五、课堂小结

1、垂线的概念，垂直的表示； 2、垂直的性质1； 3、垂线的画法。 作业：

人教版七年级下数学平行线教案(四)
七年级数学下册《5.2.1平行线》教案 人教新课标版

用心 爱心 专心

1

用心 爱心 专心 2

人教版七年级下数学平行线教案(五)
人教版七年级数学下册--《相交线与平行线》教师教案

相交线与平行线（教师教案）

第一段 典型例题

【开课】教师在正式开课前，先把本次课程的内容简单概括一下： 今天的内容主要包括以下几部分内容：

一． 相交线、垂线的概念

二． 同位角、内错角、同旁内角等的概念

三． 平行线的的性质和判定

【课程目标】

1. 理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”；

2. 理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；

3. 理解平行线的概念，正确地表示平行线，会利用三角尺、直尺画平行线，理解平行公理和平行公理的推论；

4. 掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质；

5. 能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。

【课程安排】

1 教师简要介绍本次课程的关键点，同学做题，然后教师讲解

2 教师总结，学生做综合练习（第二段）教师讲解

【教师讲课要求】

教师先将第一段练习发给每一位学生，学生做题时教师必须巡视，了解学生做题情况，学生完成练习后，教师进行讲解。

第一部分 相交线、垂线

课时目标：理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八

角”；理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质； 教师讲课要求

【知识要点】：请学生看一下做好上课的准备

（一）相交线

1. 相交线的定义

在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。

A

CBCDA4123D1OB

图1 图2 图3【人教版七年级下数学平行线教案】

2. 对顶角的定义

若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。

注意：两个角互为对顶角的特征是：（1）角的顶点公共；（2）角的两边互为反向延长线；

（3）两条相交线形成2对对顶角。

3. 对顶角的性质

BC

对顶角相等。

4. 邻补角的定义

如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。

（二）垂线

1. 垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

A D A

C 1 D B B C

图4

如图4所示，直线AB与CD互相垂直，垂足为点O，则记作AB⊥CD于点O。

其中“⊥”是“垂直”的记号；是图形中“垂直”(直角)的标记。

注意：垂线的定义有以下两层含义：

（1）∵AB⊥CD（已知） （2）∵∠1＝90°（已知）

∴∠1＝90°（垂线的定义） ∴AB⊥CD（垂线的定义）

2. 垂线的性质

（1）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（2）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最短。

3. 点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

P

m

ABCD

图5 图6

如图5所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。

4. 垂线的画法（工具：三角板或量角器）

5. 画已知线段或射线的垂线

（1）垂足在线段或射线上

（2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上

（三）“三线八角”

两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。

（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。

（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线l的两旁，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。

（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。

范例1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。

（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；

（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；

（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；

（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。

分析：本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。（1）、（2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断（1）、（2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90°，故（3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。

解答：（1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。

（2）这种说法是错误的。因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。

（3）这种说法是正确的。

（4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。

说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。

范例2. 如下图（1）所示，直线DE、BC被直线AB所截，问1与4，2与4，3与4各是什么角？

A

D

1

2 3

E

4

C

图（1）

分析：已知图形不标准，开始学不容易看，可把此图画成如下图（2）的样子，这样就容易看了。

A

D

1

2 3

E

4

C

图（2）

答案：1与4是同位角，2与4是内错角，3与4是同旁内角。

范例3 如下图（1），

l2

6

4 l1

l3

图（1）

（1）1与2是两条直线_________________与_________________被第三条直线_________________所截构成的___________________角。

（2）1与3是两条直线_______________与_________________被第三条直线____________________所截构成的________________角。

（3）3与4是两条直线_______________与___________________被第三条直线_________________________所截构成的_______________角。

（4）5与6是两条直线_______________与_______________，被第三条直线______________________所截构成的________________角。

分析：从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到1与3是由直线l1，l3被第三条直线l2所截构成的同位角，如下图（2），类似可知其他情况。

l2

l1

l3

图（2）

答案：（1）1与2是两条直线l2与l3被第三条直线l1所截构成的同位角。

（2）1与3是两条直线l1与l3被第三条直线l2所截构成的同位角。

（3）3与4是两条直线l1与l3被第三条直线l2所截构成的内错角。

（4）5与6是两条直线l1与l2被第三条直线l3所截构成的同旁内角。 范例4按要求作图，并回答问题。

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