圆与方程教案

导读：　圆与方程教案(共5篇)...

圆与方程教案(一)
新课标圆与方程精品教学案

4.1.1 圆的标准方程

教学目标： 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：

一、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？

问题2：圆心和半径都反映了圆的什么特点？

二．合作探究

探究一：圆的标准方程的推导

探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

注：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

三．知识的应用

例1．写出下列各圆的方程：

(1)圆心在原点，半径是3；

（2）圆心在点C

(3,4)

(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；

变式训练： 说出下列圆的圆心和半径：

(1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(x+4)2+(y+3)2=7； (3)(x+2)2+ y2=4

例２． (1)已知两点P1(4，9)和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的方程；

(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

小结：点与圆的位置关系

1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r： 2。利用圆的方程判定

（1）点在圆上 ；

(2)点在圆外 ；

(3)点在圆内 ； 例3．ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程。

例4．已知圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程.

总结归纳：比较例3、例4可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：

（1） 根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的标

准方程.

（2）根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准

方程.

四．课堂小结：

1、 圆的标准方程。

2、 点与圆的位置关系的判断方法。

3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

4.1.2 圆的一般方程

【教学目标】

１．使学生掌握圆的一般方程的特点；

2．能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；

3．能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

【教学重难点】

教学重点：一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数， 教学难点：：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 【教学过程】

一．课题引入：

问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

二．探究

问题1.方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形？方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形？ 问题2：圆的标准方程能否化成上述形式？

问题3：一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？若表示圆需满足什

么条件？

当 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如xyDxEyF0的表示圆的方程称为圆的一般方程22我们来看圆的一般方程的特点：

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程

就确定了．

(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

例1.求下列圆的半径和圆心坐标：

(1)x2+y2-8x+6y=0 (2)x2+y2+2by=0

变式训练：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆的充要条件是（ ）

Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4

Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对

例2．求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐

标。

例3．已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上x1y4运动， 22

求线段AB的中点M的轨迹方程。

小结 ：

1．对方程xyDxEyF0的讨论(什么时候可以表示圆) 22

2．与标准方程的互化

3．用待定系数法求圆的方程 4．求与圆有关的点的轨迹。

直线与圆的位置关系(第一课时)【圆与方程教案】

教学目标：

１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．

２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．

教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

教学难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系．

教学过程：

一．情景导入

问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下.

二．合作探究、精讲精练

探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？

利用坐标法，需要建立直角坐标系，

以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为：x2y29

轮船航线所在直线l的方程为：x2y80

方法一：代数法

方法二：几何法

探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？

①代数法：

②几何法：

直线与圆相交 ,则 ；直线与圆相切,则 ；直线与圆相离,则 .

圆与方程教案(二)
圆与方程教案

高三数学问题导学教学案例——圆与方程

课题：圆与方程 课时安排： 2 课时

一、复习目标：

圆与方程

了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等）.

掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化.

能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）.

能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 用代数方法处理几何问题的思想

体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用. 二、复习重难点：圆的标准方程和一般方程

四、知识回顾： 1、圆的方程：

⑴标准方程：xaybr

2

2

2

⑵一般方程：xyDxEyF0. 2、两圆位置关系：dO1O2

⑴外离：dRr； ⑵外切：dRr；

⑶相交：RrdRr； ⑷内切：dRr； ⑸内含：dRr. 五、课堂教学：

问题导学一：我们在解决直线和圆相切时应注意哪些要点？

22

例1、基础训练：求以N(1,3)为圆心，并且与直线3x4y70相切的圆的方程.

5

0相切的直线的方程为2

5

解：设直线方程为ykx，即kxy0.∵圆方程可化为(x2)2(y1)2，∴圆心为（2，

2

探究1：过坐标原点且与圆x2y24x2y-1），半径为

2k11

.依题意有，解得k3或k，∴直线方程为y3x或

223k21

y

1

x. 3

2

2

探究2：已知直线5x12ya0与圆x2xy0相切，则a的值为 . 解：∵圆(x1)2y21的圆心为（1，0），半径为1，∴

5a512

2

2

1，解得a8或a18.

练习巩固：求经过点A(0,5)，且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程.

a2(5b)2r2

解：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则a2b， 2ab

r

5a1a5

2222

解得b3或b15，∴圆的方程为(x1)(y3)5或(x5)(y15)125.



rr55

问题导学二：直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质？

例2、基础训练：求直线l:3xy60被圆C:xy2x4y0截得的弦AB的长.

探究1：直线3xy20截圆xy4得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距d

2

2

2

2

，故弦长AB2r2d22，从而△OAB是等边三角形，故

截得的劣弧所对的圆心角为AOB



3

.

2

2

探究2：设直线axy30与圆(x1)(y2)4相交于A、B两点，且弦AB的长为

23，则a解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得(

2

2

a1a21

)2()222，解得a0.

练习巩固：已知圆C:(x1)(y2)6，直线l:mxy1m0. （1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点； （2）求直线l被圆C截得的弦长最小时l的方程.

解：（1）∵直线l:y1m(x1)恒过定点P(1,1)，且PC

r，∴点P在圆内，∴

直线l与圆C恒交于两点.

（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点P的直线l垂直于PC时，直线l被圆C截得的弦长最小，此时kl

1kPC

2，∴所求直线l的方程为y12(x1)即2xy10.

问题导学三：如何判断直线与圆的位置关系？

例3、基础训练：已知直线3xy20和圆xy4，判断此直线与已知圆的位置关系.

探究1：直线xy1与圆xy2ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是解：依题意有

2

2

2

2

a12

a，解得21a21.∵a0，∴0a21.

2

2

探究2：若直线ykx2与圆(x2)(y3)1有两个不同的交点，则k的取值范围是 . 解：依题意有

2k1k21

1，解得0k

44，∴k的取值范围是(0,). 33

4x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.

练习巩固：若直线yxm与曲线y解：∵曲线y

4x2表示半圆x2y24(y0)，∴利用数形结合法，可得实数m的取值

范围是2m2或m22.

问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？

例4、基础训练：判断圆C1:xy2x6y260与圆C2:xy4x2y40的位置关系，并画出图形.

探究1：圆xy2x0和圆xy4y0的位置关系是解：∵圆(x1)y1的圆心为O1(1,0)，半径r11，圆x(y2)4的圆心为

2

2

2

2

2

2

2

2

2222

O2(0,2)，半径r22，∴O1O2,r1r23,r2r11.∵r2r1O1O2r1r2，∴

两圆相交.

探究2：若圆xy2mxm40与圆xy2x4my4m80相切，则实数m的取值集合是 .

解：∵圆(xm)y4的圆心为O1(m,0)，半径r12，圆(x1)(y2m)9的圆心为O2(1,2m)，半径r23，且两圆相切，∴O1O2r1r2或O1O2r2r1，∴

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(m1)2(2m)25或(m1)2(2m)21，解得m

12

或m2，或m0或5

5125

m，∴实数m的取值集合是{,,0,2}.

252

练习巩固：求与圆xy5外切于点P(1,2)，且半径为25的圆的方程.

解：设所求圆的圆心为O1(a,b)，则所求圆的方程为(xa)(yb)20.∵两圆外切于点P，

2

2

2

2

11

∴OO1，∴(1,2)(a,b)，∴a3,b6，∴所求圆的方程为【圆与方程教案】

33(x3)2(y6)220.

问题导学五：和圆相关的最值有哪些解决途径，体现那些思想方法？

例5、基础训练：已知点A(2,2),B(2,6),C(4,2)，点P在圆x2y24上运动，求PAPBPC的最大值和最小值.

2

2

2

探究1：圆xy4x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是

2

2

解：∵圆(x2)(y2)18的圆心为（2，2），半径r32，∴圆心到直线的距离

22

d

102

52r，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

(dr)(dr)2r62.

22

探究2：已知A(2,0)，B(2,0)，点P在圆(x3)(y4)4上运动，则PAPB的最

2

2

小值是 .

解：设P(x,y)，则PAPB(x2)2y2(x2)2y22(x2y2)82OP8.设圆心为C(3,4)，则OPminOCr523，∴PAPB的最小值为232826. 练习巩固：已知点P(x,y)在圆x(y1)1上运动.

2

2

2

2

2

2

2

y1

的最大值与最小值；（2）求2xy的最大值与最小值. x2y1

解：（1）设k，则k表示点P(x,y)与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k取

x2

（1）求

得最大值与最小值.由

2kk21

1，解得k【圆与方程教案】

33y1，∴的最大值为，最小值为. 333x2

（2）设2xym，则m表示直线2xym在y轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m取得

最大值与最小值.由

m5

1，解得m1，∴2xy的最大值为1，最小值为15.

问题导学六：如何利用已知条件挖掘求圆的方程的重要信息？ 例6、基础训练：已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为

探究1：已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA2PB，则点P的轨迹所包围的面积等于

解：设点P的坐标是(x,y).由PA2PB，得(x2)2y22(x1)2y2，化简得

1

，求点M的轨迹方程. 2

(x2)2y24，∴点P的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为4.

圆与方程教案(三)
圆的标准方程教学设计

圆的标准方程教学设计

王会群

一、 教材分析 1．

教学内容

普通高中课程标准实验教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒2节圆与方程。本节主要研究圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。 2．

教材的地位与作用

圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。

初中教材中对圆的内容降低最低要求。本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。 3．

三维目标

(1)知识与技能

A．掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。 B．会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。

(2)过程与方法

A.实际问题引入，师生共同探讨。 B.探究曲线方程的基本方法。 (3)情感态度与价值观

培养用坐标法研究几何问题的兴趣。 4．教学重点 圆的标准方程及运用 5. 教学难点

求圆的标准方程的条件的确定。 二．教法分析

高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。 在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。 三．学法分析

从高考发展的趋势看，高考越来重视学生的分析问题解决问题的能力。因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想，数形结合的思想，选择最佳方案加以解决“瞎撞，乱撞”的不良思想。 四．教学过程

圆与方程教案(四)
圆与圆的标准方程 教案

2.1 圆的标准方程

江西省南康中学 吴 铭

教学目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆

的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问

题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情

和兴趣。

教材分析：

教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．

(解决办法：(1)通过设问，突破难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．)

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。运用圆的标准方程解

决一些简单的实际问题．(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)

活动设计：问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结．

教学方法：启发引导式

教学手段：多媒体教学

教学过程：

Ⅰ、创设情境：

生活中有很多圆形建筑，如赣南客家围屋、赵州桥等。什么是圆？圆有哪些特征？ 华罗庚先生说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线.并且在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

自主学习5分钟，阅读教材78页内容，回答问题：

<1>已知在平面直角坐标系中，圆心A的坐标用（a，b）来表示，半径用r来表示，则我们如何写出圆的方程？

<2>圆的方程具有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

Ⅱ、探索研究：

一. 圆的标准方程的推导

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是

P={M||MA|=r},

由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件

r

化简可得： ①

(xa)2(yb)2r2 ②

引导学生理解：若点M（x，y）在圆上，由上述讨论可知，点

M的坐标适合方程(2)；反之，若点M（x，y）的坐标适合方程（1），这说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A的圆上.方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

二. 圆的标准方程的特点

引导学生理解：圆的方程的特点

(1)方程的左边是圆上的点的横、纵坐标与圆心相应横、纵坐标差的平方和；

(2)两个变量的系数都是1 ；

(3)方程的右边是某个实数的平方，也就是 一定为正数。

三. 特殊位置的圆的标准方程

采用设问的方式引导学生理解：当圆心在原点即C（0，0）时，方程为xyr。详细推导过程如下：

因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 代入圆的标准方程： 222

(xa)2(yb)2r2

得：x2y2r2

Ⅲ．应用举例

例1：已知两点M1(4,9)和M2(6,3), 求以M1M2为直径的圆的方程.

解: 根据已知条件,圆心C(a,b)是M1M2的中点,那么它的坐标为

a46935,b6, 22

根据两点间距离公式,得圆的半径

rCM1(45)2(96)2

所求圆的方程是(x5)(y6)10 22

例2：求过点C(1,1)和D(1,3),圆心在x轴上的圆的方程.

解：依题意设所求圆的方程为(xa)2y2r2.

222(1a)1r解方程组: 222(1a)3r

得a2,r210,

故所求圆的方程为(x2)2y210.

Ⅳ反馈训练

（1-4学生口答、讲练结合，5学生部分演板）

1、圆心为 A（2，-3），半径长等于5的圆的方程（ ）

A、(x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B 、(x – 2 )2+(y + 3 )2=25

C、(x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D 、(x + 2 )2+(y – 3 )2=5 注：形到数的练习

2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r分别为（ ）

A、C（2，0） r = 2 B、C（ – 2，0） r = 2

2 C、C（0，2）、C（2，0）2

注：数到形的练习

3.写出下列各圆的方程:

(1)圆心在原点,半径为5;

(2)经过点P(5,1),圆心在点C(6,-2);

4.下列方程分别表示什么图形？

(1)x2y20

(2)(x1)28(y2)2

(3)yx2

5．写出下列各圆的方程:

(1)以A(2,5),B(0,-1)为直径的圆.

(2)以A(-1,-3),B(5,5)为直径的圆.

(3)以A(-3,-2),B(3,2)为直径的圆

6．.赵州桥的跨度为37.4米，拱高7.2米，试建立适当的坐标系，并求这座圆 拱桥的拱圆所在的圆方程

Ⅴ课题思考

一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水面的高度是3米，船宽8米.问该船能否通过该桥，若能，那么船在什么区域内可通过 ？若不能，说明理由;

什么规格的船能过,又什么规格的船不能过？

Ⅵ课堂小结：

1．圆的标准方程。

2．数学思想----数形结合思想的应用

Ⅶ课后作业：

1.完成练习册圆的标准方程 P94 变式演练T1 ，P96课后智能提升T11;

2.预习2.2 圆的一般方程,完成学案.

圆与方程教案(五)
圆与方程教案

圆与方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2

（1

点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系： 当(x0a)(y0b)>r，点在圆外 当(x0a)(y0b)=r，点在圆上 当(x0a)

(y0b)<r，点在圆内 （2DE，半径为

r1D2E24F 当DE4F0时，方程表示圆，此时圆心为

,



2

2

2

2

2

222

222

2

当DE4F0时，表示一个点；

当DE4F0时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线l:AxByC0，圆C:xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离

2

2

22

则有drl与C相离；drl与C相切；drl与C相交

：①k不存在，验证是否成立②kk，得到方程【一定两解】

圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

22

设圆C1:xa12yb12r2，C2:xa2yb2R2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

例题：例2 已知圆x+y+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐

2

2

标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

解方法一 将x=3-2y,

代入方程x+y+x-6y+m=0,得5y-20y+12+m=0. 设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2. ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.

12m

. 5

2

2

2

51

∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为，3,半径r=.

22方法二 如图所示，设弦PQ中点为M， ∵O1M⊥PQ，∴kO

1

M

1

2.∴O1M的方程为:y-3=2x,

2

y2x4

即：y=2x+4.由方程组.

x2y30

解得M的坐标为（-1，2）.

则以PQ为直径的圆可设为（x+1）+（y-2）=r. ∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上. ∴（0+1）+（0-2）=r，即r=5,MQ=r. 在Rt△O1MQ中，O1Q=O1M+MQ.

2

2

2

2

222

222222

1(6)24m12

∴1(3-2)+5=

42∴m=3.∴半径为

例3 （12分）已知实数x、y满足方程x+y-4x+1=0. （1）求y-x的最大值和最小值； （2）求x+y的最大值和最小值.

解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时

20b

2

,，解得b=-2±6.

2

2

2

2

51

,圆心为,3. 22

所以y-x的最大值为-2+6，最小值为-2-6.

2

2

（2）x+y表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取

得最大值和最小值. 

（00）2=2， 又圆心到原点的距离为20）2

222

所以x+y的最大值是（2+）=7+43，

x2+y2的最小值是（2-）2=7-43.

基础：

x

2

y24x6y0和圆：x2y26x0交于A,B两点，

则AB的垂直平分线的方程是。

C：(xa)(y2)4(a0)及直线l:xy30，当直线l被C截得的弦

22

长为2时，则a。

2

2

(x1)y1的圆心到直线y

3

x的距离是。 3

xy1上的点到直线3x4y250的距离的最小值是。

22

7两圆xy9和xy8x6y90的位置关系是。A(1,2,1),B(2,2,2),点

2222

P在z轴上，且PAPB，则点P的坐标

为

yx2与直线yxb始终有交点，则b的取值范围是

___________；

C的方程为xy2y30，过点P(1,2)的直线l与圆

22

C交于A,B两点，若使最小，则直线l的方程是。

11如果实数x,y满足等式(x2)y3，那么

22

y

的最大值是。 x

x(y2)4外一点A(2,2)，引圆的两条切线，切点为

22

T1,T2，则直线TT12的方程为。

15求过点M(5,2),N(3,2)且圆心在直线y2x3

16平面上有两点A(1,0),B(1,0)，点P在圆周x3y44上，

2

2

求使APBP取最小值时点P的坐标

22

：

例题：例1 从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线

与圆x+y-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.

解方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=反射光线的斜率k反=

2

2

22

3

,根据光的反射定律， b3

33

.∴反射光线所在直线的方程为y=(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0. b3b3

∵已知圆x+y-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2），半径为1, ∴

6（b3）23b

9(b3)2

=1,解得b1=-

3

,b2=1. 4

∴kAB=-

34

或kAB=-.∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

43

2

2

2

2

方法二 已知圆C：x+y-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)+(y+2)=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切. 设l的方程为y-3=k(x+3),则

k5k

2

2

=1,即12k+25k+12=0.

2

∴k1=-

34

，k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

43

方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.

33kbkkk5342

,消去b得∴=1.即12k+25k+12=0,∴k1=-,k2=-.

2k2b43k21

2k

则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

例2已知圆C1：x+y-2mx+4y+m-5=0,圆C2：x+y+2x-2my+m-3=0,m为何值时， （1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？

解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后 C1:(x-m)+(y+2)=9; C2:(x+1)+(y-m)=4.

(1)如果C1与C2外切，则有m1）2(m2)2=3+2. (m+1)+(m+2)=25.m+3m-10=0,解得m=-5或m=2.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

（2）如果C1与C2内含，则有m1）2(m2)2＜3-2. (m+1)+(m+2)＜1,m+3m+2＜0,得-2＜m＜-1, ∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切； 当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.

例3（12分）已知点P（0，5）及圆C：x+y+4x-12y+24=0. （1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程； （2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.

22

解 （1）方法一 如图所示，AB=43，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=23，圆x+y+4x-12y+24=0可化为

2

2

2

2

2

（x+2）+（y-6）=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4， 在Rt△ACD中，可得CD=2. 即kx-y+5=0.

由点C到直线AB的距离公式：

2k65k2(1)2

22

2分

设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,

=2，得k=

3. 4

4分 6分

此时直线l的方程为3x-4y+20=0.

又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.

2

则y-12y+24=0,∴y1=6+23,y2=6-23,

∴y2-y1=43,故x=0满足题意. ∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.

8分

方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5, ykx5

, 联立直线与圆的方程2

2

xy4x12y240

消去y得（1+k）x+(4-2k)x-11=0

22

① 2分

2k4

xx121k2

设方程①的两根为x1,x2,由根与系数的关系得

11xx

121k2

② 4分

由弦长公式得k2|x1-x2|=(1k2)[(x1x2)24x1x2]4, 将②式代入，解得k=

3

，此时直线的方程为3x-4y+20=0. 4



又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0. ∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.

8分



（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,则CD⊥PD，即²=0， （x+2,y-6）²(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.

提升：1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，

则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形（） A.是锐角三角形 B.是直角三角形

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