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2017高考总复习数学优化方案答案

2016-08-15 11:48:49 高考题库 来源:http://www.chinazhaokao.com 浏览:

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  适当的试题能让考生很好的掌握考试节奏,下面是中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编为大家带来的2017高考总复习数学优化方案答案希望能帮助到大家!

  2017高考总复习数学优化方案答案(1)

  例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长

  

 

  为( ).

  (A)

  

 

  (B)

  

 

  (C)5 (D)6

  分析及解:设长方体三条棱长分别为x,y,z,则依条件得:

  2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为

  

 

  ,因此需将对称式

  

 

  写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故

  

 

  =62-11=25

  ∴

  

 

  ,应选C.

  

 

  例2.设F1和F2为双曲线

  

 

  的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则ΔF1PF2的面积是( ).

  (A)1 (B)

  

 

  (C)2 (D)

  

 

  分析及解:欲求

  

 

  

 

  (1),而由已

  

 

  知能得到什么呢?

  由∠F1PF2=90°,得

  

 

  (2),

  又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢?我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即

  

 

  ,

  故

  

 

  ∴

  

 

  ,∴ 选(A).

  注:配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.

  例3.设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为

  

 

  ,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.

  分析及解:由题意可设双曲线方程为

  

 

  ,∵

  

 

  ,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成:

  

 

  (1),故只需求出a可

  

 

  求解.

  设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则|PQ|=

  

 

  (2),∵点Q(x,y)在双曲线上,∴(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|=

  

 

  (3),此时|PQ|2表示为变量y的二次

  

 

  函数,利用配方法求出其最小值即可求解.

  由(3)式有

  

 

  (y≥a或y≤-a).

  

 

  二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域y≥a或y≤-a,因此,需对a≤4与a>4分类讨论.[来源:Zxxk.Com]

  (1)当a≤4时,如图(1)可知函数在y=4处取得最小值,

  ∴令

  

 

  ,得a2=4

  ∴所求双曲线方程为

  

 

  .

  (2)当a>4时,如图(2)可知函数在y=a处取得最小值,

  ∴令

  

 

  ,得a2=49,

  ∴所求双曲线方程为

  

 

  .

  注:此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.

  例4.设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又

  

 

  ,试求f(x)的表达式.

  分析及解:因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.[来源:Zxxk.Com]

  设一次函数y=f(x)=ax+b (a>0),可知

  

 

  ,

  ∴

  

 

  .

  

 

  比较系数可知:

  

 

  解此方程组,得

  

 

  ,b=2,∴所求f(x)=

  

 

  .

  例5.如图,已知在矩形ABCD中,C(4,4),点A在曲线

  

 

  (x>0,y>0)上移动,且AB,BC两边始终分别平行于x轴,y轴,求使矩形ABCD的面积为最小时点A的坐标.

  分析及解:设A(x,y),如图所示,则

  

 

  (4-x)(4-y) (1)

  此时S表示为变量x,y的函数,如何将S表示为一个变量x(或y)的函数呢?有的同学想到由已知得x2+y2=9,如何利用此条件?是从等式中解出x(或y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.

  如果我们将(1)式继续变形,会得到S=16-4(x+y)+xy (2)

  这时我们可联想到x2+y2与x+y、xy间的关系,即(x+y)2=9+2xy.

  因此,只需设

  

 

  t=x+y,则xy=

  

 

  ,代入(2)式得 S=16-4t+

  

 

  (3)S表示为变量t的二次函数,

  ∵0<x<3,0<y<3,∴3<t<

  

 

  ,∴当t=4时,

  

 

  SABCD的最小值为

  

 

  .

  此时

  

 

  

 

  注:换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误.

  2017高考总复习数学优化方案答案(2)

  设方程x2+2kx+4=0的两实根为x1,x2,若

  

 

  ≥3,求k的取值范围.

  解:∵

  

 

  ≥3,

  以

  

 

  ,

  

 

  代入整理得(k2-2)2≥5,又∵Δ=4k2-16≥0,

  

 

  ∴

  

 

  解得k∈(-

  

 

  )∪[

  

 

  ,+

  

 

  ].

  例7.点P(x,y)在椭圆

  

 

  上移动时,求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.

  解:∵点P(x,y)在椭圆

  

 

  

 

  上移动, ∴可设

  

 

  于是

  

 

  =

  

 

  =

  

 

  令

  

 

  ,

  

 

  ∵

  

 

  ,∴|

  

 

  t|≤

  

 

  .

  于是u=

  

 

  ,(|t|≤

  

 

  ).[来源:Zxxk.Com]

  当t=

  

 

  ,即

  

 

  时,

  

 

  u有最大值.

  ∴θ=2kπ+

  

 

  (k∈Z)时,

  

 

  .

  

 

  例8.过坐标原点的直线l与椭圆

  

 

  相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l的倾斜角.

  解:设A(x1,y1),B(x2,y2)

  直线l的方程为y=kx,将它代入椭圆方

  程整理得

  

 

  (*)

  由韦达定

  

 

  理,

  

 

  (1),

  

 

  (2)

  又F(1,0)且AF⊥BF,∴

  

 

  , 即

  

 

  ,

  将

  

 

  ,

  

 

  代入上式整理得

  

 

  ,

  将(1)式,(2)式代入,解得

  

 

  . 故直线l的倾斜角为

  

 

  或

  

 

  .

  注:本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k的方程求解.

  例9.设集合A={

  

 

  }

  (1)若A中有且只有一个元素,求实数a的取值集合B;

  (2)当a∈B时,不等式x2-5x-6<a(x-4)恒成立,求x的取值范围.

  解:(1)令t=2x,则t>0且方程

  

 

  化为t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f(t)=t2-2t+a,

  则Δ=0 或

  

 

  即a=1或a≤0,从而B=(-

  

 

  ,0]∪{1}.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

  (2)当a=1时,

  

 

  <x<3+

  

 

  ,

  当a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x2-5x-6),则当a≤0时不等式

  

 

  恒成立,

  即当a≤

  

 

  0时,g(a)>0恒成立,故

  

 

  ≤4.

  综上讨论,x的取值范围是(

  

 

  ,4).

  2017高考总复习数学优化方案答案(3)

  1.(2014·山西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式:y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为(  )

  A.1百万件          B.2百万件

  C.3百万件 D.4百万件

  解析:选C.依题意得,y′=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),当0<x<3时,y′>0;当x>3时,y′<0.因此,当x=3时,该商品的年利润最大,故选C.

  2.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,做成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为(  )

  A.12 cm3 B.72 cm3

  C.144 cm3 D.160 cm3

  解析:选C.设盒子容积为y cm3,盒子的高为x cm,则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x(0<x<5),

  ∴y′=12x2-104x+160.

  令y′=0,得x=2或3(20)(舍去),

  ∴ymax=6×12×2=144(cm3).

  3.(2014·宜昌模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax(a>2(1)),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于(  )

  A.4(1) B.3(1)

  C.2(1) D.1

  解析:选D.由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.令f′(x)=x(1)-a=0,得x=a(1),

  当0<x<a(1)时,f′(x)>0;

  当x>a(1)时,f′(x)<0.

  ∴f(x)max=f(a(1))=-ln a-1=-1,解得a=1.

  4.(2014·山西诊断)设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使f(x0)=-x0,则称x0是f(x)的一个“次不动点”,也称f(x)在区间D上存在“次不动点”,若函数f(x)=ax2-3x-a+2(5)在区间[1,4]上存在“次不动点”,则实数a的取值范围是(  )

  A.(-∞,0) B.(0,2(1))

  C.[2(1),+∞) D.(-∞,2(1)]

  解析:选D.设g(x)=f(x)+x,依题意,存在x∈[1,4],使g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+2(5)=0.当x=1时,g(1)=2(1)≠0;当x≠1时,由ax2-2x-a+2(5)=0得a=2(x2-1)(4x-5).记h(x)=2(x2-1)(4x-5)(1<x≤4),则由h′(x)=(x2-1)2(-2x2+5x-2)=0,得x=2或x=2(1)(舍去).当x∈(1,2)时,h′(x)>0;当x∈(2,4)时,h′(x)<0,即函数h(x)在(1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数,因此当x=2时,h(x)取得最大值,最大值是h(2)=2(1),故满足题意的实数a的取值范围是(-∞,2(1)],故选D.

  5.(2014·浙江省名校联考)设函数ht(x)=3tx-2t2(3),若有且仅有一个正实数x0,使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立,则x0=(  )

  A.5 B.

  C.3 D.

  解析:选D.∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立,

  ∴h7(x0)≥ht(x0)max.记g(t)=ht(x0)=3tx0-2t2(3),则g′(t)=3x0-3t2(1),令g′(t)=0,得t=x0(2),易得ht(x0)max=g(x0(2))=x0(3),∴21x0-14≥x0(3),将选项代入检验可知选D.

  二、填空题

  6.函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,则a的取值范围是________.

  解析:f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,即函数f(x)恰有两个极值点,即f′(x)=0有两个不等实根.

  ∵f(x)=ax3+x,∴f′(x)=3ax2+1.

  要使f′(x)=0有两个不等实根,则a<0.

  答案:(-∞,0)

  7.(2014·广州模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________.

  解析:(构造法)若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;

  当x>0时,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥x2(3)-x3(1).

  设g(x)=x2(3)-x3(1),

  则g′(x)=x4(3(1-2x)),

  所以g(x)在区间2(1)上单调递增,在区间,1(1)上单调递减,

  因此g(x)max=g2(1)=4,从而a≥4.

  当x<0时,即x∈[-1,0)时,同理a≤x2(3)-x3(1).

  g(x)在区间[-1,0)上单调递增,

  ∴g(x)min=g(-1)=4,

  从而a≤4,综上可知a=4.

  答案:4

  三、解答题

  8.(2013·高考北京卷)设L为曲线C:y=x(ln x)在点(1,0)处的切线.

  (1)求L的方程;

  (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.

  解:(1)设f(x)=x(ln x),则f′(x)=x2(1-ln x).

  所以f′(1)=1,所以L的方程为y=x-1.

  (2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).

  g(x)满足g(1)=0,且

  g′(x)=1-f′(x)=x2(x2-1+ln x).

  当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g′(x)<0,故g(x)单调递减;

  当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g′(x)>0,故g(x)单调递增.

  所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).

  所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.

  9.(2014·山东泰安模拟)某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6<x<11),年销售为u万件,若已知8(585)-u与(x-4(21))2成正比,且售价为10元时,年销售为28万件.

  (1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式;

  (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.

  解:(1)设8(585)-u=k(x-4(21))2,

  ∵售价为10元时,年销量为28万件,

  ∴8(585)-28=k(10-4(21))2,解得k=2.

  ∴u=-2(x-4(21))2+8(585)=-2x2+21x+18.

  ∴y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6<x<11).

  (2)y′=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).

  令y′=0,得x=2(舍去)或x=9,

  显然,当x∈(6,9)时,y′>0;

  当x∈(9,11)时,y′<0.

  ∴函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是单调递增的,在(9,11)上是单调递减的.

  ∴当x=9时,y取最大值,且ymax=135,

  ∴售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.

  10.(2014·黄冈市高三检测)设f(x)=ex-a(x+1).

  (1)若a>0,f(x)≥0对一切x∈R恒成立,求a的最大值;

  (2)设g(x)=f(x)+ex(a),且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是曲线y=g(x)上任意两点,若对任意的a≤-1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围;

  (3)求证:1n+3n+…+(2n-1)n<e-1(e)(2n)n(n∈N*).

  解: (1)因为f(x)=ex-a(x+1),

  所以f′(x)=ex-a,

  因为a>0,f′(x)=ex-a=0的解为x=ln a.

  所以f(x)min=f(ln a)=a-a(ln a+1)

  =-aln a,

  因为f(x)≥0对一切x∈R恒成立,

  所以-aln a≥0,所以aln a≤0,所以amax=1.

  (2)设x1、x2是任意的两实数,且x1<x2,

  x2-x1(g(x2)-g(x1))>m,故g(x2)-mx2>g(x1)-mx1.

  ∴不妨令函数F(x)=g(x)-mx,则F(x)在(-∞,+∞)上单调递增,

  ∴F′(x)=g′(x)-m>0恒成立.

  ∴对任意的a≤-1,x∈R,m<g′(x)恒成立,

  g′(x)=ex-a-ex(a)≥2ex(a)-a=-a+2=(+1)2-1≥3,

  故m<3.

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