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坐标系与参数方程(1)
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点
一般地,不作特殊说明时,我们认为
特别地,当点
如果规定
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设
点
互化公式
在一般情况下,由
坐标系与参数方程(2)
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数
注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3.圆的参数
如图所示,设圆
这就是圆心在原点
圆心为
它的参数方程为:
与参数方程(3)
以坐标原点
注:椭圆的参数方程中,参数
5.双曲线的参数方程
以坐标原点
焦点在
以上参数
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