分数最大公约数

导读：　　　最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为(a，b)，同样的，a，b，c的最 ...

　　最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为(a，b)，同样的，a，b，c的最大公约数记为(a，b，c)，多个整数的最大公约数也有同样的记号。以下是中国招生考试网www.chinazhaokao.com 分享的分数最大公约数，希望能帮助到大家! 

　　分数最大公约数

　　两个分数(或小数)有最大公约数吗?

　　先看实际生活中的两个例子.

　　

 

　　现在要把它们截成同样长的小段，不许有剩余，每段最长有几米?

　　(2)有一间长方形的会客厅，长8.4米，宽6.4米.现在要用正方形瓷砖铺地面，如果正方形的瓷砖不能敲碎，又要将地面恰好铺满.问这种正方形瓷砖的边长最长只能有多长?

　　

 

　　中的问题是要求8.4米和6.4米的最大公约数.这就说明很有必要研究分数(或小数)的最大公约数问题.

　　那么，什么是两个分数(或小数)的最大公约数?又怎样求两个分数(或小数)的最大公约数呢?

　　我们知道，课本上“整除”的概念是在整数范围内讲的.现在，我们根据实际需要，将整除的范围拓广，来重新定义“整除的概念”.

　　我们先把自然数、整数、小数和分数统称为有理数.

　　当有理数a除以有理数b，除得的商正好是整数而没有余数，就说a能被b整除.

　　如果有理数a能被有理数b整除，就称a是b的倍数，b是a的约数.

　　例如，2.5÷0.5=5，就说2.5能被0.5整除，称2.5是0.5的倍数，0.5是2.5的约数.再看，由于

　　2.5÷2.5=1，

　　2.5÷1.25=2，

　　

 

　　

 

　　…………

　　

 

　　最大的约数是2.5，没有最小的约数.由于

　　

 

　　

 

　　

 

　　因此，我们可以说，一个有理数的约数有无限多个，其中最大的约数就是它本身，没有最小的约数.

　　几个有理数公有的约数，叫做这几个有理数的公约数，其中最大的一个叫做它们的最大公约数.

　　例如，由于

　　

 

　　……;

　　

 

　　……;

　　

 

　　

 

　　

 

　　

 

　　聪明的读者，你能根据上面的意义和仿照前面的做法，求出(2)题的答案吗?(即求8.4和6.4的最大公约数).并请归纳出求几个有理数的最大公约数的方法.

　　【规律】

　　

 

　　求几个有理数最大公约数的基本方法是：

　　第一步，从大到小依次写出几个有理数各自的约数;

　　第二步，从几个有理数的约数中找出它们的公约数;

　　第三步，从公约数中选取最大的一个就是它们的最大公约数.

　　【练习】

　　1.求下面每组数的最大公约数.

　　

 

　　2.码头上有一种集装箱，它的长是8.4米，宽是6.4米，高是2.4米.要在集装箱里装进正方体物体，正好装满而又没有空隙.请问正方体物体的棱长最多只能是多少?

　　3.你能尽快知道下面每组数的最大公约数吗?

　　(1)分母是5的所有真分数.

　　(2)小数单位是0.01的所有小数.

　　

 

　　最大公约数定义

　　如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。

　　例： 在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公约数。

　　早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f(x, y)表示x，y的最大公约数，取k = x/y，b = x%y，则x = ky + b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y;而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f(x, y)= f(y, x%y)(y > 0)，如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。

　　例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数。

　　辗转相除法是古希腊求两个正整数的最大公约数的，也叫欧几里德算法，其方法是用较大的数除以较小的数，上面较小的除数和得出的余数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到出现能够整除的两个数，其中较小的数(即除数)就是最大公约数。以求288和123的最大公约数为例，操作如下：

　　288÷123=2余42

　　123÷42=2余39

　　42÷39=1余3

　　39÷3=13

　　所以3就是288和123的最大公约数。

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