鲁教版八年级数学上册课本

导读：　鲁教版八年级数学上册课本(共5篇)鲁教版八年级上册数学知识点鲁教版八年级上册数学知识点第一章 分式一、分式1．分式的概念：如果整式A除以整式B, 可以表示成A的形式,且除式B中含有字母，那么B称式子A为分式。其中, A叫分式的分子, B叫分式的分母。 B注意：①判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断,即使它约分后...

鲁教版八年级数学上册课本(一)
鲁教版八年级上册数学知识点

鲁教版八年级上册数学知识点

第一章 分式

一、分式

1．分式的概念：如果整式A除以整式B, 可以表示成A的形式,且除式B中含有字母，那么B

称式子A为分式。其中, A叫分式的分子, B叫分式的分母。 B

注意：①判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断,即使它约分后是整式

也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式。如:x2／x是分式,虽然约

分之后等于x是整式,但约分前是分式。

②π是常数,所以a/π不是分式而是整式。

2．有理式：整式和分式统称有理式。(整式的分母中不含有字母)

3．关于分式的几点说明:

(1)分式的分母中必须含有未知数；

(2)分式是两个整式相除的商式,对任意一个分式，分母都不为零；

ab表示（a＋b）÷(c－d)； cd

(4)“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义(分母≠0)，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”。

4．一般的，对分式A／B都有：①分式有意义 B≠0；

②分式无意义 B=0；

③分式的值为0A=0且B≠0；

④分式的值大于0分子分母同号；

⑤分式的值小于0分子分母异号。

5．基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变。 (3)分数线有除号和括号的作用,如：

二、分式的乘除法

1.分式的乘除法则:分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除。

2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。

注意:①当分式的分子分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式时,直接约分； ②分式的分子和分母都是多项式时，将分子和分母分解因式再约分。

3.最简分式: 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，

一般要将一个分式化为最简分式。

三、分式的加减法

1.通分:利用分式的基本性质 ,把异分母的分式化为同分分母的过程。 通分原则:异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母。

通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分

母，同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子。 最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂及 单独字母的幂的乘积。

2.法则:同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减,先通分,化

为同分母的分式,再按同分母分式的加减法法则进行计算。

四、分式方程

1.概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的解法:①去分母(方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化为整式程若

遇到互为相反数时，不要忘了改变符号)；

②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根。

3.分式方程的增根:在方程变形时，有时会产生不适合原方程的根即代入方程后分母

的值为０的根，叫做原方程的增根。

例题：m取 时，方程xm会产生增根(或说无解)。 2x3x3

(思路)在这里增根就是x=3,但不能直接带入方程求m,所以要先去分母再将x=3带入求m

第二章 相似图形

一、线段的比

1.概念:在同一单位长度下,两条线段的长度的比叫这两条线段的比。在a:b或中,a叫比

例的前项,b叫比例的后项。

2.注意:①若a:b=k,说明a是b的k倍；

②两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必须一致； ③两条线段的比值是一个没有单位的正数；

④除a=b外,a:b≠b:a, a/b与b/a互为倒数。 ab

二、比例线段

1.概念:四条线段a,b,c,d中,如果 a与b的比等于c与d的比, 即a:b=c:d (或a/b=c/d), 那么

这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段。a、b、c、d叫比例的项,其中,a、d叫外项,b、c叫内项。

22.比例中项:当a:b=b:c时,称b为a与c的比例中项。(b=ac)

3.性质:

①内项之积等于外项之积 若 a/b=c/d 则 ad=bc

②合比性质 若 a/b=c/d 则 (a+b)/b=(c+d)/d

③分比性质 若 a/b=c/d 则 (a-b)/b=(c-d)/d

④等比性质 若 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，则 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a/b ⑤合分比性质 若 a/b=c/d 则 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)

⑥更比性质 若 a/b=c/d 则 c/a=d/b(当然也就有a/c=b/d)

⑦反比性质 若 a/b=c/d 则 b/a=d/c

三、形状相同的图形

例如:两个半径不相等的圆；所有的等边三角形；所有的正方形；所有的正六边形。

一个图形各点的横坐标、纵坐标都乘以或除以同一个数，则连接所得到点的图形与原图形形状相同。

四、相似三角形

1.概念:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形(相似符号为“∽”)。

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

A

D

B

五、探索三角形相似的条件

1．定义判定：对应角相等、对应边成比例

2．判定1：两个角对应相等

判定2：两边对应成比例且夹角相等

判定3：三边对应成比例 D O E E C B C 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。 2.全等一定相似,相似不一定全等(全等△是相似△中相似比为1时的特殊情况)【鲁教版八年级数学上册课本】

Rt△相似的判定:(除上述三个外)斜边与一直角边对应成比例的两直角三角形相似。

3.三角形相似的判定定理推论

推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分

成比例，那么这两个三角形相似。

推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成

比例，那么这两个三角形相似。

4.(补充)射影定理: 在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高,则

AC=AD·AB BC=BD·AB CD=AD·BD

5.(补充)三角形的重心

①概念:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心； 222

②三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。

六、相似三角形的性质

1．相似三角形的三个对应角相等，三边对应成比例； 2．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，

3．相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方。

七、测量旗杆的高度(略)

八、相似多边形

1.概念:对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

2.性质:性质1：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；

性质2：相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方。

九、位似图形

1.概念:如果两图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似

图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比。

2.性质:位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

3.探索:①利用位似可以把一个图形放大或缩小；

②对应点连线都交于位似中心,对应线段平行或在一条直线上；

③在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.。

第三章 证明(一)

一、定义与命题

1.定义的概念:能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的定义。

2.命题的概念:一般地,判断一件事情的句子，叫做命题(命题必须是对某事作出判断)。

3.命题的特征:每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知

事项推断出的事项。一般地,命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式

其中,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论。

4.真假命题:如果条件成立，那么结论成立(正确的命题),像这样的命题叫做真命题；条件成

立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立(错误的命题)，这样的

命题叫做假命题。

二、证明的必要性

三、公理与定理

1.公理:通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。

2.定理:通过推理得到证实的真命题叫做定理,可以作为判断其它命题真假的依据。 本教科书选用如下命题作为公理：

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

也可以简单说成：同位角相等，两直线平行。

②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

也可以简单说成：两直线平行，同位角相等。

③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

⑤三边对应相等的两个三角形全等。

⑥全等三角形的对应边相等，对应角相等。

此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替”，简称为“等量代换”。

四、平行线的判定定理

五、平行线的性质定理

把一个命题的条件和结论交换后,就构成了一个新的命题。如果把原来的命题叫做原命题,那么这个新的命题就叫做原命题的逆命题。

一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题。

六、三角形内角和定理

三角形三个内角之和为1800 ； 直角三角形的两个锐角互余。

关于辅助线：

①辅助线是为了证明需要在原图上添画的线(辅助线通常画成虚线)；

②它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用；

③添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结。

第四章 数据的收集与处理

一、普查和抽样调查

1.普查:为了一定的目的而考察对象进行的全面调查,称为普查。其中,所要考察的对象的 全体称为总体,而组成总体的每一个考察对象称为个体。

普查的优点及缺陷:可以直接获得总体情况,但总体中个体数目很多时,工作量大,无法一一

考察；有时受客观条件的限制,无法对个体一一考查；有时调查具有破坏

性,不允许对个体一一考查。

2.抽样调查:从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查,其中从总体中抽取的

一部分个体叫做总体的一个样本,样本中的个体的数目称为样本容量。

二、数据的收集

议一议: 抽样调查时应注意什么?

答:抽样调查时要注意样本的代表性、广泛性和真实性:即被调查的对象不得太少，被调查对象应是随意抽取的，调查数据应是真实的。

抽样调查的可行性：

1.抽样调查只考查总体的一部分，因此其优点是调查范围小，节省时间、人力、物力和财力；

2.但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。

鲁教版八年级数学上册课本(二)
鲁教版八年级数学上册全书知识点概述

1

2【鲁教版八年级数学上册课本】

4

5

鲁教版八年级数学上册课本(三)
新鲁教版初中数学教材目录

鲁教版初中数学教材 总目录

六年级上册(初一)

第一章 丰富的图形世界

1.生活中的立体图形；2.展开与折叠；3.截一个几何体；4.从三个方向看物体的形状

第二章 有理数及其运算

1.有理数；2.数轴；3.绝对值；4.有理数的加法；5.有理数的减法；6.有理数的加减混合运算；7.有理数的乘法；8.有理数的除法；9.有理数的乘方；10.科学计数法；11.有理数的混合运算；12.近似数；13.用计算器进行计算

第三章 整式及其加减

1.用字母表示数；2.代数式；3.整式；4.合并同类项；5.去括号；6.整式的加减；

7.探索与表达规律

第四章 一元一次方程

1.等式与方程；2.解一元一次方程；3.一元一次方程的应用

六年级下册(初一)

第五章 基本平面图形

1.线段、射线、直线；2.比较线段长短；3.角；4.角的比较；5.多边形和圆的初步认识

第六章 整式的乘除

1．同底数幂的乘法；2．幂的乘方与积的乘方；3．同底数幂的除法；4.零指数幂和负整数指数幂；5．整式的乘法；6．平方差公式；7．完全平方公式；8．整式的除法

第七章 平行线与相交线

1．两条直线的位置关系；2．探索直线平行的条件；3．平行线的性质；4．用尺规作角

第八章数据收集与整理：

1．数据收集；2．普查和抽样调查；3．数据表示；4.统计图选择

第九章变量之间的关系：

1．用表格表示变量之间的关系；2．用关系式表示变量之间的关系；3．用图象表示变量之间的关系

七年级上册（初二）

第一章 三角形

1.认识三角形；2.图形的全等；3.探索三角形全等的条件；4.三角形的尺规作图；

5.利用三角形全等测距离

第二章 生活中的轴对称

1.轴对称现象；2.探索轴对称的性质；3.简单的轴对称图形；4.利用轴对称进行设计

第三章 勾股定理

1.探索勾股定理；2.一定是直角三角形吗；3.勾股定理的应用举例

第四章 实数

1.无理数；2.平方根；3.立方根；4.方根的估算；5.用计算器开方；6.实数

第五章 平面直角坐标系

1.确定位置；2.平面直角坐标系；3.轴对称与坐标变化

第六章 一次函数

1.函数；2.一次函数；3.一次函数的图象；4.确定一次函数的表达式5.一次函数的应用

七年级下册（初二）

第七章 二元一次方程组

1.二元一次方程组；2.解二元一次方程组；3.二元一次方程组的应用；4.二元一次方程与一次函数；5.三元一次方程组

第八章 平行线的有关证明

1.定义与命题；2.证明的必要性；3.基本事实与定理；4.平行线的判定定理；5.平行线的性质定理；6.三角形内角和定理

第九章 概率初步

1.感受可能性；2.频率的稳定性；3.等可能事件的概率

第十章 三角形的有关证明

1.全等三角形；2.等腰三角形；3.直角三角形；4.线段的垂直平分线；5.角平分线

第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组

1.不等关系；2.不等式的基本性质；3.不等式的解集；4.一元一次不等式；5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组

八年级上册（初三）

第一章 分式

1.分式2.分式的乘除法3.分式的加减法4.分式方程

第二章 相似图形

1.线段的比2.比例线段3.形状相同的图形4.相似三角形5.探索三角形相似的条件6.相似三角形的性质7.测量旗杆的高度8.相似多边形9.位似图形

第三章 证明（一）

1.定义与命题2.证明的必要性3.公理与定理4.平行线的判定定理5.平行线的性质定理

6.三角形内角和定理

第四章 数据的收集与处理

1.普查和抽样调查2.数据的收集3.数据的整理4.频数和频率5.数据的波动

第五章 二次根式

1.二次根式2.二次根式的性质3.二次根式的加减法4.二次根式的乘除法 八年级下册（初三）

第六章 证明（二）

1.全等三角形2.等腰三角形3.直角三角形4.线段的垂直平分线5.角平分线

第七章 一元二次方程

1.一元二次方程2.用配方法解一元二次方程3.用公式法解一元二次方程

4.用分解因式法解一元二次方程5.一元二次方程的应用

第八章 证明（三）

1.平行四边形2.特殊平行四边形3.等腰梯形4.中位线定理

第九章 反比例函数

1.反比例函数2.反比例函数的图象与性质3.反比例函数的应用

第十章 频率与概率

1.用频率估计概率2.用列举法计算概率3.生活中的概率问题

九年级上册（初四）

第一章 解直角三角形

1.锐角三角函数2. 30°，45°，60°角的三角函数值3.用计算器求锐角的三角函数值

4.解直角三角形5.解直角三角形的应用6.测量物体的高度

第二章 二次函数

1.对函数的再认识2.二次函数3.二次函数y=ax2的图象和性质4.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质5.用三种方式表示二次函数6.确定二次函数的表达式;7.二次函数与一元二次方程

8.二次函数的应用

第三章 圆

1.圆2.圆的对称性3.圆周角4.确定圆的条件5.直线和圆的位置关系6.圆和圆的位置关系

7.弧长及扇形的面积8.圆锥的侧面积

第四章 统计与概率（可能删）

1.从统计图表中获取信息2.概率与平均收益3.概率与公平性

九年级下册（初四）

第五章视图

1.视点、视线与盲区2.灯光与影子3.太阳光与影子4.三视图

第六章 数学应用举例

1.应用数学模型解决问题2.解决开放型的实际问题3.数学在经济生活中的应用

4.应用统计知识作出评价

第七章 解决问题的策略

1.利用特殊情形探索规律2.分情况讨论3.将未知转化为已知4.数与形相结合

5.利用多种策略解决问题

鲁教版八年级数学上册课本(四)
鲁教版初中数学教材总目录(2014版)

鲁教版初中数学教材总目录(2014版)

六年级上册(初一) 第一章 丰富的图形世界 1.生活中的立体图形； 2.展开与折叠； 3.截一个几何体； 4.从三个方向看物体的形状 第二章 有理数及其运算 1.有理数；2.数轴；3.绝对值； 4.有理数的加法；5.有理数的减法； 6.有理数的加减混合运算； 7.有理数的乘法；8.有理数的除法； 9.有理数的乘方； 10.科学计数法； 11.有理数的混合运算；

12.近似数；13.用计算器进行计算 第三章 整式及其加减

1.用字母表示数；2.代数式；3.整式； 4.合并同类项；5.去括号； 6.整式的加减； 7.探索与表达规律 第四章 一元一次方程

六年级下册(初一) 第五章 基本平面图形

1.线段、射线、直线；2.比较线段长短； 3.角；4.角的比较； 5.多边形和圆的初步认识 第六章 整式的乘除 1．同底数幂的乘法； 2．幂的乘方与积的乘方； 3．同底数幂的除法； 4.零指数幂和负整数指数幂； 5．整式的乘法；6．平方差公式； 7．完全平方公式； 8．整式的除法 第七章 平行线与相交线 1．两条直线的位置关系； 2．探索直线平行的条件； 3．平行线的性质；4．用尺规作角 第八章数据收集与整理：

1．数据收集；2．普查和抽样调查； 3．数据表示；4.统计图选择 第九章变量之间的关系：

1.等式与方程； 2.解一元一次方程； 3.一元一次方程的应用 七年级上册（初二） 第一章 三角形

1.认识三角形；2.图形的全等； 3.探索三角形全等的条件； 4.三角形的尺规作图； 5.利用三角形全等测距离 第二章 生活中的轴对称

1.轴对称现象；2.探索轴对称的性质；

1．用表格表示变量之间的关系； 2．用关系式表示变量之间的关系； 3．用图象表示变量之间的关系 七年级下册（初二） 第七章 二元一次方程组

1.二元一次方程组；2.解二元一次方程组； 3.二元一次方程组的应用； 4.二元一次方程与一次函数； 5.三元一次方程组 第八章 平行线的有关证明 1.定义与命题；2.证明的必要性；

3.简单的轴对称图形；4.利用轴对称进行设计 3.基本事实与定理；4.平行线的判定定理； 第三章 勾股定理

1.探索勾股定理；2.一定是直角三角形吗； 3.勾股定理的应用举例 第四章 实数

1.无理数；2.平方根；3.立方根； 4.方根的估算；5.用计算器开方；6.实数 第五章 平面直角坐标系

1.确定位置；2.平面直角坐标系； 3.轴对称与坐标变化 第六章 一次函数

5.平行线的性质定理；6.三角形内角和定理 第九章 概率初步

1.感受可能性；2.频率的稳定性； 3.等可能事件的概率 第十章 三角形的有关证明 1.全等三角形；2.等腰三角形； 3.直角三角形；4.线段的垂直平分线； 5.角平分线

第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组

1.函数；2.一次函数； 3.一次函数的图象； 4.确定一次函数的表达式 5.一次函数的应用 八年级上册（初三） 第一章 分式

1.分式2.分式的乘除法3.分式的加减法4.分式方程

第二章 相似图形

1.线段的比2.比例线段3.形状相同的图形4.相似三角形5.探索三角形相似的条件6.相似三角形的性质7.测量旗杆的高度8.相似多边形9.位似图形 第三章 证明（一）

1.定义与命题2.证明的必要性3.公理与定理4.平行线的判定定理5.平行线的性质定理 6.三角形内角和定理 第四章 数据的收集与处理 1.普查和抽样调查2.数据的收集 .数据的整理4.频数和频率 5.数据的波动 第五章 二次根式

1.不等关系；2.不等式的基本性质； 3.不等式的解集；4.一元一次不等式； 5.一元一次不等式与一次函数 6.一元一次不等式组 八年级下册（初三） 第六章 证明（二） 1.全等三角形2.等腰三角形 3.直角三角形4.线段的垂直平分线 5.角平分线

第七章 一元二次方程 1.一元二次方程

2.用配方法解一元二次方程3.用公式法解一元二次方程

4.用分解因式法解一元二次方程 5.一元二次方程的应用 第八章 证明（三）

1.平行四边形2.特殊平行四边形 3.等腰梯形4.中位线定理 第九章 反比例函数 1.反比例函数

2.反比例函数的图象与性质 3.反比例函数的应用

1.二次根式2.二次根式的性质 3.二次根式的加减法 4.二次根式的乘除法 九年级上册（初四） 第一章 解直角三角形 1.锐角三角函数

2. 30°，45°，60°角的三角函数值 3.用计算器求锐角的三角函数值 4.解直角三角形5.解直角三角形的应用 6.测量物体的高度 第二章 二次函数

1.对函数的再认识2.二次函数 3.二次函数y=ax2的图象和性质 4.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 5.用三种方式表示二次函数 6.确定二次函数的表达式; 7.二次函数与一元二次方程 8.二次函数的应用 第三章 圆

1.圆2.圆的对称性3.圆周角4.确定圆的条件5.直线和圆的位置关系6.圆和圆的位置关系 7.弧长及扇形的面积8.圆锥的侧面积

第十章 频率与概率

1.用频率估计概率2.用列举法计算概率 3.生活中的概率问题 九年级下册（初四） 第五章视图 1.视点、视线与盲区 2.灯光与影子 3.太阳光与影子 4.三视图

第六章 数学应用举例 1.应用数学模型解决问题 2.解决开放型的实际问题 3.数学在经济生活中的应用 4.应用统计知识作出评价 第七章 解决问题的策略 1.利用特殊情形探索规律 2.分情况讨论 3.将未知转化为已知 4.数与形相结合 5.利用多种策略解决问题

鲁教版八年级数学上册课本(五)
鲁教版初二数学上知识点

鲁教版初二上数学知识点梳理

第一章 三角形

⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示. _ A注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；

（2）三角形是一个封闭的图形；

（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．

⒉ 三角形的分类：

(1)按边分类： (2)按角分类：

底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形【鲁教版八年级数学上册课本】

三角形 等边三角形

不等边三角形

直角三象形

三角形

锐角三角形

斜三角形

钝角三角形

_ B_ C

⒊ 三角形的主要线段的定义：

（1）三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线.

2.BD=DC=

A

1BC. 2

B

注意：①三角形的中线是线段；

②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．

DC

（2）三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.

2.∠1=∠2=

A

1

∠BAC. 2

BDC

注意：①三角形的角平分线是线段；

②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；

④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线.

2.AD⊥BC于D.

3.∠ADB=∠ADC=90°. B注意：①三角形的高是线段；

②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；

③三角形三条高所在直线交于一点．

如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三

角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上

.

A

DC

图5

图6

图7

4．三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；

（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

5. 三角形的角与角之间的关系：

(1)三角形三个内角的和等于180;（三角形的内角和定理） (2) 直角三角形的两个锐角互余.

6．三角形的稳定性：

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性；

（2）四边形没有稳定性.

图8

7．三角形全等：

全等形：能够完全重合的图形叫做全等形.

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等. 三角形全等的判定方法：

1. 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 4. 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）. 三角形全等的应用：测距离

第二章 轴对称

轴对称现象

1.轴对称图形:(1)如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形。这条直线叫对称轴。(注意:对称轴是一条直线,不是线段,也不是射线)。

(2)轴对称图形至少有一条对称轴,最多可达无数条。

例:①圆的对称轴是它的直径( × ) 直径是线段,而对称轴是直线(应说圆的对称轴是过圆心的直线或直径所在的直线);

②角的对称轴是它的角平分线( × ) 角平分线是射线而不是直线(应说角的对称轴是角平分线所在的直线);

③正方形的对角线是正方形的对称轴( × ) 对角线也是线段而不是直线。 2.轴对称:

(1)对于两个图形，如果沿一条直线折叠后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。(成轴对称的两图形本身可以不是轴对称图形)。 (2)轴对称图形与轴对称的关系:

①联系:都是沿一条直线折叠后能够互相重合;当把成轴对称的两个图形看成一个整体时,它是一个轴对称图形；

②区别:轴对称图形是一个图形,轴对称是两个图形之间的关系。

简单的轴对称图形

有两边相等的三角形叫等腰三角形。

1.三线合一定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”,它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴）。 注意:对于一般的等腰三角形,一定要说清哪边上的中线、高和哪个角的平分线;等边三角形有三组三线合一,任意一边上的中线和高及其所对的角的平分线。

2.等角对等边,等边对等角:如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等; 如果一个三角形有两个边相等，那么它们所对的角也相等。

3.角平分线定理:角平分线上的任意一点到角的两边的距离(垂线段)相等。

4.中垂线定理(1)概念:既垂直又平分线段的直线叫垂直平分线,简称中垂线；

(2)定理:垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离(与端点的连线)相等。 5. 30°所对直角边等于斜边的一半；

探索轴对称的性质

1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分；

2.轴对称图形对应线段相等，对应角相等。

利用轴对称设计图案

1.画点A关于直线L的对应点A´:1、过点A作对称轴L的垂线，垂足为B 2、延长AB至A´，使得B A´=AB 3、点A´就是点A关于直线L的对应点

2.画线段AB关于L的对应线段A´B´:1、过点A作对称轴L的垂线A A´，使CA=C A´ 2、过点A作对称轴L的垂线B B´，使DB=DB´

3、连接A´B´，A´B´即是关于直线L的对应线段。

第三章 勾股定理

探索勾股定理

勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么a +b=c ,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(一个直角三角形,以它的两直角边为边长所作的两正方形面积之和等于以它的斜边为边长所作的正方形的面积) 注意:电视机有多少英寸,指的是电视屏幕对角线的长度。

2

2

2

勾股数

1.勾股定理的逆定理:若三角形的三边长a，b，c满足a +b=c，则该三角形是直角三角形。 在∆ABC中, a，b，c为三边长,其中 c为最大边,

222

若a +b=c,则∆ABC为直角三角形；

222

若a +b>c ,则∆ABC为锐角三角形；

222

若a +b<c ,则∆ABC为钝角三角形。

222

2.勾股数:满足a +b=c 的三个正整数(即能构成一个直角三角形三边的一组正整数)，称为勾股数(勾股数是正整数)。

规律:一组能构成直角三角形的三边的数,同时扩大或缩小同一倍数(即同乘以或除以同一个正数),仍能够成直角三角形。

一组勾股数的倍数不一定是勾股数,因为其倍数可能是小数,只有整数倍数才仍是勾股数。 常用勾股数:3,4,5(三四五) 9,12,15(3,4,5的三倍) 5,12,13(5.12记一生)

8,15,17(八月十五在一起) 6,8,10(3,4,5的两倍) 7,24,25(企鹅是二百五)

勾股数须知:连续的勾股数只有3,4,5； 连续的偶数勾股数只有6,8,10。

2

2

2

第四章 实数

无理数

有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数(两个条件:①无限②不循环)。

2.无理数: (1)特定意义的数，如∏；

(2)特定结构的数；如2.02002000200002„

(3)带有根号的数，但根号下的数字开不尽方，如

3.分类:正无理数和负无理数。

平方根

1.定义:如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。

2.表示方法: 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根

；另一个是－

，它们是

一对互为相反数，合起来是

3.开平方:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(其中,a叫被开方数,且a为非负数)。开平方与乘方是互为逆运算。

小结: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数； 0只有一个平方根,它是0本身； 负数没有平方根。

立方根

1.定义: 如果一个数x的立方等于a，即x=a, 那么这个数x叫做a的立方根(三次方根)。 2.性质: 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。

3.开立方: 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方(其中,a叫被开方数)。 4.平方根与立方根的联系与区别:

(1)联系:①0的平方根、立方根都有一个是0；

②平方根、立方根都是开方的结果。

(2)区别:①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④被开方数的取值范围不同。

3

方根的估算

1.估算无理数的方法是（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围；（2）根据问题中误差允许的范围，在真值的范围内取出近似值。

2.“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。

用计算器开方 实数

1.实数:有理数和无理数统称为实数(正实数,0和负实数)。

2.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

3.每一个实数都可以用数轴上的点来表示,反过来,数轴上的每一点都表示一个实数,即实数和数轴上的点是一一对应的。

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