步步高大一轮数学2016

导读：　步步高大一轮数学2016(共5篇)...

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步步高大一轮数学2016(一)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 11.1 随机事件的概率

11.1 随机事件的概率

1．概率和频率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的n次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

n(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)． 2．事件的关系与运算

(1)概率的取值范围：(2)必然事件的概率P(E)＝(3)不可能事件的概率P(F)＝(4)概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． [知识拓展]

互斥事件与对立事件的区别与联系

互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的．( × ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( × )

(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(

× )

(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ ) (6)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．( √ )

1

1．总数为10，下列说法中正确的是( )

1 000A．买1张一定不中奖 B．买1 000张一定有一张中奖 C．买2 000张一定中奖 D．买2 000张不一定中奖 答案 D

解析 由题意知，彩票中奖属于随机事件，故买1张也可能中奖，买2 000张也可能不中奖． 2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A．必然事件

B．随机事件

C．不可能事件 答案 B

D．无法确定

解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．

3．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则 ①恰有1个白球和全是白球 ； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球． 在上述事件中，是对立事件的为( ) A．① B．② C．③ D．④ 答案 B

解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，而且两者定有一个发生． 故②中两事件互为对立事件．

4．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币3

的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是7事件发生的概率． 答案 0

3

解析 ①错，不一定是10件次品；②③错，频率不等于概率，这是

7两个不同的概念

.

题型一 随机事件的关系

例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.

解 (1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定

发生，故B与E还是对立事件．

(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件． (4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．

思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系．

从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张，

判断下列给出的每对事件，互斥事件为________，对立事件为________． ①“抽出红桃”与“抽出黑桃”； ②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． 答案 ①② ② 解析 ①是互斥事件．

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．

②是互斥事件，且是对立事件．

理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． ③不是互斥事件．

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10.因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．【步步高大一轮数学2016】

题型二 随机事件的频率与概率

例2 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：

(1)(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三

位)

解 (1)依据公式f＝

m

，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是n

0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.

(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.

思维升华 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小．但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．

某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上

游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加

5.

已

知

近

20

年

X

的

值

为

140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表

(2)今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率． 解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为

(2)由已知可得Y＝425，

2

故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210) ＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220) 1323＝＋. 20202010

3

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.

10题型三 互斥事件、对立事件的概率

例3 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的

步步高大一轮数学2016(二)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 4.7 正弦定理、余弦定理

4.7 正弦定理、余弦定理

1．正、余弦定理【步步高大一轮数学2016】

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝sin B＝＝a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由

2224R2此计算R、r.

3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．( √ )

(2)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是3，2)．( √ ) (3)若△ABC中，acos B＝bcos A，则△ABC是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．( × )

(5)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．( × )

(6)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于

× ) 2

1．(2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝3b，则角A等于( )

ππππ B. C. D. 12643答案 D

解析 在△ABC中，利用正弦定理得 2sin Asin B3sin B，∴sin A＝π又A为锐角，∴A＝3

2．(2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 答案 B

解析 由bcos C＋ccos B＝asin A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所π

以sin A＝1，由0<A<π，得A＝，所以△ABC为直角三角形．

2

π

3．(2014·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝3则△ABC的面积是( ) A．3 33 2答案 C

解析 ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ππ

∵C＝∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②

33由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. 113∴S△ABCabsin C＝×6×2222

4．(2014·广东)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝

3

B.

2D．33 B．直角三角形 D．不确定 32

a

2b，则______.

b答案 2

解析 方法一 因为bcos C＋ccos B＝2b， a2＋b2－c2a2＋c2－b2

所以b＋c2b，

2ab2aca

化简可得＝2.

b

方法二 因为bcos C＋ccos B＝2b， 所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B， 故sin(B＋C)＝2sin B，

a

故sin A＝2sin B，则a＝2b＝

2.

b

题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1 (2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos 7B9

(1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 解 (1)由余弦定理得：

a2＋c2－b2a2＋c2－47

cos B，

2ac2ac914

即a2＋c2－4＝.

9

14

∴(a＋c)2－2ac－4＝，∴ac＝9.

9

a＋c＝6，由得a＝c＝3. ac＝9，

7(2)在△ABC中，cos B＝，

9∴sin B1－cosB＝

2421－9＝9.

ab

由正弦定理得：，

sin Asin B

23×

9asin B2

∴sin A＝.

b23

π1

又A＝C，∴0<A<，∴cos A＝1－sinA

23∴sin (A－B)＝sin Acos B－cos Asin B ＝

227142102

×. 393927

思维升华 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考

虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

1

(1)(2014·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝

4

a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．

35

(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝

513________.

114

答案 (1)

45

解析 (1)由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c， 3

即b＝.

2

111

又b－c＝a，c＝，即a＝2c.

424

922

c＋c－4c2

b＋c－a4

由余弦定理得cos A＝＝

2bc32

2×2

2

2

2

3－c241＝＝－3c4

34(2)在△ABC中，∵cos A＝，∴sin A＝.

55512

∵cos B＝>0，∴sin B＝.

1313∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B 4531256

＝×51351365

bc

由正弦定理知＝

sin Bsin C563×

6514bsin C

∴c＝sin B125

13

题型二 利用正、余弦定理判定三角形的形状

例2 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.

(1)求角A的大小；

(2)若sin B＋sin C3，试判断△ABC的形状． 解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a21

∴cos A＝，

2bc2∵0°<A<180°，∴A＝60°.

(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)3， ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B3. 33

∴Bcos B＝3，即sin(B＋30°)＝1. 22∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°. ∴B＋30°＝90°，B＝60°.

∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为等边三角形．

思维升华 (1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)

边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理．

c

(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，则△ABC为( )

b

A．钝角三角形 C．锐角三角形

B．直角三角形 D．等边三角形

Ba＋c

(2)在△ABC中，cosa，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )

22cA．等边三角形 B．直角三角形

步步高大一轮数学2016(三)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 11.3 几何概型

11.3 几何概型

1．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 2．几何概型中，事件A的概率的计算公式 P(A)＝

构成事件A的区域长度面积或体积

试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积

3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1) (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法

(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．

(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代M

表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝N值． 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )

(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )

(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) 1

(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝ × )

9

1．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) 111

B. C. D．1 234答案 B

解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3， 1.

3

2．(2014·辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( ) π 2πC. 6答案 B

解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A， 12π·1

阴影面积2π

则P(A)＝.

长方形面积1×24

3．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

π

B. 4πD. 8

答案 0.18

解析 由题意知，这是个几何概型问题， S阴180＝0.18， S正1 000

∵S正＝1，∴S阴＝0.18.

4．(2013·山东)在区间[－3,3]上随机取一个数x使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________． 1答案 3

解析 由绝对值的几何意义知：使|x＋1|－|x－2|≥1成立的x值为x∈[1,3]，由几何概型知所求3－121概率为P＝3＋363

题型一 与长度、角度有关的几何概型

π1

例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x，求cos 的值介于0之间的概率．

22(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率． π

解 (1)如图，由函数y＝cos 的图象知，

2

22

当－1<x<－<x<1时，

33π10<cos x.

22

由概率的几何概型知：

231π1

cos x的值介于02223(2)因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°， 在Rt△ABD中，AD3，∠B＝60°， AD所以BD＝1，∠BAD＝30°.

tan 60°

记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．

30°2

由几何概型的概率公式，得P(N)＝.

75°5

思维升华 几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．

(1)(2014·湖南)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )

4

52 5

3B. 51D. 5

(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．

1

答案 (1)B 2

3

解析 (1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝5(2)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得： 1

×221P(A)＝.

22

题型二 与面积、体积有关的几何概型

0≤x≤2，

例2 (1)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到

0≤y≤2

坐标原点的距离大于2的概率是( ) π－24－πππ

B. D. 4264

(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________． 思维点拨 求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比． 2答案 (1)D (2)

3解析 (1)如图所示，

正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知4－π该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是D.

4(2)先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V

圆柱

＝

142

π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×13＝π.则点

2332

3112

P到点O的距离小于或等于1的概率为，故点P到点O的距离大于1的概率为1－2π333思维升华 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，构成事件A的区域的测度

在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A).

试验的全部结果所组成的区域的测度

(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)＝x2＋2ax－b

2

＋π2有零点的概率为( ) π

A．1－

8π

C．1－

2

π

B．1－43π

D．1－

4

(2)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________． π

答案 (1)B (2)1－

12

解析 (1)由函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2， 如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}， 其面积SΩ＝(2π)2＝4π2. 事件A表示函数f(x)有零点，

所构成的区域为M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2－π3，

23

S4π－ππ

故P(A)＝＝＝1－B. SΩ4π4

142(2)V正＝23＝8，V半球π×13＝π，

233V半球2ππ

＝ V正8×312

π

故点P到O的距离大于1的概率为1－12题型三 生活中的几何概型问题

例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．

思维点拨 当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 解 这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．

步步高大一轮数学2016(四)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.6 抛物线

9.6 双曲线

1．双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0. (1)当P点的轨迹是双曲线； (2)当P点的轨迹是两条射线； (3)当P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质

[巧设双曲线方程

x2y2x2y2

(1)与双曲线－＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－t (t≠0)．

ababx2y2

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn<0)．

mn【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) x2y2

(2)方程1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )

mn

x2y2x2y2xy

(3)－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是0，即0.( √ )

mnmnmn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( √ )

x2y2x2y211

(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，＋＝1(此

abbae1e2结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √

)

x2y2

1．若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率

ab为( ) 5 2 答案 A

解析 由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2. c2

∴e＝5，∴e＝5.

a

2

B．5 D．2

x2y2

2．设双曲线－1 (a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )

a9A．4 B．3 C．2 D．1 答案 C

3

解析 渐近线方程可化为y＝x.

239

2， ∵双曲线的焦点在x轴上，∴a2解得a＝±2.由题意知a>0，∴a＝2.

x22

3．(2013·福建)双曲线y＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )

424545 B. C. D. 5555

答案 C

1225

解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线y＝的距离d＝25x2y2x2y2

4．已知双曲线C11(a>0，b>0)与双曲线C21有相同的渐近线，且C1的右

ab416焦点为F(5，0)，则a＝________，b＝________. 答案 1 2

x2y2x2y2x2y2

解析 与双曲线1有相同渐近线的双曲线的方程可设为＝λ，即＝1.

4164164λ16λ1

由题意知c＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝a2＝1，b2＝4.

4又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.

5．(2014·北京)设双曲线C的两个焦点为(2，0)，2，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________． 答案 x2－y2＝1

解析 由题意可知，双曲线的焦点在x轴上， 且c，a＝1，则b2＝c2－a2＝1， 所以双曲线C的方程为x

2－y2＝1.

题型一 双曲线的定义及标准方程

例1 (1)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为__________． (2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________． 思维点拨 解(2)时，考虑定义法． y2x2

答案 (1)＝1

24y2

(2)x－1(x≤－1)

8

2

x22x22

解析 (1)设与双曲线－y＝1－y＝k，将点M(2，－2)代入

2222

得k＝－(－2)2＝－2.

2y2x2

所以双曲线方程为＝1.

24

(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2

分别外切于A和B.【步步高大一轮数学2016】

根据两圆外切的条件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|，

所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，

所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)， 其中a＝1，c＝3，则b2＝8.

y2

故点M的轨迹方程为x－1(x≤－1)．

8

2

思维升华 求双曲线标准方程的一般方法：

(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求x2y2x2y2

出a、b、c的值与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为λ (λ≠0)．

abab(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．

x2y2

(1)(2014·天津)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x

ab

＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( ) x2y2

－1 5203x23y2

1 25100

x2y2

B.－＝1 2053x23y2

D.1 10025

5

(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个

13焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( ) x2y2

－＝1 43x2y2

C.－＝1 34

答案 (1)A (2)A

bb

解析 (1)双曲线的渐近线方程为y＝x，因为一条渐近线与直线y＝2x＋10平行，所以＝2.

aa又因为双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上， 所以－2c＋10＝0.所以c＝5. b2a＝2，a＝5，

由得2

b＝20.c＝a＋b＝5

x2y2

B.－＝1 135x2y2

D.－＝1 1312

x2y2

故双曲线方程为1.

520

(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.

由双曲线的定义知：a＝4，b＝3. x2y2

故曲线C21.

43题型二 双曲线的几何性质

x22

例2 (1)(2013·浙江)如图，F1，F2是椭圆C1＋y＝1与双曲线C2

4的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( ) 36

2 B.3

22

x2y2x2y2

(2)(2014·广东)若实数k满足0<k<9，则曲线＝1－1的( )

259－k25－k9A．焦距相等 C．虚半轴长相等

B．实半轴长相等 D．离心率相等

思维点拨 (1)依题意可求出a、c的值．

(2)分别表示出两方程对应的a、b、c的值比较即可． 答案 (1)D (2)A

x2y2

解析 (1)|F1F2|＝23.设双曲线的方程为＝1.

ab∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a， ∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a. 在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°， ∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2， 即(2－a)2＋(2＋a)2＝(23)2， c36

∴a2，∴e＝＝＝.故选D.

a22

x2y2

(2)因为0<k<9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线－＝1的实半轴长为5，虚半轴长

259－k34－kx2y2

为9－k，焦距为225＋9－k＝34－k，离心率为.双曲线1的实半轴

525－k925－k，虚半轴长为3，焦距为225－k＋9＝234－k故两曲线只有焦距相等．故选A.

34－k

， 25－k

步步高大一轮数学2016(五)
2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 7.4 基本不等式

7.4 基本不等式及其应用

a＋b1．ab 2

(1)基本不等式成立的条件：(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

ba2(a，b同号)． ab

(3)ab≤a＋b22 (a，b∈R)．

a2＋b2a＋b2(4)22 (a，b∈R)．

3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正2数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋yp.(简记：积定和最小)

p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

1(1)函数y＝x＋2.( × ) x

a＋b2(2)ab≤()成立的条件是ab>0.( × ) 2

(3)函数f(x)＝cos x＋4πx∈(0，的最小值等于4.( × ) cos x2

xy(4)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( × ) yx

1(5)若a>0，则a3＋2a.( × ) a(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．( √

)

1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )

A．a2＋b2>2ab

112 abab

答案 D

解析 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．

对于B、C，当a<0，b<0时，明显错误．

ba对于D，∵ab>0，∴≥2 ab＝2. abB．a＋b≥ab baD.＋2 ab

2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )

11 ab4≥2

答案 D

11解析 4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，选项A，Cab4

11a＋b4不成立；＋＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项Dababab

成立．

113．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则＋( ) xy

31A．2 B. C．1 D.22

答案 C

11解析 由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，＋log3a＋log3bxy

＝log3ab≤log3a＋b211＝1，当且仅当a＝b＝3时“＝”成立，则1. xy211B.1 abD．a2＋b2≥8

4．(2014·福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元)

答案 160

4解析 设该长方体容器的长为x m，则宽为 m．又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2(xx

444＋×10，即y＝80＋20(x＋x>0)．因为x＋≥xxx

“＝”)，所以ymin＝80＋20×

4＝160(元). 4x＝4(当且仅当x，即x＝2时取xx

题型一 通过配凑法利用基本不等式求最值

51例1 (1)已知x<f(x)＝4x－2＋ 44x－5

y2

(2)已知x为正实数且x＋＝1，求x1＋y的最大值； 22

x－1(3)求函数y的最大值． x＋3＋x－1

5解 (1)因为x<5－4x>0， 4

则f(x)＝4x－2＋11(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1. 4x－55－4x

1当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立． 5－4x

故f(x)＝4x－2＋

(2)因为x>0，

所以1＋y2

211. 4x－51y22[x＋＋]222x≤ 222221y2132y又x＋(＋＝(x＋， 22222

1332所以1＋y2()＝， 224

即(x1＋y)max＝2. 4

(3)令t＝x－1≥0，则x＝t2＋1，

tt所以y＝. t＋1＋3＋tt＋t＋4

当t＝0，即x＝1时，y＝0；

1当t>0，即x>1时，y 4t＋1t

4因为t＋≥24＝4(当且仅当t＝2时取等号)， t

11所以y＝≤， 45t＋1t

1即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)． 5

思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )

1132 B. C. 3243

(2)若函数f(x)＝x＋1(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( ) x－2

A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4

答案 (1)B (2)C

解析 (1)因为0<x<1，所以x>0,3－3x>0.

1由基本不等式可得x(3－3x)＝·3x(3－3x) 3

13x＋3－3x23≤ 324

1当且仅当3x＝3－3x，即x时，等号成立．故选B. 2

(2)因为x>2，所以x－2>0，则

11f(x)＝x(x－2)＋2≥x－2x－21x－2＋2＝4， x－2

1当且仅当x－2x＝3时取等号． x－2

即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.

题型二 通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值

82例2 (1)已知x>0，y>0且x＋y＝1，则的最小值为________． xy

(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

答案 (1)18 (2)6

解析 (1)(常数代换法)

∵x>0，y>0，且x＋y＝1，

8282∴(x＋y) xyxy

8y2x＝10＋10＋2xy18. xy

8y2x当且仅当＝，即x＝2y时等号成立， xy

2182∴当x＝y＝时，有最小值18. 33xy

9－3y(2)由已知得x＝. 1＋y

方法一 (消元法)

∵x>0，y>0，∴y<3，

9－3y∴x＋3y＝＋3y 1＋y＝12＋(3y＋3)－6≥1＋y12·3y＋3－6＝6， 1＋y

12当且仅当＝3y＋3， 1＋y

即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.

方法二 ∵x>0，y>0，

11x＋3y29－(x＋3y)＝xy·(3y)≤()， 332

当且仅当x＝3y时等号成立．

设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0，

∴(t－6)(t＋18)≥0，

又∵t>0，∴t≥6.

故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)

min＝6.

思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 21 (1)若两个正实数x，y满足＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取xy

值范围是( )

A．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)

C．(－2,4) D．(－4,2)

(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．

答案 (1)D (2)5

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