25.1图形的相似

导读：　25 1图形的相似(共5篇)...

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25.1图形的相似(一)
25图形的相似单元测试题及答案

第25章相似形单元测试题

(时间:90分钟，满分:100分)

一、选择题(每题3分，共36分)

1.下列两个图形:①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；

⑥两个正五边形. 其中一定相似的有( )

A.2组 B.3组 C.4组 D.5组

2.如图，在正方形网格上有6个斜三角形:①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，•⑤△FGH，

⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是( )

A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥

3.应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾

来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m2，

若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于( )

A.一个篮球场的面积 B.一张乒乓球台台面的面积

C.《陕西日报》的一个版面的面积 D.《数学》课本封面的面积

4.如图，小明设计两个直角，来测量河宽BC，他量得AB=2米，BD=3米，CE=9米，•则河宽BC为( )

A.5米 B.4米 C.6米 D.8米

5.如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则于( ) 的值等

A. B. C.1 D.

6.如果整张报纸与半张报纸相似，则此报纸的长与宽的比是( )

A.2:1 B. C.4:1 D.

7.△ABC的面积被平行于BC的两条线段三等分，如果BC=12cm，•那么这两条线段中较短的一条的长是( )

A.8cm B.6cm C. D.

8.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC，则下列关系式中

成立的有( )

①

×BC. ；

②；

③ ；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

9.下列说法:①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的

中线与斜边的比为1:2；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81中，正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN，

是( ) ，下列结论正确的

A.△ABM∽△ACB B.△ANC∽△AMB C.△ANC∽△ACM D.△CMN∽△BCA

11.在直角坐标系中，已知点A(-2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D、O、C为顶点

的三角形与△AOB相似.这样的直线最多可以作( )

A.2条 B.3条 C.4条 D.6条

12.(淄博)如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直

线行走14米到点B时，人影的长度( )

A.增大1.5米 B.减小1.5米 C.增大3.5米 D.减小3.5米

二、填空题(每题3分，共24分)

13.在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为________.

14.(江苏常州)如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的周长之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.

15.已知D、E两点分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，且△ADE的周长与△ABC•的周长之比为3:7，则AD:DB=________.

16.△ABC三边的长分别是2cm、3cm、4cm，与其相似的△DEF的最短边是8cm，那么它的最长边的边长

是________.

17.(湖南岳阳)如图，要使△ACD∽△ABC，只需添加条件_______(•只要写出一种合适的条件即可).

18.如图是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源距幻灯片30cm，•幻灯片距屏幕1.5m，幻灯片中的小树高8cm，则屏幕上的小树高是______.

19.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，那么CD=______.

20.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.

三、解答题(第21题～24题每题6分，第25、26题每题8分，共40分)

21.(湖北荆州)如图，梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，且AD=AB，∠C=45°，将它分割成4个大小一样，都与原梯形相似的梯形(在图形中直接画分割线，不需要说明)

22.(苏州)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.(1)求证:△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM.

23.如图，在离树AB的3米远处竖一长2米的杆子CD，站在离杆子1米远EF处的人刚好越过杆顶C看到树顶A，这个人高EF=1.5米，求树高.

24.在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题:

“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”

用今天的话说，大意是:如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木(即点D在直线AB上)，求小城的边长.

25.一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，另一直角边长是2米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如左图和右图所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.

26.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时

25.1图形的相似(二)
25图形的相似单元测试题及答案

第25章相似形单元测试题

(时间:90分钟，满分:100分)

一、选择题(每题3分，共36分)

1.下列两个图形:①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；

⑥两个正五边形. 其中一定相似的有( )

A.2组 B.3组 C.4组 D.5组

2.如图，在正方形网格上有6个斜三角形:①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，•⑤△FGH，

⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是( )

A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥

3.应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾

来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m2，

若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于( )

A.一个篮球场的面积 B.一张乒乓球台台面的面积

C.《陕西日报》的一个版面的面积 D.《数学》课本封面的面积

4.如图，小明设计两个直角，来测量河宽BC，他量得AB=2米，BD=3米，CE=9米，•则河宽BC为( )

A.5米 B.4米 C.6米 D.8米

5.如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则于( ) 的值等

A. B. C.1 D.

6.如果整张报纸与半张报纸相似，则此报纸的长与宽的比是( )

A.2:1 B. C.4:1 D.

7.△ABC的面积被平行于BC的两条线段三等分，如果BC=12cm，•那么这两条线段中较短的一条的长是( )

A.8cm B.6cm C. D.

8.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC，则下列关系式中

成立的有( )

①

×BC. ；

②；

③ ；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

9.下列说法:①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的

中线与斜边的比为1:2；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81中，正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN，

是( ) ，下列结论正确的【25.1图形的相似】

A.△ABM∽△ACB B.△ANC∽△AMB C.△ANC∽△ACM D.△CMN∽△BCA

11.在直角坐标系中，已知点A(-2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D、O、C为顶点

的三角形与△AOB相似.这样的直线最多可以作( )

A.2条 B.3条 C.4条 D.6条

12.(淄博)如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直

线行走14米到点B时，人影的长度( )

A.增大1.5米 B.减小1.5米 C.增大3.5米 D.减小3.5米

二、填空题(每题3分，共24分)

13.在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为________.

14.(江苏常州)如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的周长之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.

15.已知D、E两点分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，且△ADE的周长与△ABC•的周长之比为3:7，则AD:DB=________.

16.△ABC三边的长分别是2cm、3cm、4cm，与其相似的△DEF的最短边是8cm，那么它的最长边的边长

是________.

17.(湖南岳阳)如图，要使△ACD∽△ABC，只需添加条件_______(•只要写出一种合适的条件即可).

18.如图是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源距幻灯片30cm，•幻灯片距屏幕1.5m，幻灯片中的小树高8cm，则屏幕上的小树高是______.

19.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，那么CD=______.

20.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.

三、解答题(第21题～24题每题6分，第25、26题每题8分，共40分)

21.(湖北荆州)如图，梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，且AD=AB，∠C=45°，将它分割成4个大小一样，都与原梯形相似的梯形(在图形中直接画分割线，不需要说明)

22.(苏州)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.(1)求证:△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM.

23.如图，在离树AB的3米远处竖一长2米的杆子CD，站在离杆子1米远EF处的人刚好越过杆顶C看到树顶A，这个人高EF=1.5米，求树高.

24.在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题:

“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”

用今天的话说，大意是:如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木(即点D在直线AB上)，求小城的边长.

25.一块直角三角形木板，一直角边是1.5米，另一直角边长是2米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分别如左图和右图所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.

25.1图形的相似(三)
《图形的相似》精选例题

《图形的相似》精选例题

1、如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：

①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE+PF=PO；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（ ）

A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个

解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．

∵在△APE和△AME中，

∴△APE≌△AME，故①正确；

∴PE=EM=PM，同理，

FP=FN=NP．

∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE ∴四边形PEOF是矩形． ∴PF=OE， ∴PE+PF=OA，

又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC， ∴PM+PN=AC，故②正确； ∵四边形PEOF是矩形， ∴PE=OF，

在直角△OPF中，OF+PF=PO， ∴PE+PF=PO，故③正确．

∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；

∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形． ∴PM=PN，

又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，

∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确． 故选B

2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）

A． 2 B． 2.5或3.5 C． 3.5或4.5 D． 2或3.5或4.5

解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，

∴AB=2BC=4（cm），

∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，

∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），

若∠DBE=90°，

当A→B时，∵∠ABC=60°， ∴∠BDE=30°， ∴BE=BD=（cm）， ∴t=3.5， 当B→A时，t=4+0.5=4.5．

若∠EDB=90°时，

222222222，

当A→B时，∵∠ABC=60°， ∴∠BED=30°， ∴BE=2BD=2（cm）， ∴t=4﹣2=2， 当B→A时，t=4+2=6（舍去）．

综上可得：t的值为2或3.5或4.5． 故选D

3、如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC

的长是（ ）

解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，则=，

=∵DE=1，AD=2，DB=3，∴AB=AD+DB=5， ∴BC=5 2

4、如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点

F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）

A． 2：5 B． 2：3 C． 3：5 D． 3：2

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，

∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE， ∴△DEF∽△BAF，

∵S△DEF：S△ABF=4：25， ∴DE：AB=2：5， ∵AB=CD， ∴DE：

EC=2：3．

故选B．

5、如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（ ）

A．11 B．10 C．9 D．8

解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC

于点E，

∴∠BAF=∠DAF，【25.1图形的相似】

∵AB∥DF，AD∥BC， ∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE=6，AD=DF=9，

∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，

∵AD∥BC， ∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE， ∴EC=FC=9﹣6=3，

在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4， ∴AG==2，

∴AE=2AG=4， ∴△ABE的周长等于16，

又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2， ∴△CEF的周长为8． 故选D

6、如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= .. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵AE：BE=4：3， ∴BE：AB=3：7，

∴BE：CD=3：7．

∵AB∥CD， ∴△BEF∽△DCF，

∴BF：DF=BE：CD=3：7， 即2：DF=3：7，

∴

DF=．

7、如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，

则S△CEF：S四边形BCED的值为（ ）

A． 1：3 B． 2：3 C． 1：4 D． 2：5

解：∵DE为△ABC的中位线， ∴AE=CE．

在△ADE与△CFE中，，

∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴S△ADE=S△CFE．

∵DE为△ABC的中位线， ∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，

∴S△ADE：S△ABC=1：4，

∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC， ∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，

∴S△CEF：S四边形BCED=1：

3． 故选A．

8、如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，

若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）

A．a B． C． D．

解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，

∴△ACD∽△BCA，

∵AB=4，AD=2， ∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，

∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，

∵△ABD的面积为a， ∴△ACD的面积为a，

故选C．

9、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方

形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）

A．16 B．17 C．18 D．19

解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，

根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，

∴AC=2CD，CD==2，

222∴EC=2+2，即EC=；

2∴S2的面积为EC==8；

∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，

∴S1+S2=8+9=17． 故选B．

10、如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ） b3a3b4a4

A.2 B.2 C.3 D.3 abab

解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB，

又∵∠CBD=∠A， ∴△ABC∽△BDC，同理可得：

△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，

∴=，

=，=， 解得：CD=，DE=，

EF=． 故选C．

11、如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）

A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）

解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．

A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，

则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；

B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，

则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；

C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，

则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；

D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；

故选B．

12、如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN

都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，

则小鸟在花圃上的概率为（ ）

A．17 32B．1 2C．17 36D．17 38

解：设正方形的ABCD的边长为a，

则BF=BC=，AN=NM=MC=a，

∴阴影部分的面积为（）+（a）=22a， ∴小鸟在花圃上的概率为2=

故选C．

13、如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）

A． 1：4 B． 1：3 C． 2：3 D． 1：2

解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，

则△DFE∽△BAE， ∴=，

∵O为对角线的交点， ∴DO=BO，

又∵E为OD的中点， ∴DE=DB， 则DE：EB=1：3， ∴DF：AB=1：3，

∵DC=AB， ∴DF：DC=1：3， ∴DF：FC=1：2． 故选D．

14、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（ ）

A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个

当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x

，故x的值可以为5

.两种情况。 B

∴∠ADB=∠CDA，

∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+DAC=90°，

∴∠B=∠DAC，

∴△ABD∽△ACD，∴

∵BD：CD=3：2，

设BD=3x，CD=2x， ∴AD==x， 则tanB===． 故选D． =， 16、如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ）

A. 4 B．5

C

．6 D．7

解：设AE=x，则AC=x+4，

∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD，

∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理）， ∴∠CAD=∠CDB，

∴△ACD∽△DCE，∴=，即=， 解得：

x=5． 故选B．

25.1图形的相似(四)
图形的相似1

图形的变化——图形的相似1

一．选择题（共9小题）

1．若x：y=1：3，2y=3z，则

A．﹣5 B．﹣

2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（ ）

C． D．5 的值是（ ）

A． B． C． D．

3．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）

A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：

4．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（ ）

A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD=BD•CD D．CD•AB=AC•BD

5．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）

2

A．P1 B．P2 C．P3 D．P4

6．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（ ）

A．1

B．2 C．12﹣6 D．6﹣6

9．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（ ）

A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2

二．填空题（共7小题）

10 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b=．

11．如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是 _________ ．

12．若，则=．

13．已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是

14．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数

y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 _________ ．

15．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形： _________ ．

16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=．

三．解答题（共8小题）

17．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．

（1）求直线AB的解析式；

（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

18．已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；

（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；

（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．

19．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．

（1）求证：EB=GD；

（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．

20．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．

（1）若AE=CF；

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；

②若AE=2，试求AP•AF的值；

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．

（1）求证：△ADE≌△CFE；

（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．【25.1图形的相似】

22．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．

（1）求线段PQ的长；

（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．

（1）求BD的长；

（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．

24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．

（1）求证：AP=AO；

（2）求证：PE⊥AO；

（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．

25.1图形的相似(五)
27.1图形的相似练习题及答案

27.1 图形的相似

一．选择题：

1、下列各组数中，成比例的是（ ）

A．－7，－5，14，5 B．－6，－8，3，4 C．3，5，9，12 D．2，3，6，12 2、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y＝( )

A. B. C. D.

3、如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF∶FD=1∶3，则BE∶EC=（ ）

85382332

11 B、 2321C、 D、

34

A、

4、下列说法中，错误的是（ ）

（A）两个全等三角形一定是相似形 （B）两个等腰三角形一定相似 （C）两个等边三角形一定相似 （D）两个等腰直角三角形一定相似

（第5题）

5、如图，RtΔABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，AB＝5，AC＝4，若ΔABC∽ΔBDC， 则CD＝ ． A．2 B．

349

C． D． 234

6、下列说法中正确的是（ ）

A． 两个平行四边形一定相似 B．两个菱形一定相似 C． 两个矩形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似 7、下列说法中正确的是（ ）

A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似 C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似 8、若△ABC∽△ABC，且相似比为k，则k的值等于（ ）

A．∠A∶∠A′ B．AB∶AC C．AB∶AB D．BC∶AB

9、若四边形ABCD∽四边形ABCD，且AB∶AB=1∶2 ，已知BC=8，则BC的长是

（ ） A．4 B．16 C．24 D．64

10、Rt△ABC的两条直角边分别为3 cm、4 cm，与它相似的Rt△ABC的斜边为20 cm，那么Rt△ABC的周长为（ ）A．48cm B．28cm C．12cm D．10cm 11、△ABC的三边长分别为2、、2，△DEF的两边长分别为1和5，如果△ABC∽△DEF，

那么△DEF的第三边长为（ ） A．

2

B．2 C．2 2

D．22

二、填空题

12、已知a＝4，b＝9，c是a、b的比例中项，则c＝

13、如图，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是 ．（只要写出一种）

1

14、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE，他量得AD＝2m，BD＝3m，CE＝9m，则河宽DE为

（第16题）

（第13题）

15、一公园占地面积约为800000m2，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 m2． 16、如图，点P是RtΔABC斜边AB上的任意一点（A、B两点除外）过点P作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC相似，这样的直线可以作 条．

17、相似多边形的对应角 ，对应边 ；如果两个多边形的对应角 ，对应边的比 ，

那么这两个多边形相似。相似多边形对应边的比称为 。

18、下面各组中的两个图形，是形状相同的图形，

.

19、如图，在正六边形ABCDEF与正六边形ABCDEF中 ∵正六边形的每个内角都等于120°

∴∠A=∠A′， ， ，

又∵AB=BC=CD=DE=EF=FA

AB；

AB

AB

∴正六边形ABCDEF∽正六边形ABCDEF

∴

20、如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，

已知∠A=120°，∠B=85°∠C1=75°，AB=10， A1B1=16，CD=18，则∠D1，C1D1 它们的相似比为 。

21、若两个相似三角形的相似比为1，则这两个三角形。

22、已知两个相似三角形的相似比是3∶4，其中一个三角形的最短边长为4 cm，那么另一个三角形的最短边长为 。

23、在△ABC中，已知AB=3，BC=5。在△ABC中，已知AB=6，若△ABC∽△ABC，则BC

24、若△ABC∽△DEF，且∠A=70°，∠B=60°则∠。

25、若四边形ABCD与四边形ABCD的相似比为3∶2，那么四边形ABCD与四边形ABCD的相似比为 。

26、若△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2∶3，那么△ABC与△A2B2C2的相似比为 。

27、在比例尺1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为 km。 三、解答题

2

28、如图18—95，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm．求梯子的长．

29、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．

30、如图，在正方形网格上有A1B1C1∽A2B2C2，这两个三角形相似吗?如果相似，求出

A1B1C1和A2B2C2的面积比．

31、已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方形，AC＝3，BC＝2，求△ADE、△EFB、△ACB 的周长之比和面积之比．

32、如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.

D

A

P

B

C

3

27.2相似三角形

Ⅰ. 梳理知识

1.三角形相似的条件

，两三角形相似；，两三角形相似； ，两三角形相似； 2.如何寻找和发现相似三角形

两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

3.相似三角形与相似多边形的性质 (1)相似三角形的性质

①相似三角形的三边 ，三角 .

②相似三角形的 ， 与 都等于相似比. ③相似三角形周长之比等于 ，相似三角形面积之比等于 . (2)相似多边形的性质

①相似多边形的对应边 ，对应角 .

②相似多边形的对角线之比、周长之比都等于 . ③相似多边形面积之比等于 . Ⅱ. 典例剖析

例1.如图，DE∥BC，SΔDOE∶SΔCOB=4∶9，求AD∶BD.

例2.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F. (1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由. (2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.

例3.如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.

(1)如图(1)，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，正方形的边长为；

(2)如图(2)，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，正方形的边长为 ；

(3)如图(3)，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，正方形的边长为 ；

4

(4) 如图(4)，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，正方形的边长为 。

Ⅲ.同步测试

一、选择题

1、在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）

A.20米 .B.18米 C.16米 D.15米

2、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（ ）

A.∠B=∠C B.∠ADC=∠AEB C.BE=CD，AB=AC D.AD∶AC=AE∶AB

3、如图所示，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，并且AD∶BD=2，那么SΔADE∶S四边形DBCE=（ ） (A)

2344 (B) (C) (D) 3459

4.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ）

(A)ΔADE∽ΔAEF (B)ΔECF∽ΔAEF (C)ΔADE∽ΔECF (D)ΔAEF∽ΔABF

(第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图)

5、厨房角柜的台面是三角形(如图所示)，如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石(图中阴影部分)，其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石面积与白色大理石的面积之比是（ ） A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5

6、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）

① ② ③ ④

A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④ 7、如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（ ） A.0.36πm2 B.0.81πm2 C.2πm2 D.3.24πm2

8、如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则AE∶EC是（ ） A.5∶2 B.4∶1 C.2∶1 D.3∶2

(第7题图) (第8题图)

二、填空题

5

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