第18章四边形复习

导读：　第18章四边形复习(共5篇)...

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第18章四边形复习(一)
(用)第十八章 四边形及练习

第十八章 四边形

一、平行四边形：

㈠.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

㈡.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。 ㈢. 平行四边形的面积：

1. 平行四边形的面积=底×高= ah（a是平行四边形的任何一条边长，h必须是边长为a的边与其对边的距离）

2. 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。

㈣.平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形；

5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

提示：（1）平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题正确的构成条件；

（2）判定方法可作为 “画平行四边形”的依据；

（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。

㈤ 三角形中的中位线

1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

提示：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。每一条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系。（三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系）；

（2）三角形中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别。

3、三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

㈥ 两条平行线间的距离

1、定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。

2、性质：⑴ 两条平行线间的距离处处相等；

⑵ 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。

二、矩形

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质；

⑵ 矩形的四个角都是直角；

⑶ 矩形的对角线平分且相等； （AC=BD）

⑷ 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。

提示：⑴ “矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；

⑵ 矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

3、矩形判定方法：

⑴ 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

⑵ 方法1：对角线相等的平行四边形是矩形。

⑶ 方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。

三、菱形

1、菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质；

⑵ 菱形的四条边都相等；

⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

⑷ 菱形是轴对称图形。

提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，

可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。

3、菱形的判定方法：

⑴ 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

⑵ 判断方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

⑶ 判断方法2：四条边相等的四边形是菱形。

4、菱形面积的计算：

菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）

归纳：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。

四、正方形

1、正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

警示：⑴ 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；

⑵ 既是矩形又是菱形的四边形是正方形；

⑶ 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形。

2、正方形的性质：

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

⑴ 边—— 四条边都相等，邻边垂直、对边平行；

⑵ 角—— 四个角都是直角；

⑶ 对角线—— 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

⑷ 对称性—— 是轴对称图形，有四条对称轴。

⑸ 特殊性质—— 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°； 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形

3、正方形的判定：

判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：

⑴ 先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；

⑵ 先证它是菱形，再证它有一个角是直角。

五、梯形

1、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、梯形的分类：一般梯形

⑴ 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 梯形特殊梯形直角梯形

⑵ 等腰梯形：两腰相等的梯形。等腰梯形

3、等腰梯形的性质：

⑴ 等腰梯形两腰相等，两底平行；

⑵ 等腰梯形同一底边上的两个角相等；

⑶ 等腰梯形的两条对角线相等。

⑷ 等腰梯形是轴对称图形，它只有1条对称轴，过两底中点的直线是它的对称轴。

4、等腰梯形的判定：

⑴ 两腰相等的梯形是等腰梯形；

⑵ 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

⑶ 对角线相等的梯形是等腰梯形。

提示：等腰梯形的判定思路：先证四边形为梯形（即一组对边平行且不等或另一组对边不平行），再证两腰相等或同一底上的两个角相等。

5、解决梯形问题常用辅助线的作法：

解决梯形问题常用辅助线的作法如下图：

① ② ③ ④ ⑤

①“平移腰”：过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和一个三角形；

②“作高”：使两腰在两个直角三角形中；

③“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中；

④“延长两腰” :构造具有公共角的两个三角形；

⑤“等积变形”:连接梯形一腰的端点和另一腰中点，并延长与底的延长线交于一点，构成三角形。

综上所述，解决梯形问题的基本思想和方法：

转化或分割、拼接

梯形问题——------————→三角形或平行四边形问题，这种思路常常通过平移或旋转来实现。

第十八章 平行四边形练习题

一、 选择题

1.已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作它的两条对角线长的是( )

A．10与6 B．12与16 C．20与22 D．10与18

2.如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150，则AEF=（ ）

A．110° B．115° C．120° D．130°

3.下列说法错误的是（ ）

A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形. B.每组邻边都相等的四边形是菱形.

C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形. D.四个角都相等的四边形是矩形.

4.若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（ ）

A．

B．

C．

D．8cm 2222

5.如图所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE=AD=2，则AC的长是（ ）

A

．4 C．【第18章四边形复习】

6.平行四边形的四个内角角平分线相交所构成的四边形一定是（ ）

A．一般平行四边形 B．一般四边形 C．对角线垂直的四边形 D．矩形

7.如图所示，在四边形ABCD中，∠BDC=90°，AB⊥BC于B，E是BC•的中点，•连结AE，

DE，则AE与DE的大小关系是（ ）

A．AE=DE B．AE>DE C．AE<DE D．不能确定

8.菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（ ）

A.6 cm B.1.5 cm C.3 cm D.0.75 cm

9．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（ ）

A.75° B.60° C.45° D.30°

10.已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（ ）

A.12 B.8 C.4

D.2

二、填空题

11.菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是2 cm,则另一条对角线的长是

12．如右图，M、N是ABCD对角线AC上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形BMDN是平行四边形。

13.如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．

14.把两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，则可拼成不同的平行四边形的个数为 。

15.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠ADC＝60°，BE＝2，CF＝1. 则△DEC的面积为

DAAD

CBC BE

16.已知△ABC的三条中位线组成△DEF，则△ABC与△DEF的周长之比为 ，面积之比为 。

17.已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长为_____．

18.已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD＝

2那么AP的长为 ．

19．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，

在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是 ．

20.如图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，

连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.

三、解答题

21.已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F.

求证：四边形DECF是菱形

.

第18章四边形复习(二)
第十八章四边形章节复习辅导讲义

第十八章、四边形章节复习辅导讲义

一、四边形知识框架： 1.

2.平行四边形的知识结构

正

方

形

二、四边形

1. 定义：有不在同一直线上的四条首尾依次连接的线段构成的封闭图形。

2. 四边形的表示：四边形一般由依次的四个大写的字母表示，如四边形ABCD等。 3. 四边形的分类：

（1） 按照四边形的凹凸性将四边形分为凸四边形和凹四边形。 注意：中学阶段学习的四边形都是凸四边形。 （2） 按照四边形对边的平行性将四边形分为： ① 一般四边形：任何对边都不平行的四边形。 ② 梯形：只有一组对边平行的四边形； A. 梯形分类： a．一般的梯形

b．等腰梯形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形。 c. 直角梯形：有一个内角为直角的梯形。

（3） 平行四边形：两组对边分别平行的四边形。 ① 平行四边形的分类： A. 一般的平行四边形 B. 矩形（长方形）：有一个较为直角的平行四边形。 C. 菱形：邻边相等的平行四边形。

平行四边形

矩形菱形

D. 正方形：四条边都相等，四个内角也相等的四边形。 4. 四边形的内角和与外角和： （1） 四边形的内角和为

360度 （2） 四边形的外角和为360度。

5. 四边形的性质：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四

边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形 【基础练习】

1. 顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_______四边形． 2．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_________．

3. 如图1，已知：在ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD•于点E，交CD的延

长线于点F，则DF=______cm．

4. 如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，

则∠EAC＝___度．

5. 四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m可以证明当ACBD时（如图1），，n

，

1

mn，那么当AC，BD所夹的锐角为时（如图2），四边2

形ABCD的面积S ．（用含m，n，的式子表示）

四边形ABCD的面积S

6.在如图所示的四边形中，若去掉一个50的角得到一个五边形， 则∠1∠2 度．

50°

2

C

7.如图，已知AC平分BAD，12，ABDC3， 则BC ． A

8.已知四边形ABCD中，ABC90，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．

D

E G

B

三、平行四边形

（一） 平行四边形：

1. 定义：两组对边分别平行的四边形。 2. 平行四边形的性质：

（1） 平行四边形的对边相等。

（2） 平行四边形的两组对边分别平行。 （3） 平行四边形的对角相等。

（4） 夹在两条平行线之间的平行线段相等（两组对边分别相等）。 （5） 平行四边形的两条对角线互相平分。 （6） 平行四边形的邻角互补。

（7） 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 （8） 平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和。 3. 平行四边形的判定：

（1） 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （2） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （5） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（6） 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。

4. 平行四边形的面积公式：S平行四边形 =ah.（其中，a为平行四边形的边，h为a上

的高）

5. 平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。 【基础练习】

1. 5．如图4，如果平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

2. 平行四边形的周长为28，两邻边的比为4：3，•则较短的一条边的长为_______．

3. 平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形的对数是

Ａ．2对 Ｂ．4对 Ｃ．6对 Ｄ．8对 4. 两条邻边分别是15cm和20cm的平行四边形最大面积是cm2

A．75 cm2 B．150 cm2 C．200 cm2 D．300 cm2

5. 已知：在□ABCD中，AB = 4cm，AD = 7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF = cm．

6. 已知：如图，E、F

在ABCD的对角线BD上，BF＝DE，求证：四边形AECF是平行四边形．

B C

（二） 矩形：

1. 定义：有一个较为直角的的平行四边形。

2. 说明：因为矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的所有性质，在

判断一个四边形是矩形一般先判断这个四边形是平行四边形。当然，矩形也有自身的判定定理。 3. 矩形的性质：

（1） 四边形和平行四边形的所有性质。 （2） 矩形的四个角都是直角。 （3） 矩形的对角线相等。

（4） 矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等、

（5） 连结矩形四边的中点组成的四边形是菱形。 （6） 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；（其中对称中心是两对角线的交点，

对称轴有两条，分别是两组对边的中点连线所在的直线。）

4.矩形的判定：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形； （4）四个内角都相等的四边形为矩形；

（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形

（6）对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形（以下是延伸判定） （7）关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形

（8）对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四 边形为矩形.

5.矩形的面积公式：S矩形=ab（其中a表示长、b表示宽） 【基础练习】

1. 顺闪连接矩形各边中点所得的四边形是（ ） A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形

2. 如图2，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定方

法是_______．

4. 矩形ABCD中，AB＝2BC， 点E在CD上，且AE＝AB，那么∠EBC的度数为

A．10° B．15° C．22.5° D．30°

5.矩形ABCD中AB＞BC，E 是AB的中点，F是CE的中点，且△ABF的面积为10cm2，则四边形AFCD的面积为

A．20 B．25 C．30 D．35

6. 如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝 隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3cm，EF＝4cm，则边AD 的长是___________cm.

7.如图，ABCD是矩形纸片，

翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．

（１）求证：四边形AECG是平行四边形； （２）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．

B

D

E G

（三）菱形：

1.定义：邻边相等的平行四边形。

2.说明：因为菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的所有性质，在判断一个四边形是菱形一般先判断这个四边形是平行四边形。当然，菱形也有自身的判定定理。

3.菱形的性质：

（1）具有四边形和平行四边形的所有性质； （2）对角线互相垂直且平分 （3）四条边都相等

（4）每条对角线平分一组对角

（5）在有一个内角为60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3

倍。

（6）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（其中，对称中心是对角线的交点；

对称轴有两条，分别是两对角线所在的直线）。 （7）连结菱形各边的中点组成的图形是矩形。 4.菱形的判定：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

第18章四边形复习(三)
章复习 第18章 四边形

章复习 第18章 四边形

一、平行四边形

1、平行四边形的概念

两组对边____________的四边形叫做平行四边形．

注：平行四边形用符号“□”表示，顶点为ABCD的平行四边形记作“□ABCD”．

2、平行四边形的性质

⑴平行四边形的邻角____，对角____．

⑵平行四边形的对边____且____．

⑶平行四边形的对角线________．

3、平行四边形的判定

⑴定义法：两组对边分别______的四边形是平行四边形．

⑵两组对边分别________的四边形是平行四边形．

⑶两组对角分别________的四边形是平行四边形．

⑷对角线________的四边形是平行四边形．

⑸一组对边________且________的四边形是平行四边形．

4、三角形中位线定理

⑴三角形中位线的定义：连接三角形________的线段叫做三角形的中位线． ⑵三角形中位线定理：三角形的中位线________，且____________．

二、特殊的平行四边形

1、矩形：

⑴定义：有—个角是____角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．

注：矩形首先是平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件．

⑵性质：

①具有平行四边形的所有性质；

②矩形的四个角都是____角；

③矩形的对角线________．

注：①矩形既是____对称图形，也是____对称图形；②由矩形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于____________．

⑶矩形的判定：

①定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②对角线________的平行四边形是矩形；

③有____个角是直角的四边形是矩形．

2、菱形

⑴定义：有一组邻边________的平行四边形叫做菱形．

菱形必须满足两个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等．

⑵性质：

①具有平行四边形的所有性质；

②菱形的四条边________；

③菱形的两条对角线________，并且每一条对角线____________.

由菱形的两条对角线互相垂直可得菱形面积的另一个计算公式：

菱形的面积=________________．

⑶菱形的判定：

①定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线____________的平行四边形是菱形；

③____条边相等的四边形是菱形．

3、正方形

⑴定义：既是____形又是____形的四边形叫做正方形．

注：正方形常见的定义还有：①有一组邻边相等的矩形叫做正方形；②有一个角是直角的菱形叫做正方形．

⑵性质：正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质．

①边：四条边________、邻边________、对边________；

②角：四个角都是________；

③对角线：________、_________且_______；每一条对角线平分____________； ④正方形一条对角线上一点到另一条对角线的两端距离________．

⑶正方形的判定：判定一个四边形为正方形主要根据定义，其一般顺序为：

①先证明四边形是平行四边形；

②再证明它是矩形（或菱形）；

③最后证明它是菱形（或矩形）．

正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间的关系：

如右图．

三、梯形

1、梯形的定义及分类

⑴定义：一组对边________，另一组对边________的四边形叫做梯形．

⑵梯形的相关定义：

①梯形的底：梯形中________的两边叫做梯形的底；

注：通常把较短的底叫做________，较长的底叫做________．

②梯形的腰：梯形中________的两边叫做梯形的腰；

③梯形的高：梯形________的距离叫做梯形的高．

__________⑶梯形的分类：__________ ____________________

________相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做________梯形．

2、等腰梯形

⑴性质：

①等腰梯形两腰________，两底________；

②等腰梯形同一底边上的两个角________；

③等腰梯形的两条对角线________；

④等腰梯形是____对称图形，上、下底中点的连线所在直线是________．

⑵判定：

①定义法：两腰相等的梯形是等腰梯形；

②在同一底上的两个角________的梯形是等腰梯形；

③对角线________的梯形是等腰梯形．

三角形或平行四边形问题． 注：①解决梯形问题的基本思路是：梯形问题转化

②各种四边形关系如下页图：

四、重心

1、线段的重心就是线段的____．

2、平行四边形的重心是它的两条对角线的________．

3、三角形的三条____线交于一点，

这一点就是三角形的重心．

五、平行四边形问题的常见辅助线

1、有中线时，常加倍中线构造平行

四边形．

2、矩形、菱形中，常连对角线，把

四边形问题转化为三角形问题．

3、有垂线时，常构造垂直平分线或

作垂线构造矩形或菱形．

4、有正方形一边中点时，常取另一边中点构造图形．

5、图形具有等邻边特征时，可以把图形某部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．

6、有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形．

六、梯形中常见的辅助线

1、平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，如图(1)．

2、从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形，如图(2)．

3、平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形，如图(3)．

4、延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形，如图(4)．

5、有一腰中点时常用的作辅助线方法：

①过此中点作一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形，如图(5)．

②把一底的端点与中点连接并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形，如图(6)．

6、有底的中点时常过中点作两腰的平行线，把梯形转化成两个平行四边形和一个三角形，如图(7)．

七、典型例题

*例1 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC =8，若将矩形折叠，使B点与D

点重合，则折痕EF的长为( )．

A．15 B．15 C．5 D．6 24

*例2 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、

F分别是BM、CM的中点．

(1)求证：四边形MENF是菱形；

(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系并说明你的结论．

平行四边形 练习题

1．平行四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝130°，则∠D的度数是 °.

2．□ABCD中，∠B=30°，AB＝4 cm，BC=8 cm，则四边形ABCD的面积是_____.

D 3．平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，C E 则对角线AC的长是 .

4．如图，在平行四边形□ABCD中，DB＝DC，∠Ｃ＝70°，A AE⊥BD于E，则∠DAE＝度． 第4题图 5．平行四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是

（ ） A．1:2:3:4 B. 3:4:4:3 C. 3:3:4:4 D. 3:4:3:4

6．在平行四边形ABCD中，B60，那么下列各式中，不能成立的是（ ） ．．

A．D60 B．A120

C．CD180 D．CA180

7．如图，在□ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE．

求证：△ABF≌△DCE．

C E F B

8．如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?

C

9．如图，在□ABCD中，E，F分别是CD，AB上的点，且DE＝BF．求证：AE＝CF．

*10．如图，已知：□ABCD中，BCD的平分线CE交边AD于E，ABC 的平分线BG 交CE于F，交AD于G．求证：AEDG．

G E

B C

A D

B 

第18章四边形复习(四)
第十八章四边形章节复习辅导讲义

第十八章、四边形章节复习辅导讲义

一、四边形知识框架： 1.

2.平行四边形的知识结构

正

方

形

二、四边形

1. 定义：有不在同一直线上的四条首尾依次连接的线段构成的封闭图形。

2. 四边形的表示：四边形一般由依次的四个大写的字母表示，如四边形ABCD等。 3. 四边形的分类：

（1） 按照四边形的凹凸性将四边形分为凸四边形和凹四边形。 注意：中学阶段学习的四边形都是凸四边形。 （2） 按照四边形对边的平行性将四边形分为： ① 一般四边形：任何对边都不平行的四边形。 ② 梯形：只有一组对边平行的四边形； A. 梯形分类： a．一般的梯形

b．等腰梯形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形。 c. 直角梯形：有一个内角为直角的梯形。

（3） 平行四边形：两组对边分别平行的四边形。 ① 平行四边形的分类： A. 一般的平行四边形 B. 矩形（长方形）：有一个较为直角的平行四边形。 C. 菱形：邻边相等的平行四边形。

平行四边形

矩形菱形

D. 正方形：四条边都相等，四个内角也相等的四边形。 4. 四边形的内角和与外角和： （1） 四边形的内角和为

360度 （2） 四边形的外角和为360度。

5. 四边形的性质：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四

边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形 【基础练习】

1. 顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_______四边形． 2．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_________．

3. 如图1，已知：在ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD•于点E，交CD的延

长线于点F，则DF=______cm．

4. 如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，

则∠EAC＝___度．

5. 四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m可以证明当ACBD时（如图1），，n

，

1

，四边mn，那么当AC，BD所夹的锐角为时（如图2）

2

形ABCD的面积S ．（用含m，n，的式子表示）

四边形ABCD的面积S

6.在如图所示的四边形中，若去掉一个50的角得到一个五边形， 则∠1∠2 度．



50°

2

C

7.如图，已知AC平分BAD，12，ABDC3， 则BC ． A

8.已知四边形ABCD中，ABC90，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．

D

E G

B

三、平行四边形

（一） 平行四边形：

1. 定义：两组对边分别平行的四边形。 2. 平行四边形的性质：

（1） 平行四边形的对边相等。

（2） 平行四边形的两组对边分别平行。 （3） 平行四边形的对角相等。

（4） 夹在两条平行线之间的平行线段相等（两组对边分别相等）。 （5） 平行四边形的两条对角线互相平分。 （6） 平行四边形的邻角互补。

（7） 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 （8） 平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和。 3. 平行四边形的判定：

（1） 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （2） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （5） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。【第18章四边形复习】

（6） 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。

4. 平行四边形的面积公式：S平行四边形 =ah.（其中，a为平行四边形的边，h为a上

的高）

5. 平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。 【基础练习】

1. 5．如图4，如果平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

2. 平行四边形的周长为28，两邻边的比为4：3，•则较短的一条边的长为_______．

3. 平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形的对数是

Ａ．2对 Ｂ．4对 Ｃ．6对 Ｄ．8对 4. 两条邻边分别是15cm和20cm的平行四边形最大面积是cm2

A．75 cm2 B．150 cm2 C．200 cm2 D．300 cm2

5. 已知：在□ABCD中，AB = 4cm，AD = 7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF = cm．

6. 已知：如图，E、F

在ABCD的对角线BD上，BF＝DE，求证：四边形AECF是平行四边形．

B C

（二） 矩形：

1. 定义：有一个较为直角的的平行四边形。

2. 说明：因为矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的所有性质，在

判断一个四边形是矩形一般先判断这个四边形是平行四边形。当然，矩形也有自身的判定定理。 3. 矩形的性质：

（1） 四边形和平行四边形的所有性质。 （2） 矩形的四个角都是直角。 （3） 矩形的对角线相等。

（4） 矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等、

（5） 连结矩形四边的中点组成的四边形是菱形。 （6） 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；（其中对称中心是两对角线的交点，

对称轴有两条，分别是两组对边的中点连线所在的直线。）

4.矩形的判定：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形； （4）四个内角都相等的四边形为矩形；

（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形

（6）对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形（以下是延伸判定） （7）关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形

（8）对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四 边形为矩形.

5.矩形的面积公式：S矩形=ab（其中a表示长、b表示宽） 【基础练习】

1. 顺闪连接矩形各边中点所得的四边形是（ ） A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形

2. 如图2，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定方

法是_______．

4. 矩形ABCD中，AB＝2BC， 点E在CD上，且AE＝AB，那么∠EBC的度数为

A．10° B．15° C．22.5° D．30°

5.矩形ABCD中AB＞BC，E 是AB的中点，F是CE的中点，且△ABF的面积为10cm2，则四边形AFCD的面积为

A．20 B．25 C．30 D．35【第18章四边形复习】

6. 如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝 隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3cm，EF＝4cm，则边AD 的长是___________cm.

7.如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．

（１）求证：四边形AECG是平行四边形； （２）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．

B

D

E G

（三）菱形：

1.定义：邻边相等的平行四边形。

2.说明：因为菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的所有性质，在判断一个四边形是菱形一般先判断这个四边形是平行四边形。当然，菱形也有自身的判定定理。

3.菱形的性质：

（1）具有四边形和平行四边形的所有性质； （2）对角线互相垂直且平分 （3）四条边都相等

（4）每条对角线平分一组对角

（5）在有一个内角为60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3

倍。

（6）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（其中，对称中心是对角线的交点；

对称轴有两条，分别是两对角线所在的直线）。 （7）连结菱形各边的中点组成的图形是矩形。 4.菱形的判定：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

第18章四边形复习(五)
第十八章平行四边形复习教案

《平行四边形》复习课教案（36、37、38）

【教学目标】

1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；

2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；

3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。 【教学重点】

1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。

2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。 【教学难点】

平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。 【教学模式】

以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律-----测试练习，提高效率

【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件。 【教学过程】

一、以题代纲，梳理知识 （一）开门见山，直奔主题

同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道练习题，请看大屏幕。 （二）诊断练习

1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O：

(1) AB＝CD,AD＝BC （平行四边形） (2)∠A＝∠B＝∠C＝90° （ 矩形 ） (3)AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形 （ 菱形 ） (4)OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （ 正方形 ） (5) AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？ )

2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为 5 厘米。 3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是 菱形 。

4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是 平方厘米。

5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有： 矩形、菱形、正方形 ，中心对称图形的有： 平行四边形、矩形、菱形、正方形 ，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是： 矩形、菱形、正方形 。 （二）归纳整理，形成体系 1、性质判定，列表归纳

2、基础练习：

（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ）

A．对角线相等 （距、正） B. 对角线平分一组对角 （菱、正） C．对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 （菱、正） （2）、正方形具有，矩形也具有的性质是（ A ）

A．对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直

C. 对角线互相垂直且互相平分 D. 对角线互相垂直平分且相等 （3）、如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（ D ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 都是中心对称图形，A、B、C都是平行四边形

（4）、矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ B ）

A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对边平行且相等 D. 内角和为360问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。 （5）、正方形具有而矩形不具有的特征是（ D ）

A. 内角为360 B. 四个角都是直角 C. 两组对边分别相等 D. 对角线平分对角 问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？对角线相等

2、集合表示，突出关系

二、查漏补缺，讲练结合 （一）一题多变，培养应变能力 〖例题1〗

已知：如图1，□ABCD的对角线AC、BD交于点O， EF过点O与AB、CD分别交于点E、F． 求证：OE=OF． 证明: ∵

变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？

B

C

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

变式2．在图1中，如果过点O再作GH，分别交AD、BC于G、H，你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

变式3．在图1中，若EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F，这时仍有OE=OF吗？你还能构造出几个新的平行四边形？

F

FF对角线互相平分的四边形是平行四边形。

变式4．在图1中，若改为过A作AH⊥BC，垂足为H，连结HO并延长交AD于G，连结GC，则四边形AHCG是什么四边形？为什么？

可由变式1可知四边形AHCG是平行四边形， 再由一个直角可得四边形AHCG是矩形。

B

变式5．在图1中，若GH⊥BD，GH分别交AD、BC于G、H，则四边形BGDH是什么四边形？为什么？

可由变式1可知四边形BGDH是平行四边形，

再由对角线互相垂直可得四边形BGDH是菱形。

变式6．在变式5中，若将“□ABCD”改为“矩形ABCD

G、H，则四边形BGDH是什么四边形？若AB=6，BC=8，你能求出GHABCD对折，使B、D重合，求折痕GH的长。） 略解：∵AB=6

，BC=8 ∴BD=AC=10。 设OG = x，则BG = GD=x225． 在Rt△ABG中，则勾股定理得： AB2 + AG2 = BG2 ，

即68x25x25，

15

解得 x．

4

∴GH = 2 x = 7.5．

（二）一题多解，培养发散思维 〖例题2〗

已知：如图，在正方形ABCD，E是BC边上一点， F是CD的中点，且AE = DC + CE．

2

A G 

2

2

2



2

求证：AF平分∠DAE．

证法一：（延长法）延长EF，交AD的延长线于G（如图2-1）。 ∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠C=∠ADC=90°（正方形四边相等，四个角都是直角） ∴∠GDF=90°， ∴∠C =∠GDF

CGDF 在△EFC和△GFD中  12

CFDF

∴△EFC≌△GFD（ASA）

∴CE=DG，EF=GF

∵AE = DC + CE， ∴AE = AD + DG = AG， ∴AF平分∠DAE．

证法二：（延长法）延长BC，交AF的延长线于G（如图2-2）

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD // BC，DA=DC，∠FCG=∠D=90°

（正方形对边平行，四边相等，四个角都是直角） ∴∠3=∠G，∠FCG=90°， ∴∠FCG =∠D



FCGD 在△FCG和△

FDA中  12

CFDF

B C G

∴△△FCG和△FDA（ASA）

∴CG=DA ∵AE = DC + CE，

∴AE = CG + CE = GE， ∴∠4 =∠G，

∴∠3 =∠4， ∴AF平分∠DAE．

思考：如果用“截取法”，即在AE上取点G，

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