一元一次不等式的概念

导读：　一元一次不等式的概念(共5篇)...

一元一次不等式的概念(一)
不等式的相关概念及一元一次不等式的解法

不等式的相关概念及一元一次不等式的解法

【结构图】

【教学目标】

1、能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。

2、会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。

3、能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。

【教学重点】

不等式的解和解集的概念，不等式的性质，解不等式及应用

【教学难点】

正确地利用数轴表示和解决不等式解集的有关问题；不等式的解法

【数学思想】

（1）数形结合的思想

在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，在数轴上表示解集比在数轴上表示数又前进了一步，本章中把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地看到不等式有无数多个解，并易于确定不等式组的解集．

（2）模拟方法

一元一次不等式无论知识结构还是思想方法上与一元一次方程都有很多相近之处，通过模拟新旧知识的相同点和不同点，理解掌握不等式的三个性质，对比一元一次方程的所学，了解一元一次不等式的概念，掌握不等式的有关概念（解、解集、解集的几何解释等）以及不等式的求解方法，是最好的学习方法。

【内容解析】

1、不等式的概念：

用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.

注意:

（1）常见的不等号有：＞，＜，≥，≤，≠.

（2）一般来说，不等式可分为三类：①条件不等式；②绝对不等式；③矛盾不等式.

（3）对于含有未知数的不等式来讲，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的

大小关系时，叫不等式成立；当未知数取某些值时，不等式的左、右两边不符合不等号所表示的

大小关系时，叫不等式不成立.

2

、不等式的解、解集的概念：

使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.

不等式解的集合叫做不等式的解集，解集可以用数轴很直观地表示出来。

求不等式的解集的过程叫做解不等式。

3、不等式的性质：

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.。

注意：在模拟学习的过程中，要注意等式性质与不等式性质的主要区别在于“等号”与“不等号”，特别是不等式的两边同乘一个非零数时，需要分这个数是正还是负两种情况考虑，对于乘负数要改变不等号的方向要格外留意。

4

、一元一次不等式的概念：

含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

5、解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1；（6）把解集表示在数轴上（依题目要求）.

注意：整个步骤与解一元一次方程类似，不同的是：当不等式两边乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。

6

、用不等式解决实际问题：

整个过程可表述为：

一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列一元一次不等式；（4）解一元一次不等式；

（5）检验并答题。

【典型例题】

1．用适当的符号语言或文字语言表达下列关系

（1）a与5的和是正数； （2）b与-5的差不是正数； （3）a的2倍与4的差不少于5；

（4）b的与c的和不大于9； （5）b的与3c的和既不大于9又大于-13 解：（1）a+5＞0；（2）b-(-5)≤0；（3）2a-4≥ 5；（4

）

≤9 b+c ≤9；（5）

-13<b+3c

小结：正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于„„。对“既„„又„„”，“既是„„也是„„”，“是„„或是„„”等连接词也要逐步领会积累。

试比较2．已知四个不相等的正数、与的大小关系。 、、，最小，最大，且， 解：设

，则，； 最小，最大；，则， .

小结：作差法是比较两个数或式子大小的常用方法。

3．用适当的符号填空，并说明理由：

如果x≤y,那么

x+5y_____y+5y, x-7y_______y-7y, 2x_______2y,

-3x_________-3y, x-3_________y-3

答：≤；≤；≤；≥；≤

小结：不断强化在变形上所运用的具体性质，发现符号的方向只和对应x，y前面系数的正负有关：若系数是正的，不等号方向不变；若系数是负的，不等号方向改变。

4．若不等式的解集是的解集是，则的值是______________.； 解：已知不等式 发现：①系数化为1的过程中不等号没有改变方向，所以应为正数； 若，则解得对比；

即 所以.

小结：观察不等式的变化：的系数变为1，不等号的方向没变。依据不等式的性质得

到的正负，再由不等式解集的唯一性，知

5．若不等式与是相同的，可得的具体值。 只有三个正整数解，求的取值范围.

解：解不等式， 解得；

因为不等式只有三个正整数解，分析得解应为1，2，3.见如下数轴：

① 确定解集的大致范围应在3～4之间；

② 结合解集和数轴分析，确定界点的取舍：；

解， 解得：.

小结：这类题往往分两步完成：（1）确定字母的大致范围；（2）确定边界值。

6．求不等式的正整数解集.

分析：欲求此不等式的正整数解，先求它的解集.

解：

即 , ,

小结：对于具体的解不等式题目，再复杂也没有哪个同学说学不会的，但是解不出正确结果却是普遍存在的现象，多数原因都是同学们在做题时对一些细节易错点关注不够所致，要多仔细观察发现做题过程中的易错点？是“移项”？“变号”？“漏乘”？„„。只有明晰这些易错点，才能快速提升我们的速度和正确率。

解：

7．解关于的不等式, . ，并把解集在数轴上表示.

当, 即时，,其解集表示为：

当，即 时，原不等式变为，其解集为空集Æ. 当，即时，,其解集表示为：

8．（1）比较下列各组数的大小，找规律，提出你的猜想：

______; _______; ______;

______; _______; _____.

从上面的各式发现：一个正分数的分子和分母_____________，所得分数的值比原分数的

值要_________.

猜想：设, , 则_______.

（2）试证明你的猜想：

分析：欲证<，只要证-<0.

即证

<0,

一元一次不等式的概念(二)
一元一次不等式的概念与解法

中小学个性化教育专家

精锐教育学科教师辅导讲义

一元一次不等式的概念(三)
一元一次不等式概念、解法及其简单应用

一元一次不等式概念、解法及其简单应用

一、教学内容分析：

本节课的教学内容是从一元一次不等式的概念及其解集的表示着手，进而熟练掌握解一元一次不等式解法，利用一元一次不等式解决简单的实际问题。

一元一次不等式是学生在对不等式的基本知识有一定认识后的一个提高，是学生实现由线（不等式解集数轴）向面（一元一次函数坐标系）顺利过渡的一个中转站，本节内容既加深了对解不等式的训练又提出了一元一次不等式的形成过程，巧妙地实现了单纯的解不等式向不等式的内在含义的转化。

二、教学目标：【一元一次不等式的概念】

本课时的学习任务主要有两个：第一是让学生体会和经历一元一次不等式概念的形成过程，让学生会解简单的一元一次不等式并能在数轴上表示其解集，最终实现提高学生分析问题、解决问题的能力的任务；第二是通过分析实际问题中的不等关系，建立不等式模型，通过对不等式的求解对实际问题的解决，训练学生的分析和建立数学模型的能力。

三、教学重难点分析

教学重点：一元一次不等式的解法及应用。

教学难点：将实际问题抽象成数学问题的思维过程。

四、教学过程

1、一元一次不等式的概念

例1．观察下列不等式：

(1)40+15x>130 (2)2x-2.5≥1.5 (3)x≤8.75 (4)7x+4=11 (5)x2-1>3 这些不等式有哪些共同点？

从例1中，我们可以得出“一元一次不等式”的概念，即：“左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”。

2、一元一次不等式解集的表示

例2．解不等式5x≤5，2x<6，3x>1，4x≥2，并把它们的解集表示在数轴上。

1解：这四个不等式对应的解集依次为：x≤1，x<3，x>，x≥0.5 3

在数轴上的表示如下图：

（归纳）一元一次不等式解集的四种基本表示方法：【一元一次不等式的概念】

(1) (2)

(3) (4)

3、一元一次不等式的解法

例3. 解不等式

≥ ，并把它的解集表示在数轴上。

提出问题：

1、你能利用不等式的基本性质解决吗？试一试。

2、在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？

3、在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？

解：去分母，得 3(x-2) ≥2(7-x)

去括号，得 3x-6≥14-2x

移项、合并同类项，得 5x≥20

两边都除以5，得 x≥4

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

注意：1. 解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化1。在（1）和（5）中，如果乘数或除数是负数，要把不等号的方向改变。2. 在数轴上表示不等式的解集时，要注意不等号以及端点的情况。

（归纳）解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母———不等式性质2或3

注意：①勿漏乘不含分母的项；

②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号；

③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变.

（2）去括号——去括号法则和分配律

注意：①勿漏乘括号内每一项；

②括号前面是“－”号，括号内各项要变号.

（3）移项——移项法则（不等式性质1）

注意：移项要变号.

（4）合并同类项——合并同类项法则.

（5）系数化成1——不等式基本性质2或性质3.

注意：两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变.

练习：解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上；

（1）5x＜200 (2) ＜3

(3) x-4≥2(x+2) (4) ＜

4、一元一次不等式的简单应用

例4. 一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？

解：设小明答对了x道题，则得4x分，另有（25-x）道要扣分，而小明评为优秀，即小明的得分应大于或等于85分，则

4x-(25-x) ≥85【一元一次不等式的概念】

解得： x≥22

所以，小明至少答对了22道题，他可能答对22，23，24或25道题。

（归纳）解一元一次不等式应用题的步骤：

（1）审题，找不等关系；

（2）设未知数；

（3）列不等关系；

（4）解不等式；

（5）根据实际情况，写出全部答案。

例5．小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可能买几支笔？

解:设她还可能买x枝笔,根据题意,得

3x+2.2×2≤21

解这个不等式,得 x≤

因为在这一问题中x只能取正整数,所以还可能买1枝、2枝、3枝、4枝或5枝笔.

五、课外作业

1、解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：

2、小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元钱，一盒方便面3元钱，他买了5盒方便面，他还可能买多少根火腿肠？

一元一次不等式的概念(四)
一元一次不等式知识点汇总

【知识点一】不等式的有关概念

一元一次不等式知识点汇总

1、不等式定义：用符号“”、“”、“”、“”、“”连接而成的数学式子，叫做不等式。这5个用来连接的符号统称不等号。

2、列不等式：步骤如下

（1）根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式；

（2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义；

（3）选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。

3、用数轴表示不等式

（1）xa表示小于a的全体实数，在数轴上表示a左边的所有点，不包括a在内。

（2）xa表示大于或等于a的全体实数，在数轴上表示a右边的所有点，包括a在内。

（3）bxaba表示大于b而小于a的全体实数。

【知识点二】不等式的基本性质

1、不等式的基本性质

（1）基本性质1：若ab，bc，则ac。（不等式的传递性）

（2）基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。

①若ab，则acbc，acbc；②若ab，则acbc，acbc。 （3）基本性质3：①不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；

若ab，且c0，则acbc，

ab。 ccab。 cc

②不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立。

若ab，且c0，则acbc，

2、比较等式与不等式的基本性质

1、一元一次不等式的概念：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次。

2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解。

3、一元一次不等式的解法：步骤如下

（1）去分母：在不等式两边同乘分母的最小公倍数；（根据基本性质3） （2）去括号：把所有因式展开；（根据单项式乘多项式法则）

（3）移项：把含未知数的项移到不等式的左边，不含有未知数的项移到不等式的右边；（根据基本性质2） （4）合并同类项：将所有的同类项合并，得axb或axb（a0）的形式；

（5）系数化为1：不等式两边同除以未知数的系数，或乘未知数系数的倒数。（根据基本性质3）

4、一元一次不等式的应用：解有关应用题步骤如下

（1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系；

（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集；

（6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。

1、一元一次不等式组的定义：一般地，由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。

2、一元一次不等式组的解：

3、解一元一次不等式组的方法：步骤如下

（1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解；

（2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分；

（3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。

4、列一元一次不等式组解应用题：步骤如下 （1）审：审清题意，找出已知量和未知量；

（2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系；

（4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。

一元一次不等式的概念(五)
一元一次不等式知识点总结

一元一次不等式

重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。 知识点一：不等式的概念

1. 不等式：

用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：

(1) 不等号的类型:

① “≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：

由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

要点诠释：

不等式的解集必须符合两个条件：

(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；

(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：不等式的基本性质

基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 符号语言表示为：如果，那么。 基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。 基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 符号语言表示为：如果 要点诠释： ，并且，那么（或）

(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；

(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；

(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；

(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。 知识点三：一元一次不等式的概念

的不等式，叫做一元一次不等式。

要点诠释： 只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样

(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：

①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1。

(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。

知识点四：一元一次不等式的解法

1.解不等式：

求不等式解的过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步

骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.

要点诠释：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用

（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。

3.不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。

要点诠释：

在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左 规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）

1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质2、3要倍加小心）

2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。

3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。

5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。

6、常见不等式的基本语言的意义：

（1）

（3）

（5）

（7），则x是正数； （2），则x是非正数； （4），则x大于y； （6），则x不小于y； （8），则x是负数； ，则x是非负数； ，则x小于y； ，则x不大于y；

（9）或，则x，y同号；（10）或，则x，y异号；

（11）x，y都是正数，若，则；若，则；

（12）x，y都是负数，若，则；若，则

一元一次不等式的概念相关热词搜索：一元一次不等式组概念 一元二次不等式