数学竞赛是什么

导读：　数学竞赛是什么(共5篇)...

数学竞赛是什么(一)
数学竞赛书籍推荐

细数那些年曾看过的数竞好书

——转摘于网络

竞赛的学习远不同于高考，差异性的根源就来自老师这一角色的转变。所谓的教练，已经从传道授业解惑的老师，转变为了引路的灯塔。他们可以为学生搜集资料，编制试题，懂得启发、引导学生思考，善于布局谋划学生的发展方向，却极少拿起教材真正教你些什么。

当学习过程中的第一知识来源几乎不再为你注入源头活水的时候，你自然明白，书本就成了你获取知识的唯一可行途径。你看什么书，它知识点讲解是否清楚，它囊括的练习题是否典型而具有启发性，就直接决定了你的学习质量，其重要性无需我再多言。

作为一个数学竞赛的过来人，我写下这篇文章，按照时间顺序分段介绍数学竞赛几个必经的层次，及其对应的参考书籍。希望给正在或者即将踏上长路奔驰的你，带来一些实质性的帮助。

Period 1：初三毕业的那个夏天——高一的第一个学期结束

第一阶段是大多数竞赛生学习必备知识的阶段，说白了就是先把高考课程内要求掌握的所有知识自学完成，吃饱了上路。这一阶段的目标，清晰明确：配合老师的课堂教学，尽可能快地自学完成高考数学的绝大多数内容，在最短时间内达到高考的要求。

在这一部分，我并没有什么值得推荐的参考书，我只想介绍我当时的情况。我高中的第一个学期，期中考试数学分数非常低，这不是我个人的问题，而是我们整个数学竞赛组都存在的麻烦。于是我的竞赛老师就自己搜集了一些高考的难题，汇总，并且按照联赛一试的形式命制成了一套套的试题让我们练习。毫不夸张地说，到了期末，数学组的高考数学成绩就统治全班了，前前后后不过两个月的时间。

Period 2：高一第一学期结束的寒假

第二阶段是竞赛生第一次真正意义上地开始竞赛的学习，是飞机起飞前的第一冲刺滑行阶段。我建议你需要完成的事情是：学习一试的内容和平面几何的内容。

对于一试部分的内容，我推荐的教材是华东师范大学出版社出版的《奥数教程》，注意是高一年级和高二年级的基础篇（只有基础篇）。学数学竞赛的人不可能没听说这一套书，这一系列共分三本，分别在封面注明了高一到高三三个年级。高一的这一本包括的知识点有：集合、函数、数列、三角函数、向量和立体几何，除了集合包含一定的组合知识，其他的内容均为一试内容（可能还包括一点二试的代数内容），题目非常典型且有难度，不管是基础篇还是提高篇都是必须刷完的；高二这本书基础篇包括：一试难度的不等式，解析几何和复数，提高篇基本就是二试内容了，不推荐在这个阶段完成。

平面几何的内容，我只推荐一本书，这本书也是我唯一看过的一本平面几何的书：《奥赛经典——奥林匹克数学中的几何问题》，主要由沈文选老师编写，湖南师范大学出版社出版。请你无视第二篇和第三篇关于立体几何和解析几何的内容，重点在第一篇。除了三四五六七章（从托勒密到九点圆）可以略看，不是考察重点，其他都要认真看。这本书的精华就在每一章节的基础知识部分，严密细致的总结归纳，堪称平面几何教科书的典范。另外这本书上的题目难度分级也很合理，不是一味的难或者水，刷的时候可以明显感觉到能力的提升。一个小的不足是错误较多。

关于这一阶段的学习，还要多啰嗦几句。第一，两条线要穿插着进行，尤其是一试内容的学习，不仅是在这一阶段，在以后的过程中，都要保证常规的最低训练量；第二，这个阶段以及第三阶段，

都是新知识学习的阶段，你的目标很明确：快速地把这个圈子摸一遍。所以对于部分难题，该放的果断放，必须保证一定的学习速度，但同时要保证质量，走马观花同样是大忌，建议题目的完成+阅读率在80-90％。

Period 3： 高一第二学期开始到高一结束后暑假的中期

第三阶段是你一试实力进一步提升的阶段，同时也是你开始接触二试部分较难知识（数论、组合）的时期。一试在第二阶段已经说过，在第三阶段你要持续看那两本书。

二试还有三块重要的内容你需要接触：代数、数论和组合。

代数方面，和刷什么书相比更重要的事情是，先说清楚一个未公开的公认事实：代数不一定考，要考也只能是不等式或者数列函数等和一试紧密联系的部分。明面上代数的内容包括不等式、多项式、所有函数、数列、复数等内容，但实际上你需要真的把它当作二试内容来训练的，就只有不等式。不等式的内容，我当时练习的是高二年级的《奥数教程》提高篇不等式的部分，难度适中，没有什么特别的亮点，但是入门已经足够了。（在这个阶段，不等式也不是你的准备重点）

数论方面，我推荐必读书有两本：《奥数教程》高三年级里面的数论部分（第6-10讲以及第19、20讲），还有《数学奥林匹克小丛书高中卷10数论》，两本书均由余红兵老师编写。说起余老师，他绝对算得上是数学竞赛界数论这一块数一数二的老师，他编写的教材精致而有深度，这两本书是不得不刷的。《奥数教程》这一本，题目简单基础，非常适合入门阅读。它的闪亮之处，在于余老师给知识点和问题分析写下的注解，一步步引导你思考和挖掘问题，这是竞赛书籍里绝无仅有的，值得你一个一个字地细看深思。而小丛书那一本，就已经具有一定的难度了，题目非常典型和深刻，属于进阶的数论书，适合在入门后阅读。

组合方面，在这个阶段我推荐的书是《数学奥林匹克小丛书高中卷11组合数学》，由张垚老师编著。除了母函数这一节可以略看，其他几章章章都堪称精华，难度梯度设置合理，知识覆盖全面，题目典型而有深度，解答细致易懂。即便是入门书籍，它也已经具有了相当的难度，能真正看好这本书，全国联赛的组合基础题肯定是不在话下的。

最后多说一句，组合和数论是二试内容中较难的两块，尤其是组合千变万化，思维性稍欠缺一点的同学会觉得很难上手。如果你在看书的时候觉得很吃力，一定要把速度降下来。

Period 4：高一结束暑假的中后期——高二开学不久的数学联赛

第二、三阶段都是竞赛内容全面铺开、构建知识网络的时期，是你储备知识，提高水平的发酵期，那么现在就是验收成果的时候了，你直面的就是数学联赛。你在这一阶段会经历一个大爆发的过程，你这一步究竟飞得有多高，直接取决于你前两个阶段准备得怎样。

这一阶段，我不再推荐新的书，你可以把前两个阶段没有刷完的书继续跟进。但是有一本刊物：《中等数学》，它每年到了暑假就会发行几本增刊，有一本收集了上一年全国乃至全世界各地的考题，有一本就是各省的竞赛名师专门为联赛命制的模拟题，后者是你准备联赛的利器。这本增刊一般都包括十几套模拟题，其中每一套你都要当作模拟考试一样限时完成，书写过程然后阅卷。需要注意的是，不同的老师有不同的喜好，命制的模拟题风格各异。整本增刊良莠不齐，大多数都是好的，但是个别的几套真的很过分（比如我当年遇到一套题，把一试题当作二试题出，全组一试的平均分不超过30分，一半同学0分或者8分），你需要自己判断。

最后补充几句话，这一阶段通过练习联赛模拟题，预期的效果当然把你前期的积累转化为联赛的分数，说白了就是找找联赛的感觉。除此之外，你的一试还会有很大的提升或者巩固，所以你务必把你的一试错题整理收集，一定要保证所有的一试题是以下几种情况：正确完成；算错了的重新计算；不会的看过解答，弄明白了。另一方面，你的二试不会有硬实力的提高，所以如果你遇到了一些看不太明白的二试题，就让它去吧。

Period 5：高二联赛结束——高二结束暑假的前中期

高二的联赛是一个分水岭。如果你的竞赛目标是强省的省队，国赛金牌，集训队甚至更远，下面的推荐适合你。如果你的目标没有这么远，剩下的内容你可以完全忽略，前几个阶段的事情，你大可放慢速度。情况就是这样：我之前的推荐那些书，真正看好，就已经能够达到弱省省队和强省省一等奖的层次。

高二联赛的准备，你的一试、平面几何基本达到了联赛要求，这两块也不会是你高二这一年的准备重点，你的重心需要转移到剩下的三个内容上来，尤其是数论和组合。

先说任务量稍轻的一块吧。关于代数，尽管多项式的内容在近几年的各类大型考试中几乎销声匿迹，但是你也要提防，我的建议是刷完余红兵老师的《奥数教程》高三年级多项式部分即可。关于不等式，如果你想要练，建议是《数学奥林匹克小丛书高中卷5不等式的解题方法和技巧》，由苏勇和熊斌两位老师合著。之前说过的《奥数教程》高二年级的部分主要是针对重要的不等式，这一本书则是针对不等式的技巧方法，全面细致。

以上关于代数部分的建议，你根据自己的情况适当调整，不想刷也没关系，但是以下关于数论和组合的部分是必看的。

数论方面，只需做好一本书，不用再看其他的书，就可以达到冬令营的难度要求，甚至走得更远。这本书就是《数学奥林匹克命题人讲座——初等数论》，由冯志刚编写，上海科技教育出版社出版。这本书知识讲解几乎可以忽略，远没有余老师的书出色，但是这本书涵盖了大量的习题，简直就是数论这一块的黄金题库，题目的质量实在是太高（大多数都是很难的，尤其是第一章难度最高），一道道刷过来，数论的能力会有质的飞越。

组合方面，我推荐三本书，推荐首先阅读第一本：《奥赛经典——奥林匹克数学中的组合问题》，这是组合这一块综合性的大百科全书，除了第一二章可以略看，后五章要认真刷完，题量大，题目质量很高，对于组合能力的提升要很大的帮助。剩下的两本书，你可以根据需要选择其中一本刷。两本书是《数学奥林匹克小丛书高中卷13组合极值》以及《高中数学竞赛专题讲座——组合构造》，都是由冯越峰老师编著。上面收集的问题同样很精彩，尤其是后者，难度很大，有能力可以两本都刷，组合多练一些绝对错不了。

最后一个建议是，如果你平时有机会进行一些模拟考试，推荐这一阶段不要考联赛模拟题，难度要上升，需要尝试去考CMO，美国数学奥林匹克竞赛，有能力甚至可以去试试国家集训队测试、国家队选拔、罗马尼亚大师杯和IMO（在《走向IMO》系列丛书中都有收录）。如果说高二的联赛你是够着去考的话，高三这一年你需要以俯视的姿态回归。有意的拔高难度，才能够做到在联赛的考试中游刃有余。

Period 6：高二结束暑假的后期——高三联赛

这一阶段，是你在一系列拔高练习之后的回归期。这一阶段你要做好两件事。

首先，把你之前刷过的所有书都要过一遍，作为复习。这一个习惯很重要，而且很多人都没有这个习惯。第一遍看书时难免走得坑坑洼洼，有些题压根没看，有些题当时没看懂，现在是时候回过头来料理它们的时候了。你现在可以从一个更高的观点，去审视原来的问题，想想这道题是怎么来的？它的背后蕴藏了什么东西？这类技巧还经常在哪些题中出现？当时我为什么没有做出来……一切有意义、有价值的问题，你都可以去思考，然后把你的感悟记下来，这就是总结，它可以帮助你完善知识网络，加深印象，更重要的是它能够帮助你形成解题的经验。另外一个好处就是，当你发现当年把你虐得死去活来的问题不过就那么回事的时候，心情真是倍儿爽。

其次，高二暑假出来的那一本《中等数学》的增刊你需要完成，这一点无需我多说，你已经明白。

Period 7：高三联赛结束——中国数学奥林匹克竞赛（又称国赛、冬令营、CMO）

如果你考进了省代表队，并且有资格参加国赛，那你的数学竞赛之路还能继续往前走。联赛结束到国赛开始，还有一段时间，在这个阶段，你需要刷的是三本书。其中两本是《数学竞赛研究教程》的上下册，还有一本就是《奥数教程学习手册》高三年级，在解答部分结束之后有两个专题：组合问题和数论问题，上面收集的题目和所做的注解非常棒。

除了书之外，你还需要拔高难度去练习一些国家集训队测试、国家队选拔、美赛、罗马尼亚大师杯、IMO等试题，在《走向IMO》系列丛书中都有收录。

如果你在国赛当中取得了不错的成绩，升学问题就不用担心了，我分享的经验也就到此结束。最后我想总结几点，作为提醒送给你：

竞赛书在精不在多。这是我一路走来的一大感悟，我用我亲身经历和我看见的实例告诉你，很多时候一本书就足够练好一大块内容，一本书刷好了就可以有惊艳的表现。水平上不来，不是因为你书刷得不够，而是你刷得不好。

竞赛书不能光看，一定要自己动笔练习。很多人习惯非常不好，只看不做，很多问题的解答非常精彩，你直接去阅读和你先动笔试试再去看，收获的东西是不在一个数量级上的。

看书的时候要养成动笔记录想法、观点的习惯。我见过身边很多人看完的书干净得像没看过一样，做出来了的打个勾，没做出来的画个圈，仅此而已。这是很糟糕的习惯。刷题时一定要记录一切有价值，有意义的东西，可以是不同于解答的新解法，可以是你的思考和感悟，也可以是你的困惑，总之一切你认为的闪光点，都值得记录。

切忌走马观花，但也不能在一个角落过分纠结。这是两种极端，有些人看书飘得很高，这样的人其实什么都学不到，最后注定死得很惨。但也有些人看书过分追求完美，总觉得我要无死角扫平这本书，但这是不可能的，有些难题和偏题，适当跳过也是必须的。

要有书看多遍的习惯，这个之前也提过。一本书看第二遍的时候，整个人的感觉都会不一样，觉得自己就像处在另外一个境界，很多问题一下就豁然开朗，这样的体验非常奇妙，而且能够给你带来实质性的帮助——经验式解题的形成，对于稳定联赛成绩，避免极端情况的发生，它具有关键性的作用。

数学竞赛是什么(二)
数学竞赛试卷

黔西县金碧小学教师竞赛数学理论考试参考试卷

教师所在学校： 教师姓名： 一、填空题。（每空1分，共20分）

1.一个数由八个千万、五个万、六个百和九个十组成，这个数写作（ ），读作（ ），改写成用万作单位的数是（ ）万。

2.一个数由3个10，4个1，3个0.01和4个0.001组成，这个数是（ ）。 3.已知甲数和乙数互为倒数，如果甲数乘以6，乙数必须乘以（ ），才能使这两个数仍然互为倒数。

4.一根铁丝长10米，第一次剪去它的35第二次剪去它的米，还剩下（ ）。 5.一本书有140页，小强第天次看了它的7

，第二天应从（ ）页看起。 6.一个三位小数，保留到百分位所得的近似数是8.40，这个三位小数最大是（ ）， 最小是（ ）。

7.一个数扩大100倍后，再缩小1000倍是0.0102，这个数是（ ）。 8.有一摞书，平均分给4人、5人、6人都剩下3本，这摞书最少有（ ）本。 9.等底等高的圆锥体积和圆柱体积比的比值是（ ）。

10.甲、乙两人生产同一种零件，甲生产5小时所做的零件，乙要生产5.5小时才能完成，甲与乙的工作效率的最简整数比是（ ）。

11.某食品厂用一批面粉生产糕点，生产5天后，剩下的面粉与用去面粉的比是1∶8。这时再增加2吨面粉，才能正好够一天的生产用量，原来这批面粉共有 （ ）吨。

12.1999年10月1日是中华人民共和国成立（ ）周年。1999年6月14日离澳门回归祖国还有（ ）天。

14.2.55小时=（ ）小时（ ）分=（ ）分=（ ）小时（分数）。 二、单项选择题。（每题2分，共20分）

1.数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间（ ）的过程。 A交往互动 B共同发展 C交往互动与共同发展

2.教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，学会（ ）。 A教教材 B用教材教 C自己创造教材 3.新课程的核心理念是（ ）

A联系生活学数学 B培养学习数学的兴趣 C一切为了每一位学生的发展 4.根据《数学课程标准》的理念，解决问题的教学要贯穿于数学课程的全部内容中，不再单独出现（ ）的教学。

A概念 B计算 C应用题

5.“三维目标”是指知识与技能、（ ）、情感态度与价值观。 A数学思考 B过程与方法 C解决问题

6.《数学课程标准》中使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的（ ）的动词。

A过程性目标 B知识技能目标 C情感态度、价值观目标

7.建立成长记录是学生开展（ ）的一个重要方式，它能够反映出学生发展与进步的历程。

A自我评价 B相互评价 C多样评价

8.学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和（ ）的过程。 A单一 B富有个性 C被动 9.“用数学”的含义是（ ）。

A用数学学习 B用所学数学知识解决问题 C了解生活数学 10.教师由“教书匠”转变为“教育家”的主要条件是（ ）。 A坚持学习课程理论和教学理论 C经常撰写教育教学论文

C以研究者的眼光审视和分析教学理论与教学实践中的各种问题，对自身的行为进行反思

三、计算题。（25分）

1.解方程。(每题5分，共10分) （1）7

χ=1116 （2）χ×（3278

4+3）=24

2.列式计算。(每题5分，共15分) （1）一个数的35

是30，这个数是多少？

（2）比一个数多12%的数是112，这个数是多少？

（2）爸爸今年40岁，儿子的年龄比爸爸年龄的1

4

多4岁，儿子今年多少岁？

四、应用题。（35分）

1.一个圆，被两条互相垂直的直径平均分成四部分。甲、乙两只小虫，沿圆爬一周分别需要6分钟和8分钟，现在甲从A点，乙从B点同时出发，相向而行，几分钟相遇？（7分）

2. 有甲、乙两人同时出发骑车旅行，甲每小时行10.5千米，乙每小时行7.5千米，甲停止后乙又骑了40分钟，结果比甲多行3千米，求乙一共行了多少千米？（8分）

3.一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提早1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提早40分钟到达。甲、乙两地相距多少千米？（10分）

4.一个水池,甲、乙两管同时开，5小时注满；乙、丙两管同时开，4小时注满；如果乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时开2小时才能注满（这时乙管关闭）。乙管单独注水需要多少小时能注满水池? （10分）

数学竞赛是什么(三)
大学生数学竞赛简介

2009年，中国大学生数学竞赛（通称为“全国大学生数学竞赛”）开始举办。作为一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛，全国大学生数学竞赛为青年学子提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台，为发现和选拔优秀数学人才并进一步促进高等学校数学课程建设的改革和发展积累了调研素材。 第一届

2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。

第二届

2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。 这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。

竞赛组委会 主任：

林群院士(中国科学院数学与系统科学研究院)

副主任：

李伟固教授(北京大学数学学院)

高宗升教授(北京航空航天大学数学与系统科学学院)

吴建平教授(首都师范大学数学学院)

委员(以汉语拼音为序)：

崔玉泉教授(山东大学数学学院)

冯良贵教授(国防科技大学理学院) 楼红卫教授(复旦大学数学学院) 刘伟安教授(武汉大学数学与统计学院) 薛小平教授(哈尔滨工业大学数学系) 徐 伟教授(西北工业大学理学院) 吴 敏教授(华南理工大学理学院) 杨 虎教授(重庆大学理学院)

周泽华教授(天津大学数学系)

竞赛用书

该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。

竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲

(2009年首届全国大学生数学竞赛)

为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象

“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容

“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：

Ⅰ、数学分析部分

一、集合与函数

1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.

2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.

3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.

二、极限与连续

1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.

2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.

3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶

的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.

4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.

三、一元函数微分学

1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.

2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).

3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.

四、多元函数微分学

1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.【数学竞赛是什么】

2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.

3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.

4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.

五、一元函数积分学

1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.

2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.

3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.

4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.

5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.

六、多元函数积分学

1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.

2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.

3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.

4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.

5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.

6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.

7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.

七、无穷级数

1. 数项级数

级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.

2. 函数项级数

函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.

3.幂级数

幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.

4.Fourier级数

三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.

Ⅱ、高等代数部分

一、 多项式

1. 数域与一元多项式的概念

2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法

3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.

4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.

5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.

6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.

7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.

二、 行列式

1. n级行列式的定义.

2. n级行列式的性质.

3. 行列式的计算.

4. 行列式按一行（列）展开.

5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.

6. 克拉默(Cramer)法则.

三、 线性方程组

1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.

2. n维向量的运算与向量组.

3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.

4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.

5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.

6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.

7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数

四、 矩阵

1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.

2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.

3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.

4. 分块矩阵及其运算与性质.

5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.

6. 分块初等矩阵、分块初等变换.

五、 双线性函数与二次型

1. 双线性函数、对偶空间

2. 二次型及其矩阵表示.

3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.

4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.

5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵 六、 线性空间 1. 线性空间的定义与简单性质. 2. 维数，基与坐标. 3. 基变换与坐标变换. 4. 线性子空间. 5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和. 七、 线性变换

数学竞赛是什么(四)
高中数学竞赛资料收集

目 录

书目34及时间安排 ........................................................................................................................ 1

1．必读书目............................................................................................................................. 1

2．时间安排............................................................................................................................. 2

柳智宇 我在数学竞赛学习中的一些经验 ..................................................................................... 3

杨默涵 数学竞赛经验 .................................................................................................................... 7

数学教师暑假阅读参考书目......................................................................................................... 10

教练感言 ........................................................................................................................................ 13

熊斌教授................................................................................................................................. 13

选手历程 ........................................................................................................................................ 16

何斯迈 第33 届IMO金牌.................................................................................................... 16

罗 炜 第32/33 届IMO金牌 ............................................................................................. 16

王 烜 第44届IMO金牌..................................................................................................... 16

方家聪 第44届IMO金牌..................................................................................................... 16

张 敏 第51届IMO金牌..................................................................................................... 18

肖伊康 第51届IMO金牌..................................................................................................... 19

赖 力 第51届IMO金牌..................................................................................................... 19

I

书目34及时间安排

1．必读书目

开始阶段（专题）：20

*《几何变换与几何证题》（萧政纲）

《近代欧氏几何学》（R.A.Johnson）单墫译 通俗数学名著译丛

《平面几何中的小花》（单墫）

*《组合几何》（单墫）

*《几何不等式》（单墫的同名著作，早先的一本是八十年代上海教育出版社所出的，在九十年代初他又译了荷兰几何学家O.Bottema的一本书，这是一本字典式的书，是专门收集几何不等式方面的内容，其中证明的内容并不多；美国新数学丛书，几何不等式，N.D.卡扎里诺夫）

*《柯西不等式与排序不等式》（南山）

*《函数方程》

*《怎样证明三角恒等式》朱尧辰

*《抽屉原则与涂色问题》（周士潘等）

*《覆盖》（单墫）

*《集合及其子集》（单墫）

《趣味的图论问题》（单墫）

*《数学竞赛中的图论方法》

*《初等数论》（三册）陈景润

《数论妙趣》（通俗数学名著译丛）

*《基础数论典型题解300例》（王元等）

*《计数》

*《组合数学理论与题解》

《组合计数方法及其应用》【数学竞赛是什么】

《组合分析的原理 方法 技巧》

复习阶段（综合，针对思想方法）：6

*《从特殊性看问题》（苏淳）

《组合恒等式》（史济怀）

《解析几何的技巧》（单墫）

*《算两次》（单墫）

*《构造法解题》（余红兵 严镇军）

*《漫话数学归纳法》（苏淳）

上面那些书（基本都是数学家写的）应该要学完（特别是打*的）。虽然有点多，但这些书实在太好了，把很多问题都讲得很透彻。

然后，该看些竞赛书了，当然，这个时候看起来会很轻松的。1

1

《第一届数学奥林匹克国家集训队资料》是一本很好的资料。

再推荐一些非常有用的课外读物：7

《通俗数学名著译丛 数学游戏与欣赏》（鲍尔）

《通俗数学名著译丛 数学娱乐问题》（J·A·H·亨特 J·S·玛达其） 《通俗数学名著译丛 圆锥曲线的几何性质》（科克肖特 沃尔特斯） 《圆与球》（W·伯拉须凯）

《棋盘上的组合数学》（冯跃峰）

《几何》（笛卡尔）

《几何的有名定理》（矢野健太郎）

对于竞赛教练，我认为以上所有的书都应该熟读，这样一个直接的好处就是了解题目的背景。当然，数学水平也会上升一个档次。

2．时间安排

要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础很重要，1试占了150分，不可小视。 然后就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略了。这时候，对老师就要求很高了。老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。

对于参加竞赛的，也提出了极高的要求，要在短时间内学完这么多书。如果时间安排得好的话，看完了这些书（或者已经基本看完了），联赛也马上就开始了，这时是高二开学后1个月左右（有些省设了初赛，可能还要早些）。即使考得不理想，我想拿个二等问题不大，不必灰心，更不必太悲观，因为还有高三一次机会，还有足足一年的时间精心准备，等到一年之后，收获之时到矣。

2

柳智宇 我在数学竞赛学习中的一些经验

第一,只是个人想法,还很不成熟.

第二,某些说法也许不好理解,但所谓学习方法本来就是只能大致说说的.我希望对数学有自己的思考的同学看了这些文字之后能受到一些启发.

数学竞赛经验谈

柳智宇(华中师大一附中，第47届国际数学奥赛金牌)

一、 几何

1. 平面几何

①基本欧氏几何知识结构

基本的辅助线，点，圆，相似形的应用

推荐：《奥数教程-初三》各地中考题及模拟题

②对几何结构的把握，对称性，各种近代欧氏几何框架，几何变换。 推荐：《近代欧氏几何学》，建议使用软件几何画板并参与与之相关的网上讨论。缺少一本习题集，可使用《几何变换》及叶中豪的习题。《数学竞赛中的平面几何问题》(一本俄罗斯的书,此书组合几何部分也很好)中几何变换及反演射影几何。

【《中学数学奥林匹克平面几何问题及其解答》(俄)波拉索洛夫着_周春荔等译；2009年《俄罗斯平面几何问题集》第6版】

2. 解析几何

①基本知识：已知与未知的互化，元的设置，设计计算路线。

②每一步计算的几何意义，计算中的对称性，代数结构。

以下基本观点：

几何中关系到达一定的复杂度后，代数的使用是自然而且必须的。不应一味地强调使用解析法盲目运算（解析法能解决问题，但不能很好地揭示问题的内部结构），也不应一味地强调使用纯平几。这两者都易忽略问题的实质，一切以自然为上。

我们熟知的几何计算方法大体有：

①欧氏几何公理中直接使用未知量计算

②解析法

③复数法

④向量法

⑤利用定理AC⊥BD AB²＋CD²＝AD²＋BC²

⑥三角法

但实际上每道题都有自己的结构，也有一套独特的最简洁的代数表示，它是一题一法。以上六种方法的使用也是因题而异，使用的过程中有诸多技巧，绝不可盲目计算。

推荐：《解析几何的方法与技巧》《圆锥曲线的几何性质》《三角与几何》

【解析几何的技巧，单墫，数学奥林匹克辅导丛书；《数学奥林匹克小丛书 高中卷 三角与几何》田廷彦；:（苏）别列尔基娜（А.Н.Перепелкина），《几何与三角》；】

3

3. 立体几何

推荐：《数学竞赛研究教程》中立体几何部分

《奥数教程》系列中向量部分。

《几何不等式》

二、 代数

基本观点：元的理解和使用（代数变形），注意对称。

1. 多项式：理解“不定元”

三个基本视角：系数，根，值

推荐：《奥数教程》高三【单墫】

2. 函数方程：注意函数的定义；一种二元关系。

方法：逐层递推，巧妙代元。

0，1，零点，不动点，单射，满射，单调，奇偶„„

推荐：《题典.代数卷》

【《世界数学奥林匹克解题大辞典－代数卷》】

3. 不等式：另见笔记

较易的不等式可以组合成较复杂的不等式。

推荐：《小丛书》两本，《湖南.代数卷》

【《初等数学小丛书系列 几何不等式》单墫；《初等数学小丛书系列 柯西不等式与排序不等式》南山；《奥赛经典.代数卷》湖南师大出版社】

三、 数论

注意整个理论体系，数论的体系性很强，同时基本理论中也包括了最基本的思想方法。任何一道数论题也都有相应的一串问题及明显的背景。但掌握体系必须符合人正常的思维规律。体系是从大量事实中抽象出来的，应先让学习者纯凭直觉做一些数论题，在适当的时候引导他自己发现更基本的规律，或给他点明不必强行追求 “返璞归真”高级的理论自然是有用才会提出，如果它能揭示问题的本质就可大胆使用，而且应该使用。 不定方程是竞赛的重点，注意代数变形在数论中的应用。

推荐：《初等数论》《数论讲义》

【《初等数论》陈景润；《数论讲义》，柯召】

四、 组合

组合无体系，是纯直觉的。

推荐：《华南师大附中习题集》，环球城市竞赛题，俄罗斯赛题，《组合卷》（题典，湖南）

【环球城市数学竞赛(International Mathematics Tournament of the Towns)；莫斯科数学竞赛；《奥赛经典.组合》湖南师大出版社】

 书目评论：

4

数学竞赛是什么(五)
数学竞赛讲义：排列与组合

数学竞赛讲义：排列与组合

【赛点直击】

一、两个基本原理

加法原理 设A为完成一件事情的所有方法的集合，它可以划分为n个互不相交的非空子集A1，A2，„，An，|Ai|=mi(i=1,2,„,n)，那么完成这件事情的总方法数为：

N=|A|=m1+m2+„+mn；使用加法原理的关键在于对所计数的对象进行完全分类．

乘法原理 设A为完成一件事情的所有方法的集合，且完成这件事情需要几个步骤，实现第i(i=1,2,„,n)个步骤的方法的集合为Ai，|Ai|=mi,那么完成这件事情的总方法数为

N=|A|=m1×m2ׄ×mn；使用乘法原理的关键在于对所计数的对象进行完全分步． 二、相异元素的排列与组合

（1）从n个不同元素中，任取m个不同元素的排列数是Am

nn(n1)(nm1)n!(nm)!；

（2）从n个不同元素中，任取m个不同元素的组合数是Cmn!

n(nm)!

；

三、圆排列

定义 从n元集中任取r个不同元素，仅按元素之间的相对位置而不分首尾排成一个圆圈，这种

排列称为n个不同元素的r-圆排列，其排列数记为Hr

n．

r

由定义，不难求得：HrrAr

rrAnn与组合数Cn和排列数n的关系为：HnCn(r1)!r

．

事实上设已将某r个不同元素在圆周上排好，并从某个元素开始将它们依次记为A1,A2,,Ar，

现在保持这个顺序不变，让A1去任意选择圆周上的r个位置之一，有r种不同的选择，这r种选择所对应的排列形式不同实则相同由于r个元素的全排列数为r!，故r个元素的圆排列数为(r1)!，故n

个元素的圆排列数为Cr

n(r1)!．

四、重复排列

定义 从n元集中允许重复地任取r个元素排成一列，称为n个不同元素的r-可重排列．

利用乘法原理易证明，n个不同元素的r-可重排列数为nr

，这类问题一般可直接用乘法原理求解． 五、不全相异元素的全排列

定义 设n个元素可分为k组，每一组中的元素是相同的，不同组间的元素是不同的，其中第i组的元素个数为ni(i1,2,...,k)，n1n2...nkn，则这n个元素的全排列称为不全相异元素的全排列．

n个元素的不全相异元素的全排列个数为

n!

n!

，证明如下：

1!n2!...nk先把每组中的元素看作是不相同的，则n个不同元素的全排列数为n!，然后分别将每个组的元素还其本来面目——每个组的元素是相同的，则在这n!个全排列中，每个排列都重复出现了n1!n2!...nk!次，所以不全相异元素的全排列数为

n!

n!...n．

1!n2k!

六、多组组合

定义 将n个不同的元素分成k组的组合称为n个不同元素的k-组合．

对于一个n个不同元素的k-组合，若第i组有ni个元素，（i1,2,...,k），则不难证明不同的分组方法数为Cn,nn1

2,...,nk



n!

n!...n事实上，我们把分组的过程安排成相继的k个步骤：第一步，从n 个

1!n2k!

不同元素中选nn1个，有Cn1种方法；第二步，从nnn

1个元素中选n2个有Cn2

n1种方法，„„，第k

步，从nnn

1n2...nk1个元素选nk个元素，有Ckn(n1n2...nk1)种方法，再由乘法原理得证．

七、重复组合

定义 从n个不同的元素中任取r个允许重复出现的组合称为n个不同元素的r—可重组合．

不难证明，n个不同元素的r—可重组合的个数为Cr

nr1．

事实上，设（a1,a2,...,ar）是取自{1,2,„,n}中的任一r-可重复组合，并设

a1a2...ar，令biaii1(1ir)，从而b1a1，b2a21，b3a32，

„，brarr1，显然下面两组数是一对一的：

a1a2...ar，1a1a21a32...arr1nr1

设A(a1,a2,...,ar)|ai{1,2,...,n},a1a2...ar，

B

(b1,b2,...,br)|bi{1,2,...,nr1},b1b2...br，则由A、B之间存在一一对应，可

知|A||B|Cr

nr1，得证．

在上述证明中，设r-可重复组合a1,a2,...,ar中含有x1个1，x2个2，„，xn个n，则

x1x2...xnr，且显然有（a1,a2,...,ar）与（x1,x2,...,xn）一一对应，因此我们立即可得：

定理1 不定方程xxr

1x2...nr的非负整数解的个数为Cnr1．

定理2 不定方程x1

1x2...xnr的正整数解的个数为Cnr1．

证明：令yixi1，其中xi1，（x1,x2,..x.n,）是已知方程的正整数解，则

yyrn （*），由定理1知，方程（*）有Crnrnn1

12...ynn(nr)1Cr1Cr1个正整数解．

【赛题解析】

例1．在由n2个小方格组成的正方形中，有多少个由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方

形？

解：由整数个小方格组成的大小位置不同的正方形可分成n类，第k类为k×k的正方形，共有

(nk1)2个(k=1,2,…,n)，于是由加法原理得所求正方形的总个数为

n

N(nk1)2

1

n(n1)(2n1)．k1

6

说明：此题将问题进行分类，直接用加法及乘法原理进行求解，两个原理是解决排列组合问题最

基本的工具．

例2．设整数a,b,c为三角形三边，a+b=n∈N,1≢c≢n-1，求这样的整边三角形的个数 解：不妨设b≣a，有1≢a≢[

n

2

]，这样的整边三角形可分为两类． 第一类：c为最大边，令ai，则bni，n-i≢c≢n-1，这样的三角形有(n1)(ni)1i个； 第二类：c不为最大边，则bc,cab，故ban2icni，故n2i1cni1，这样的三角形有(ni1)(n2i1)1i1．

[n

2]由加法原理，使a+b=n的整边三角形的个数为f(n)

(ii1)n

2

i1

[2]

．

例3．有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？

解：易知，在由10000～99999这90000个五位数中，共有30000个可被3整除，下面先求其中不含数字6的有多少个．

这件事情可分步来完成：在最高位，不能为0和6，因此有8种可能的情况，在千、百、十位上，不能为6，各有9种可能的情况，在个位上，不能为6，且应使整个五位数能被3整除，因此所出现的

数应与前4位数字之和被3除的余数有关：当该余数为2时，个位上可为1，4，7中的一个；当该余

数为1时，个位上可为2，5，8中的一个；当该余数为0时，个位上可为0，3，9中的一个，总之，不论前4位数如何，个位数字都有3种可能情况．所以这类五位数的个数为8×9×9×9×3=17496，因此，含数字6而又可被3整除的五位数的个数为30000-17496=12504种可能．

例4．从1，2，3，4，„„，49中取出六个不同的数字，其中至少有两个是相邻的取法种数是多少？

解：设a1,a2,

,a6是取自1，2，3，4，„„，49中的六个不同的数，不妨设a1a2

a6，显

然a1a21a32a43a54a65，且a1,a21,a32,a43,a54,a65互不相同的充要条件是：a1,a2,

,a6中不含相邻的数．

作六元数组(a1,a2,

,a6)对应于(a1,a21,a32,a43,a54,a65)，则在取自1至49之间的六个

不同且没有相邻的数构成的六元组集合与所有取自1至44之间的六个不同的数构成的六元组集合之间

建立了一一对应，因此这两个集合中六元组的个数都为C6

44，而1至49之间的六个不同的数构成的六

元组的个数为C666

49，于是，其中有相邻数的六元组的个数为C49C44

． 说明：本题通过对应的方法将数相邻的问题转化为元素互异的问题，从而得到求解，对应的方法是解决排列组合问题的一种常用方法．

例5．如图ABCDEF为六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意跳到相邻两个顶点之一． （1）若在5次内跳到D点，则停止跳动；若5次内不能跳到D点，跳完5次也停止跳动．问这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法有几种？ （2）若青蛙共跳12次，最终跳回到A点的不同跳法有几种？ 解：（1）由条件，青蛙的跳法只可能出现两种情况：

① 跳3次到达D点，有2种跳法．

②跳5次停止（前3次不到D点），注意到前3次的23

种跳法中，有2种到达D点，故前3次有23

26种跳法，而后2次有22种跳法，因

此有622

24种跳法．由①、②可知，共有2+24=26种不同的跳法．

（2）设青蛙每逆时针跳一步记为+1，每顺时针跳一步记为-1，共跳12次，将所有这些数相加，若其和为6的倍数，则青蛙跳回A处，若其和不为6的倍数，则青蛙不可能跳回原处，若其和为0，则必为6个+1和6个-1相加，共有C6

3

12种可能；若其和为6，则必为9个+1和3个-1相加，共C12种；若其和为-6，则必为3个+1和9个-1相加，共C3

12种；若其和为12，则有1种可能，若其和为-12

，也

有一种可能，因此满足要求的不同跳法总数为C62C3

12122种． 例6．将一个四棱锥S-ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有

5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？

解法一：由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共A

3

5种染色方法．

当S、A、B已染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染颜色2，则D可染颜色3、4、5之一，有3种染法；若C染颜色4，则D可染颜色3或5，有2种染法；若C染颜色5，则D可染颜色3或4，也有2种染法，由此可见，当S、A、B已染好时，C与D还有7种染法，从而总的染色方法数为7×A

3

5=420

种．

解法二：满足题设条件的染色至少要用三种颜色．

（1）若恰用三种颜色，可先从5种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A、

B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有C121

5C4C260种方法；

（2）若恰用四种颜色染色，可以先从5种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A与B颜色可以交换，故有A

2

4种染法，再从余下的两种颜色中任选一种染

D或C，

而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有C1211

5A4C2C2240种方法； （3）若恰用5种颜色染色，易知有A55120种染法．

综上所知，满足题意的总染色方法数为60+240+120=420种．

类题：（2003年高考江苏第15题）

某城市在中心广场建造一个花囿，花囿分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ______________种（以数字作答）．

解法一：1、2、3两两相邻，颜色应互不相同，故有A3

4种不同种法；

1、2、3种好后，用树图方法不难得到4、5、6共有5种种法，由乘法原理得共有A3

4×5=120种种法． 解法二：先种1，有4种颜色可选取，2、3、4、5、6形成一个圆环，要求用3种颜色涂上，且相邻的颜色不同即可转化为如下问题：将一个圆分成5个扇形，将三种颜色涂入其中，相邻的扇形涂不同的颜色．先涂S1，有三种涂法，再涂S2，有两种涂法，再涂3、4各有两种涂法，再涂5，如果只要求它与4颜色不同，则仍有两种涂法，这样共有3×2×2×2×2=48种涂法，但这48种涂法中有两类：一类5与1颜色不同，这种涂法符合题意，其数设为a5一类5与1颜色相同，这种涂法不合题意，如果把5与1合并看成一个扇形，这类涂法就相当于把圆分成4个扇形，按题设要求，其数为a4，即

a+a，同理，aa3

54=484a3=24，而3A36，∴a5=30，故最后的结果为：30×4=120种．

此问题可一般化为：把一个圆分成n(n2)个扇形，依次记为S1,S2,,Sn,每个扇形都可用红、白、蓝三种不同颜色之任一种涂色，且三种颜色均至少用一次，要求相邻的扇形颜色互不相同，问有

n1略解：同上可得：,anan132n4,5,6,，a36．

若没有条件“颜色均至少用一次”，结果为

1anan132n,n4,5,6,，a26．

n(n2)个扇形，依次记为S1,S2,,Sn,每个扇

形都可用r种不同颜色之任一种涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问有多少种涂色法？ 有anan1r(r1)n1,n4,5,6,

，可得ann(r1)(1)n(r1)

说明：当我们用集合划分的方法对问题进行分类计数时，有时不可能一次性获得成功，这就需要通过建立递推关系来求解，我们把这种计数方法称为递推方法．

例7．设集合A={1,2,3,„,366}，如果A的一个二元子集B={a,b}满足17|a+b，则称B具有性质P． （1） 求A的具有性质P的所有二元子集的个数；

（2） 求A的两两不相交且具有性质P的所有二元子集的个数．

解：（1）a+b≡0(mod17)，即a≡k(mod17)且b≡17-k(mod17)，k=0,1,2,„,16， 将1,2,3,„,366按模17可分为17类[0],[1],„[16]；

因366=17×21+9，故|[1]|=|[2]|=„=|[9]|=22，|[10]|=|[11]|=„=|[16]|=|[0]|=21， 欲17|a+b，当且仅当a,b∈[0]或a∈[k]，b∈[17-k]， 当a,b∈[0]时，具有性质P的二元子集的个数为C2

21个；

当a∈[k]，b∈[17-k]，k=1,2,„,7时，具有性质P的二元子集有7C1

1

22C21个； 当a∈[8]，b∈[9]时，具有性质P的二元子集有C1

1

21C21个；

所以A的具有性质P的二元子集总个数为C2

1

1

1

1

217C22C21C21C213928个． 说明：如果把子集换成数对（a,b），则共有2×3928个． （2）为使二元子集两两不交，可作如下搭配： a,b∈[0]时，共有10个子集；

a∈[k]，b∈[17-k]，k=1,2,„,7，有21个子集； 当a∈[8]，b∈[9]时，有22个子集．

故A的具有性质P的两两不交的二元子集共有10+7×21=179个．

例8．8个女孩和25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有多少种不同的排列方法（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）．

解：以1个女孩和2个男孩为一组，且使女孩恰好站在两个男孩中间，余下的9个男孩和这8个组被看成是17个元素，显然这17个元素任意的圆排列数为A

16

16种再次，分在

8个组内的16个男孩在

16个位置上的排列是A16

9161616，所以总的排列方法数为：C25A16A16． 说明：此题为圆排列问题．

例9．试求从集合A

1,2,...,n到集合B1,2,...,m的映射的个数． 解：由映射的定义知，每一个到B的映射对应着m个不同元素的n-可重排列，故从A到B的映射的个数为mn．

例10．一段楼梯共有12级台阶，某人上楼时，有时一步迈一台阶，有时一步迈两台阶，问此人共有多少种上楼的方法？

解：现将“一步迈两级台阶”这一动作记为a，因为楼梯共有12级台阶，故动作a至多只能做6次；再记“一步迈一级台阶”的动作为b，则上楼的整个过程由k个a及12-2k个b组成，这里k可取0，1，2，3，4，5，6，对于某个k，其全排列数为：

[k(122k]!(12k)!

k!(122k)!k!(122k)!

，因此，上楼的

6

方法共有：

(12k)!

k0

k!(122k)!=233种． 解法2：以k=4为例，即4个两级，4个一级，相当于共8步，其中有四步为两级，即相当于从8

步中选4步跨两级，其余跨一级，故结果应为C4

8；

一般地上楼的整个过程由k个a及12-2k个b组成，相当于共跨k+(12-2k)=12-k步，其中有k步为6

a，故结果为C

k

12k

,这里k可取0,1,2,3,4,5,6，故最终结果为

C

k12k

．

k0

解法3：设走n次台阶的方法总数为an，对每种走法可划分为两类第一类：第一步走1级，有an1种走法；第二类：第一步走2级，有an2种走法，故anan1an2，且a11,a22，故易得

a12233．

因Fibonacci数列{Fn}满足F1F21,F32，故anFn1，由上面的一些方法还可知：

[n

F2

]Ck

nnk1．

k0

若将所跨的每一级台阶，此人均用红、白两种颜色做上记号，则标有不同颜色的路线共有

[n2

]Cini2n2i3n1种，其递推关系式为an2an1an2,a12,a25． i0例11．把n个不同的球，分别装入m个盒子中，使其中m1个盒子中每个都有p1个球，m2个盒子中每个都有p2个球，„，mk个盒子中每个都有pk个球，这里，

mm1m2...mk,np1m1p2m2...pkmk，求下列情况下，各有多少种不同放法：（1）盒

子均不相同；（2）装有相同数目的球的盒子相同．

解：（1）这是一个将n个不同元素分为m组的多组组合，故不同的放法数有

f

n!

(pmmm；

1!)1(p2!)2...(pk!)k

（2）因为相同数目的球的盒子相同（不加区别），故所求放法数为

f

m．

1!m2!...mk!

例12．电视台在n天内共播出r次商业广告，问若每天至少播p次广告（npr），就每天播出广告的次数而言，共有几种播出方法？

解：设第i天播出广告xi次，由题设知：x1x2...xnr，xip(i1,2,...,n)，令

yixip，则y1y2...ynrnp0，故问题转化为求上述不定方程的非负整数解的个数，

从而知广告播放的方法数为Crnp

(rnp)n1．

巩 固 练 习

1．n名同学(n≣3)站成一圈，其中A、B两人不能相邻的站法有多少种？

解：n名同学站成一圈有(n-1)!种站法，其中使A、B相邻的站法有2×(n-2)!种，从而A、B不相邻的站法为(n-1)!-2×(n-2)!=(n-3)(n-2)!种站法．

2．设集合A、B的并集为一个n元集，A≠B．

（1） 若（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的A、B共有多少个？ （2） 若（A，B）与（B，A）视为相同的对，则这样的A、B共有多少个？

解：（1）设集合A中有k个元素，则集合B中必含有A中没有的n-k个元素，再加上A的k个【数学竞赛是什么】

n

元素中取0个、1个、„k个，故共有Ck2k

个，故总数为

kknn

Cn2=3个，除去A与B相同（均为

k0

全集）的1个，共3n-1个；

（2）由题意，（A，B）与（B，A）一一对应，故结果为1n

2

(31)个．

3．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，如图，要求同一块中种同一植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，则有多少种不同的栽种方案．

解：考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种；考虑A、C、E种两种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法；考虑A、C、E种三

种植物，此时共有C3

4×2×2×2=192种方法；故总计有

108+432+192=732种方案．

4．如图，矩形ABCD的边在网格线上，并且AB是AD的k倍（k为正整数），考虑沿网格的边

从A到C所有可能的最短路径．证明：在这些路径中，含AB1的条数是含AD1的条数的k倍．

解：含AB1的最短路径，除AB1外，还应含横向的

m-1节，纵向的n节，因此共有Cn

mn1条，同理，

含AD1

的最短路径有

Cm

mn1

条，而

C

n

mn1C

m



m!n(1m)mn1

n!m(1n)k!

!

，因此命题得证． 5．马路上有编号为1，2，3，„，2005的2005只路灯，为节约用电，现要求把其中的200只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，求满足条件的关灯方法共有多少种？

解：任意一种关灯的方法，都对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是总是转化为1805只亮灯中插入200只暗灯，且任何两只暗灯不相邻，而且不在两端，也就是在1805只亮灯所形成的

1804个间隙中选200个插入暗灯，其方法有C200

1804种．

6．把2005个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i个盒子中至少有i个球

(i1,2,...,10)，问不同放法的总数是多少？

解：先在第i个盒子里放入i个球，这时共放了1+2+„+10=55个球，还余下2005-55=1950个球，故问题转化为把1950个球任意放入10个盒子（允许有的盒子不放球），相当于一个不定方程的非负整数解的个数问题，共有C1950

1019501C1950

9

1959C1959种．

7．n个人(n3)站成一圈，其中某指定的两人A、B肯定不相邻的站法有多少种？ 答案：(n1)!2(n2)!．

8．甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由一号队员比赛，

负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，„„，直到一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数是多少？

解：不妨先设甲方胜出，则问题等价于求方程x1x2...x77的非负整数解的个数，有

C76766771C13种，同理，乙方胜的比赛过程也有C771C13种，故可能出现的比赛过程有2C13种．

9．有男生nm人，女生m人（m,n1），（1）这n2m个人排成一列，女生不相邻，首尾都是男生，有多少种排法？ （2））这n2m个人围成一圈，女生不相邻，有多少种排法？

解：（1）(nm)!Amm

nm1；（2）先作男生圆排列，然后插入，共(nm1)!Anm．

10．方程2x1x2x3...x103的非负整数解共有多少个？ 解：由题意，x10,1，故分情况讨论如下：

若x0，则x3，非负整数解的个数为：C3

12x3...x10931165； 若x1，则x112x3...x101，非负整数解的个数为：C9119．

综上，非负整数解的个数为：165+9=174个．

11．一个盒子里有7个分别标有号码1，2，„，7的球，每次取出一个，记下它的号码后再放回

盒子，共取（放）4次，求4次中最大标号恰是5的取法数？

解：最大标号为5，相当于从1，2，„，5中取，共取（放）4次，共有54

种取法；从中剔除四

次中最大标号均不是5的种数，结果为54

44

=369．

12．已知集合Az|z2n1z,zC,nN,n2

，在复平面上，以A中的复数的对应点为顶点可构成多少个直角三角形？

解：易求得A

0,1,,2,

2n1

，其中e

i

n

（n≣2）设各复数在复平面上对应点依次为O、

A0、A1、A2、„、A2n-1，则A0A1A2„A2n-1为正2n边形，易知在OAiAj中以Ai,

Aj为顶点的内角均为

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