导读: 能得到直角三角形吗,,判定(共4篇)...
能得到直角三角形吗,,判定(一)
能得到直角三角形吗 练习题
能得到直角三角形吗 练习题
1. 在△ABC中,a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,其中m,n是正整数,且m>n,试判断△ABC是不是直角三角形。
2.试判断下面各组数是不是勾股数。
111 (1)3,4,7 (2)5,12,13 (3),, (4)3,-4, 5 345
3. 下列几组数中,为勾股数的一组是()
A、1.4,4.8,5 B、-15,36,39 C、21,45,51 D、8,15,17
4.一农民建房时所挖的地基,按建房标准四边形ABCD应为长方形,已知AB=CD=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你帮助计算一下所挖的地基是否合格。
5. 已知|x-12|+(y-13)2 +z2-10z+25=0,是判断以x,y,z为三边长的三角形的形状。
6.如下图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,BC=13,CD=12,AD=4,则四边形ABCD的面积是多少?
7.已知三角形的三边长分别是m2-1,2m, m2+1(m为大于1的自然数),试判断这个三角形的形状
18. 已知a=3,且(4-b)2b-c|=0,以a、b、c为边组成的三角形的面积等于()?
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能得到直角三角形吗,,判定(二)
能得到直角三角形吗
第一单元 勾股定理
第一节 能得到直角三角形吗 第二节 蚂蚁怎么走最近 第三节 勾股定理的探索
第二单元第一节 数怎么又不够用了 第二节 平方根 第三节 立方根 第四节 公园有多宽 第五节 实数
实数
第一节 能得到直角三角形吗
【基础知识精讲】
1.掌握勾股定理的逆定理。
2.会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。
【重点难点解析】 1.勾股定理的逆定理
勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。 即:在△ABC中,若abc,则△ABC为Rt△。 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 ①首先求出最大边(如c); ②验证c与ab是否具有相等关系。
若cab,则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。 若cab,则△ABC不是直三角形。
A.重点、难点提示 1.掌握用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形,或两条直线是否相互垂直; 2.能用勾股定理和勾股定理的逆定理解决一些实际问题.
B.考点指要
勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,它不仅可以判定三角形是否为直角三角形,而且可以判定三角形中哪一个角是直角,从而产生了证明两直线互相垂直的新方法:利用勾股定理的逆定理,通过计算来证明,这中间体现了一种代数方法解几何题的思想.
(体现数形结合数学思想)
三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边,(1)若abc,则三角形是直角三角形;(2)若abc,则三角形是锐角三角形;(3)若abc,则三角形是钝角三角形,所以使用勾股定理的逆定理时常需要找出三角形的最大边.
满足abc的三个正整数,称为勾股数.
【难题巧解点拨】
例1:已知△ABC的三边为a、b、c,有下列各组条件,判定△ABC的形状. (1)a=41,b=40,c=9;
(2)amn,bmn,c2mn(mn0). 思路分析
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为判定三角形的形状,可利用勾股定理的逆定理,判断三角形的最大边的平方是否等于另外两边的平方和.
(抓住最大的边)
解:(1)
(完全平方公式的应用)
,而a24121681,
a2b2c2,∴△ABC是直角三角形,并且∠A是直角.
(2)∵m>n>0,mn2mn,mnmn, 而
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a2c2(m2n2)2(2mn)2m42m2n2n44m2n2 (mn)b,
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∴△ABC是直角三角形,并且∠B是直角. 点评:利用勾股定理的逆定理不仅能够判断出三角形的形状,而且还能够知道三角形的哪个角是直角.
例2:如图1-11,有一个棱长为2米的正方体,现有一绳子从A出发,沿正方体表面到达C处,问绳子最短是多少米?
解:将该正方体的右表面翻折至前表面,使得A、C两点共面, 连结AC,此时线段AC的长度即为最短距离.
AC222(22)220,AC25m,即绳长最短为2米.
点评:沿几何体表面最短距离的问题通常都是将几何体表面展开,求展开图中两点之间的最短距离,但一定要注意展开图中点的相应位置.
例3:如图1-12,在四边形ABCD中,∠C是直角,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求证:AD⊥BD.
(可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定) 解:∵在Rt△BCD中,BC=4,CD=3,
∴由勾股定理,BD43,即BD=5,
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在△ABD中,BD=5,AD=12,AB=13,AB2AD2BD2,
∴由勾股定理的逆定理,△ABD是直角三角形,并且∠ADB是直角,∴AD⊥BD. 例4:若△ABC的三边满足条件:abc33810a24b26c,试判断△ABC的形状.
思路分析
若一个方程有多于一个的未知数,如本题有三个未知数,想要分别解出这些量只能依靠条件的恒等变形,挖掘隐含条件来处理.
解:原等式可化为abc33810a24b26c0, 配方,得:(a5)(b12)(c13)0,(配方要准确、熟练) 当且仅当(a5)(b12)(c13)0才能成立,(非负数原理) ∴a=5,b=12,c=13,
最大边为c,而ab169c,
根据勾股定理的逆定理,△ABC是直角三角形,且C为直角. 点评:要学会观察已知条件的特征,从而寻找解决问题的突破点.
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2【能得到直角三角形吗,,判定】
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例5:已知,如图1-13,D是△ABC边BC上一点,且ACCDAD,求证:
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AB2AC2BD2CD2.
思路分析
从边的平方关系就会联想到直角三角形,这是勾股定理逆定理的基本思路. 证明:在△ADC中,
,
AC2CD2AD2,
(注意已知形式的提示)
由勾股定理的逆定理可知:∠ADC=90°, ∴AD⊥BC于D,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,由勾股定理:
AB2AD2BD2,AC2AD2CD2,
两式相减,得:ABACBDCD.
2222
例6:如图1-14,南北向MN为我国的领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时50分,我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C两艇的距离是13海里,A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?
解:设MN与AC相交于E,则∠BEC=90°,
又ABBC51213AC, ∴△ABC为直角三角形,∠ABC=90°, ∵MN⊥CE,
∴走私艇进入我领海的最近距离是CE,【能得到直角三角形吗,,判定】
(认真审题是解决本题的关键)
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两式相减得:CE
144
, 13
144144
130.85(小时)0.85小时51分钟, 13169
9时50分+51分=10小时41分. (将实际问题转化为数学模型)
答:走私艇C最早在10时41分进入我国领海.
【中考名题点评】
例1 证明边长为3(2m+3),2m6m,2m6m9(m是正整数)的三角形是直角三角形。
证明:∵2m6m9>2m6m,
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2m26m9>3(2m+3),
∴2m6m9是最长的一条边。
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∵(2m6m9)=(2m6m)9
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能得到直角三角形吗,,判定(三)
直角三角形的判定
第3课时 能得到直角三角形(判定)
【学习目标】1.掌握勾股定理的逆定理,并会用它判断一个三角形是不是直角三角形.
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.
【学习重点】判别三角形是直角三角形
【学习过程】
一.学习准备:1、直角三角形中有 个角为直角,其中两个锐角是互为 ,两条直角边的 等于斜边的 。
二.引导新知
1.画以线段a,b, c. 为边的三角形
⑴ a=3,b=4 c=5 ⑵ a=5,b=12 c=13【能得到直角三角形吗,,判定】
2.这三组数满足abc吗?
3.分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?
猜想命题2:如果三角形的三边长a、b、c,满足abc,那么这个三角形是 三角形
勾股定理逆定理:
证明勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2,那么这个三角形
是直角三角形.
已知:在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且a2b2c2
求证:∠C=90°
思路:构造法——构造一个直角三角形,使它与原三角形全等,
利用对应角相等来证明. 证明:
三、课堂练习
1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形:
(1)a15,b8,c17; (2)a13,b14,c15.
cbB'222222b
2、满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )
A、∠A=∠B-∠C B、∠A:∠B:∠C=1:1:2 C、a:b:c=1:1:2 D、b=a-c
3、△ABC中,如果AC+BC=AB,那么 =90
挖掘教材:
例1 :一个零件的形状如图,按规定这个零件中∠A 与∠BDC都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD = 4,AB = 3, DC = 12 , BC=13,这个零件符合要求吗? 222○ 222
C 13 C
12 4 5
3 A
B A B
即时练习
⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长?说说你的理由.
⑴9,12,15; ⑵15,36,39; ⑶12,35,36; ⑷12,18,22.
⒉已知∆ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角. 例2 :如图2,在正方形ABCD中,E为AB中点,F为AD上一点,且AF1AD,4
试判断△EFC的形状,并说明理由
○即时练习 如图(3)AD=24、BC=20、CD=15,AD=7、∠C=90, D
求∠A
【达标检测】
1、 △ABC中,AC=24、AB=10、BC=26,判别△ABC的形状。
2、如图(4)AD=7、AB=25、BC=10、DC=26、DB=24,求四边形ABCD的面积。
别为 。
能得到直角三角形吗,,判定(四)
直角三角形判定
大连学大教育培训学校 2015年9月18
日初中数学组卷
一、单选题 (每题x分,共6题)
1. 下面关于直角三角形的全等的判定,不正确的是( ). A.有一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等 B.有两边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两角对应相等,且有一条公共边的两个直角三角形全等 D.有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等
答案:C .
解析:试题分析:根据全等三角形的判定定理:AAS、SAS、ASA、SSS;直角三角形的判定定理HL对各选项逐个分析,然后即可得出答案:
A.由ASA或AAS可判定有一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等; B.由SAS或HL可判定有两边对应相等的两个直角三角形全等;
C.因为公共边不一定是对应边,所以有两角对应相等,且有一条公共边的两个直角三角形不一定全等;
D.由AAS或AAS可判定有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. 故选C.
考点:直角三角形全等的判定. 2. 使两个直角三角形全等的条件是 A.两条边对应相等 C.两锐角对应相等
B.一条边对应相等 D.一锐角对应相等
答案:A
3. 如图,在△ABC和△DEC中,∠BCE=∠ACD,BC=EC请你,添加一个条件,使得△ABC和△DEC全等。并加以证明。你添加的条件
是
答案:CD=CA,证明见解析.
解析:试题分析:添加的条件:CD=CA,然后根据条件∠BCE=∠ACD,可得∠ECD=∠ACB,再加条件CD=AC,CB=CE可证明△ABC≌△DEC. 试题解析:添加的条件:CD=CA, 理由:∵∠BCE=∠ACD,
∴∠BCE+∠BCD=∠ACD+∠BCD, 即∠ECD=∠ACB,
在△ABC和△DEC中
,
∴△ABC≌△DEC (SAS), 考点:全等三角形的判定.
4. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A.斜边相等 C.两锐角对应相等
B.一锐角对应相等 D.两直角边对应相等
答案:D.
解析:试题分析:A选项,无法证明两条直角边对应相等,因此A错误.
B、C选项,在全等三角形的判定过程中,必须有边的参与,因此B、C选项错误. D选项的根据是全等三角形判定中的SAS判定. 故选D.
考点: 直角三角形全等的判定
5. 如左下图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果
AC=3cm,那么AE+DE等于
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
答案:B
解析:试题分析:根据角平分线的性质可得CE=DE,即可求得结果. ∵BE平分∠ABC,∠ACB=90°,DE⊥AB ∴CE=DE
∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm 故选B.
考点:角平分线的性质
点评:本题是角平分线的性质的基础应用题,在中考中比较常见,常以填空题、选择题形式出现,属于基础题,难度一般
6. 如图,∠B=∠D=90°,CB=CD,∠1=40°,则∠2=( )。 A.40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
答案:C
解析:先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值. ∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}BC=CD\\AC=AC\end{array}\right.$ ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°。故选C 二、解答题 (每题x分,共5题)
7. 有两张完全重合的矩形纸片,小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图),连结BD、MF,若此时他测得BD=8cm,∠ADB=30°. (1)试探究线段BD与线段MF的关系,并简要说明理由;
(2)小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去,与小亮同学继续探究.他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1, AD1交FM于点K(如图),设旋转角为(0°<<90°),当△AFK为等腰三角形时,请直接写出旋转角
的度数;
(3)若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M(如图),F2M2与AD交于点P,A2M2
2与BD交于点N,当NP∥AB时,求平移的距离是多少?
答案:(1)BD=MF,BD⊥MF.理由见解析; (2)β的度数为60°或15°; (3)平移的距离是(6﹣2
)cm.
解析:试题分析:(1)有两张完全重合的矩形纸片,小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图1),得BD=MF,△BAD≌△MAF,推出BD=MF,∠ADB=∠AFM=30°,进而可得∠DNM的大小. (2)根据旋转的性质得出结论.
(3)求平移的距离是A2A的长度.在矩形PNA2A中,A2A=PN,只要求出PN的长度就行.用△DPN∽△DAB得出:试题解析:(1)BD=MF,BD⊥MF.
,解得A2A的大小.
延长FM交BD于点N,
由题意得:△BAD≌△MAF. ∴BD=MF,∠ADB=∠AFM. 又∵∠DMN=∠AMF,
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°, ∴∠DNM=90°, ∴BD⊥MF;
(2)当AK=FK时,∠KAF=∠F=30°,
则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°, 即β=60°;
②当AF=FK时,∠FAK=∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°, 即β=15°;
∴β的度数为60°或15°;
(3)由题意得矩形PNA2A.设A2A=x,则PN=x, 在Rt△A2M2F2中,∵F2M2=FM=8, ∴A2M2=4,A2F2=4
,∴AF2=4
﹣x. =75°,
∵∠PAF2=90°,∠PF2A=30°,
∴AP=AF2•tan30°=4﹣
x.
∴PD=AD﹣AP=4∵NP∥AB, ∴∠DNP=∠B. ∵∠D=∠D,
∴△DPN∽△DAB. ∴
.
﹣4+x.
∴,
解得x=6﹣2即A2A=6﹣2
. .
)cm.
答:平移的距离是(6﹣2
考点:1.相似三角形的判定与性质2.直角三角形全等的判定3.平移的性质4.旋转的性质.
8. 已知:如图,∠A=∠D=90°,AC=BD.求证:OB=OC.
答案:答案解试题分析.
解析:试题分析:∵∠A=∠D=90°,AC=BD,BC=BC,
∴Rt△BAC≌Rt△CDB.∴∠ACB=∠DBC,∴∠OCB=∠OBC,∴OB=OC(等角对等边).
考点:1.直角三角形全等的判定;2.等腰三角形的判定.
9. 已知:BE⊥CD,BE=DE,BC=DA,求证:(1)△BEC≌△DAE(2)
DF⊥BC
答案:证明见解析
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