七年级湘教版数学内容

导读：　七年级湘教版数学内容(共5篇)...

本文是中国招生考试网（www.chinazhaokao.com）成考报名频道为大家整理的《七年级湘教版数学内容》，供大家学习参考。

七年级湘教版数学内容(一)
湘教版七年级数学上册知识点

七年级上册 第一章 有理数

1、 具有相反意义的量：零上与零下；存入与支出；运进与运出。（用正负号表示）

2、 有理数大小比较方法：正数都大于零；负数都小于零；正数大于一切负数；

两个负数，绝对值大的反而小（负得越多，反而越小）。数轴上的点，右边的总比左边的大。

3、 零既不是正数也不是负数。分数可以写成有限小数或无限循环小数。

4、 正整数、零和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数的分数统称为有理数。

5、 任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点一表示。数轴上的点不一定是有理数。

6、 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。

7、 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0。

8、

9、 绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离。叫做这个数的绝对值。

10、一个正数的绝对值等于它的本身； 一个负数的绝对值等于它的相反数；

0的绝对值等于0； 互为相数的两个数的绝对值相等。

11、有理数的加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的

加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0 ；一个数与0 相加，仍得这个数。

12、如果两个数的和等于0 ，那么这两个数互为相反数。

13、加法交换律： a + b = b + a 加法结合律：(a + b ) + c = a + ( b+ c ) 分配律：a (b +c ) = ab+ac

14、有理数的减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

15、代数和书写要注意：式子的第一个数前的“+”号可省略；式子中有连续两个符号在一起，后面一个符号及数要添括

号；连续两个符号中有“+”号，可省略一个“+”；代数和中任何一个数前可添括号和“+”号。

1同号两数相乘得正，并把绝对值相乘；异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；○2任何数与0相乘都16、有理数的乘法：○

3几个不等于0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；○4几个数相乘，有得0；○

一个因数为0时，积为0。

17、有理数的除法：同号两数相除得正，异号两数相除得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0；除

以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。

18、倒数：乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒数；倒数等于本身的数是±1。

1先定符号，再把绝对值乘除（奇负得负，偶负得正）2把小数化分数，带分数化假分数；○3同19、乘除运算要注意：○。○

4除法化乘法，然后才约分。 级运算，从左到右（可用运算律）；○

1幂 a n 中，n叫指数，a叫底数。○2负数、分数的乘方要注意是否管得住负号。 20、有理数的乘方：○

3积的乘方公式 （a ·b） = a ·b ○4 ( ○nn nb

a) = nbn 50的正整数次幂是0 n ○a

1把一个绝对值大的数记作± a × 10 n 的形式。○2 1≤a＜10；○3n是用原整数位减1的数。 21、科学记数法：○

1先乘方再乘除，最后算加减；如果有括号，就先求括号里面的。○2简便运算方法：互为相反22数相加得0；倒数相乘得1；同分母分数相加；得较整的数相加（或相乘）；适当用分配律。

第二章 代数式

1用运算符号把数和字母连接而成和式子叫代数式；○2单独的一个数或字母也是代数式；○3含有等号或不等1、代数式：○

号的式子，不是代数式。

1有字母相乘时常省略乘号；○2数字相乘时仍用乘号；○3数与字母相乘时，数字写左边；○4字母与字母2、代数式书写：○

5字母前的分数要化为假分数；○6后面接单位的式子，要用括号；○7除法要写成分相乘时，按26个英文字母的顺序写；○

数形式。

3（单项式中所有字母的指数的和,

1 单独的一个数或字母也是单项式；○2单项式不含加减运算；○3不含等号或不等号。○4分母不含字母。 注:○

4

1必须有加减运算；○2不含等号或不等号；○3分母不含字母。 ○4多项式里次数最高的项的次数，叫多项式的次数 注：○

5、整式：单项式和多项式统称为整式。

1含有字母相同，○2相同字母的指数也分别相同，这样的两个单项式称为同类项。 6、同类项：○

1系数相加，○2字母和字母的指数不变。 7、合并同类项：把同类项的○

8、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果叫代数式的值。

1括号前面是“+”号，去（添）括号不变符号；○2括号前面是“－”号，去（添）括号要变符号；9、去（添）括号法则：○

3括号前面是数字，乘法分配律要用好。 ○

第三章、一元一次方程

1、方程：含有未知数的等式叫方程。

2、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次的方程叫一元一次方程。

3、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

4、解方程：求方程的解的过程，叫解方程。

5、等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或同一个式），所得结果仍是等式。

6、性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（或同一个不为0的式），所得结果仍是等式。

7、移项：把方程的某一项改变符号后，从方程一边移到另一边，叫移项。移项要变号。

8、解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1

9、列一元一次方程解应用题的一般步骤：

1看清题意，○2设未知数，○3找等量关系，○4列方程，○5解方程，○6检验解的合理性，作答。 ○

第三章、图形的认识

长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形。此外棱柱、棱锥也是常见的立体图形。

长方形、正方形、三角形、圆等都是平面图形。

许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们适当地剪开，就可以展开成平面图形

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

两点确定一条直线。

点C线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。类似的还有线段的三等分点、四等分点等。 直线桑一点和它一旁的部分叫做射线。

两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。

3.4角的比较与运算

3.4.1角的比较

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。类似的，还有叫的三等分线。

3.4.2余角和补角

如果两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角。

如果两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角。

等角的补角相等。

等角的余角相等。

七年级湘教版数学内容(二)
新湘教版七年级数学上知识点总结_

新湘教版七年级数学上册知识点总结

第一章：有理数总复习

一、有理数的基本概念

2

1.正数：大于0的数叫做正数；例如：3， 3 ，0.32

负数：小于0的数叫做负数。例如：2,0.04,1

5

备注：在正数前面加“-”的数是负数；“0”既不是正数，也不是负数。（我们把正数和0统称为非负数）

2.有理数：整数和分数统称有理数。（有理数是指有限小数和无限循环小数。切记：不是有理数）

3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

性质：（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

（2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；

（3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。

4.相反数：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。例如：5与－5 。

（x1)的相反数是(x1) 性质：（1）数a的相反数是-a（a是任意一个有理数） 。例如：

（2）0的相反数是0；

（3）若a、b互为相反数，则a+b=0；

5.倒数 ：乘积是1的两个数互为倒数 。

性质：（1）a的倒数是（a≠0）； （2）0没有倒数 ；

（3）若a与b互为倒数，则ab=1；

6、倒数与相反数的区别和联系：

（1）a与-a互为相反数； a与1（a≠ 0）互为倒数； a

（2）符号上：互为相反数（除0外）的两数的符号相反；互为倒数的两数符号相同；

（3）a、b互为相反数，则 a+b=0；a、b互为倒数则 ab=1；

（4）相反数是本身的数是0，倒数是本身的数是±1 。

7.绝对值：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。

性质：（1）数a的绝对值记作︱a︱。例如：12的绝对值表示为12

（2）若a＞0，则︱a︱= a；即正数的绝对值是它本身。

若a＜0，则︱a︱= -a；负数的绝对值是它的相反数；

若a =0，则︱a︱=0；0的绝对值是0.

（3） 对任何有理数a,总有︱a︱≥0.

8.有理数大小的比较:

（1）可通过数轴比较：在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；

（2）两个负数，绝对值大的反而小。55;99,因为59,所以－59

n 9.科学记数法：把一个绝对值大于10的数记成a³10的形式，其中a是整数数位只有一位

的数，这种记数法叫做科学记数法。其中1≤|a|＜10，n为正整数， n等于原数的整数位

3.210 数减去1。例如：32000000

二、有理数的运算

1、运算法则：

（1）有理数加法法则：① 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；② 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0； ③ 一个数同0相加,仍得这个数。（即：任意两个数相加，符号看大数字的。符号相同，数字相加；符号不同，数字相减。）

（2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。

（3）有理数的乘法法则：两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。规律：① 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。② 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。

（4）有理数除法法则：①除以一个数等于乘上这个数的倒数；即aba71 (b≠0)； b

② 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数,都得0。

（5）有理数的乘方

①求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。

即a²a²a² ²²² ²a= a

（注意：aa;a1(a0)

10n

2、运算顺序：

先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先进行括号里面的运算。

3、有理数的运算律：

（1)加法交换律：a+b=b+a ；（2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；（3)乘法交换律：ab=ba ；

（4)乘法结合律：(ab)c=a(bc)；（5)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 。

第二章：代数式总复习

一、用字母表示数的书写要求:

1、在含有字母的式子里出现的乘号，通常写作“²”或省略不写，如：a³b写成a²b或ab； 2、字母和数字相乘，数字应写在字母左边，如“4x”. 当字母前的数字为1或-1时，将“1”省略不写； 3、带分数与字母相乘, 把带分数写成假分数； 4、在式子中出现除法运算时，一般按分数写法来写； 5、若式子中有“+、-”运算，式子后面有单位，则式子要用括号括起来。

二、代数式的概念：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 单独一个字母或者一个数也是代数式。

注意：等式、不等式都不是代数式，但它们的两边都由代数式组成；注意代数式的书写格式以及是否加括号。

三、单项式的概念：像2a、πr、ah这样的代数式，数字与字母只进行了乘法（包含乘方）运算，这样的代数式叫做单项式（monomial）。特别地，单独一个字母或一个数也是单项式。 ★单项式的系数:单项式中与字母相乘的数叫作单项式的系数。

特别注意：“系数”必须包括数字前面的符号,另外，当系数是“1”时，通常省略不写；系数是“-1”时，只写“-”就可以了。

★单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和，叫做这个单项式的次数。

四、多项式的概念：像xy+8x和2x-5xy+3xy-1这样，几个单项式的代数和叫做多项式。其中的每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 一个多项式含有几个项就叫几项式。

★多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，就是多项式的次数。如：多项式2x-5xy+3xy-1共4项，次数分别为5、3、2、0，故该多项式的次数是五次，称为“五次四项式”。

★多项式的排列：

（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母的降幂排列；（最高次项在最左边）；

（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母的升幂排列。（最高次项在最右边）。

522252222

五、同类项定义：所含字母相同，相同字母指数也分别相同的项叫同类项。

★合并同类项步骤：

1、确定同类项；2、运用加法交换律与结合律将同类项结合在一起；3、利用乘法对加减法分配率合并同类项；4、整理合并后的多项式（按降幂排列）。

合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 多项式相等：两个多项式分别经过合并同类项后，如果它们的对应项系数都相同，则称这两个多项式相等。

六、代数式的值：像上面两个问题那样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果叫做代数式的值。

★注意：字母的值是负数，代入时应将负数加上括号；如果字母的值是分数，并要计算其平方、立方，代入时也应将分数加上括号；注意将乘号还原。（灵活使用整体代入法)

七、“去括号”法则：正不变，负变。要变全都变。

括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号； 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。 “添括号”法则：

所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；

所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。

★注意：添括号刚好和去括号的过程相反，添括号是否正确，可以用去括号去检验。

第三章：一元一次方程总复习

一、基本概念：

1、方程：含有未知数的等式叫作方程。

2、建立方程模型：把所有要求的量用字母x（或y）等表示，根据问题中的数量关系列出方程，叫做建立方程模型。

3、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数（即指数）是1，这样的整式方程叫一元一次方程。

4、方程的解：能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解。

5、解方程：求方程解的过程叫作解方程。

二、等式性质：

等式性质1：等式两边都加上（减去）同一个数（或同一个式），所得结果仍是等式。 数学语言描述：若a=b，则 a±c=b±c ；

等式性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（或同一个式）（除数或除式不能为0），所得结果仍是等式。

数学语言描述：若a=b，则 ac=bc，a/d=b/d (d≠0) ；

*传递性：若a=b, b=c, 则 a=c（也称等量代换）； *对称性：若a=b, 则 b=a 。

三、解一元一次方程的基本步骤：

1、去分母（方程两边每一项都同时乘以最小公分母，不要漏乘！）；

2、去括号（注意：1.符号问题；2.一个数乘以括号时，不要漏乘。先去小括号，再去中括号，最后去大括号。）；

3、移项（移项要变号，不移的项不变号。一般将含有未知数的项移到等式左边，把常数项移到等式右边。）；

4、化简（合并同类项）成一元一次方程的标准形式：ax=b；

5、未知数系数化为1：（两边都除以x的系数）。

四、列一元一次方程解应用题的步骤有：

1、（审）审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。

2、（设）设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。

3、（列）找出等量关系并列出方程：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。然后根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。

4、（解）解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。

5、（验）检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。

6、（答）作答：正确回答题中的问题。

五、常见的一元一次方程应用题：

1、和差倍分问题:

（1）增长量＝原有量³增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量

2、等积变形问题：

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变。

（1）圆柱体的体积公式 V=底面积³高＝S²h＝rh 2

（2）长方体的体积 V＝长³宽³高＝abc

3、数字问题：

一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c 。

十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a 。

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。

4、销售问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ）

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝商品利润³100% （3）售价=成本价³(1+利润率) 商品成本价

七年级湘教版数学内容(三)
湘教版七年级数学

第一章 有理数

课题：1.1 具有相反意义的量（1）

【学习目标】：1、掌握正数和负数概念；

2、会区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数； 3、体验数学发展是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣。

【重点难点】：正数和负数概念

【导学指导】：

一、知识链接：

1、小学里学过哪些数请写出来： 、 、 。

2、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比0小的数？如果有，那叫做什么数？

二、自主学习

1、正数与负数的产生 （1）、生活中具有相反意义的量

如：运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是生活中遇到的具有相反意义的量。

请你也举一个具有相反意义量的例子： 。 （2）负数的产生同样是生活和生产的需要

2、正数和负数的表示方法

（1）一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如前面的5、7、50；负的量用小学学过的数前面放上“—”（读作负）号来表示，如上面的—3、—8、—47。

（2）活动 两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示. （3）阅读P3练习前的内容 3、正数、负数的概念

1）大于0的数叫做 正数 ，小于0的数叫做 负数 。

2）正数是大于0的数，负数是 小于0 的数，0既不是正数也不是负数。

【课堂练习】：

1. P4第1题和第2题（直接做在课本上）。

2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_－２万元______,-4万元表示___支取4万元_____________。

3．已知下列各数：

13

，2，3.14，+3065，0，-239； 54

则正数有_____3.14 _______________；负数有____________________。 4．下列结论中正确的是 …………………………………………（ d ） A．0既是正数，又是负数 C．0是最大的负数

B．O是最小的正数

D．0既不是正数，也不是负数

5．给出下列各数：-3，0，+5，3

11

，+3.1，，2004，+2010； 22

C．4个

D．5个

其中是负数的有 ……………………………………………………（ b ） A．2个 【要点归纳】：

正数、负数的概念：

（1）大于0的数叫做 ，小于0的数叫做 。

（2）正数是大于0的数，负数是 的数，0既不是正数也不是负数。

【拓展训练】：

1．零下15‴，表示为_________，比O‴低4‴的温度是_________。

2．地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米，其中最高处为_______地，最低处为_______地．

3．“甲比乙大-3岁”表示的意义是______________________。

4．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度。 【总结反思】：

B．3个

课题：1.1具有相反意义的量（2）

【学习目标】：

1、会用正、负数表示具有相反意义的量；

2、通过正、负数学习，培养学生应用数学知识的意识；

【学习重点】：用正、负数表示具有相反意义的量； 【学习难点】：实际问题中的数量关系； 【导学指导】

一、知识链接.

通过上节课的学习,我们知道在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分它们,我们用__________ 和___________ 来分别表示它们。 问题：“零”为什么即不是正数也不是负数呢? 引导学生思考讨论,借助举例说明。

参考例子:温度表示中的零上,零下和零度。 二.自主探

例 (1)一个月内,小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值；

2)2001年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是: 美国减少6.4%, 德国增长1.3%, 法国减少2.4%, 英国减少3.5%, 意大利增长0.2%, 中国增长7.5%.

写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率；

解:(1)这个月小明体重增长__________ ,小华体重增长_________ ,小强体重增长_________ ；

2)六个国家2001年商品进出口总额的增长率:

美国___________ 德国__________ 法国___________ 英国__________ 意大利__________ 中国__________

【课堂练习】

1．课本第6页练习

2、阅读思考

用正负数表示加工允许误差；

问题:直径为30.032mm和直径为29.97的零件是否合格? 【要点归纳】

1、本节课你有那些收获？ 2、还有没解决的问题吗？【七年级湘教版数学内容】

【拓展训练】

1）甲冷库的温度是-12°C,乙冷库的温度比甲冷酷低5°C,则乙冷库的温度是 ； 2）一种零件的内径尺寸在图纸上是9〒0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是9mm,加工要求最大不超过标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少? 【总结反思】：

课题：1.1具有相反意义的量（3）

【学习目标】:

1、掌握有理数的概念，会对有理数按一定标准进行分类，培养分类能力； 2、了解分类的标准与集合的含义；

3、体验分类是数学上常用的处理问题方法；

【学习重点】：正确理解有理数的概念 【学习难点】：正确理解分类的标准和按照一定标准分类 【导学指导】

一、温故知新

1、通过两节课的学习,,那么你能写出3个不同类的数吗?.(4名学生板书)

__________________________________________ 二、自主探究

问题1：观察黑板上的12个数，我们将这4位同学所写的数做一下分类； 该分为几类，又该怎样分呢？先分组讨论交流，再写出来

分为 类，分别是：

引导归纳：

统称为整数， 统称为有理数。 问题2：我们是否可以把上述数分为两类?如果可以,应分为哪两类? 师生共同交流、归纳

2、正数集合与负数集合

所有的正数组成 集合，所有的负数组成 集合

【课堂练习】【七年级湘教版数学内容】

1、P8练习（做在课本上）

2.把下列各数填入它所属于的集合的圈内:

15, -

1

213,

-5,

, , 0.1, -5.32, -80, 123, 2.333； 8

正整数集合 负整数集合 正分数集合 负分数集合

七年级湘教版数学内容(四)
湘教版七年级下册数学知识点梳理

湘教版七年级数学下册知识点归纳

第一章 二元一次方程组

一、二元一次方程组

1、概念：

①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1的方程，叫二元一次方程。 ②二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。

2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：

使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。 注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组（对）数，用大括号联立；②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。 二元一次方程组的解的讨论：

a1x + b1y = c1 已知二元一次方程组

a2x + b2y = c2

①、

②、

③、 当a1/a2 ≠ b1/b2 时，有唯一解； 当a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2时，无解； 当a1/a2 = b1/b2 = c1/c2时，有无数解。

x + y = 4

2x + 2y = 8 x + y = 4 x + y = 3 例如：对应方程组：①、 ②、 ③、 3x - 5y = 9 2x + 2y = 5

例：判断下列方程组是否为二元一次方程组：

a + b = 2 ②、 x = 4 ③、3t + 2s = 5 ④、 x = 11 ①、

b + c = 3 y = 5 ts + 6 = 0 2x + 3y = 0

3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：【七年级湘教版数学内容】

用含X的代数式表示Y，就是先把X看成已知数，把Y看成未知数；用含Y的代数式表示X，则相当于把Y看成已知数，把X看成未知数。

例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含x的代数式表示y为：___________,用含y的代数式表示x为:____________。

4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：

要抓住两个方面：①、未知数的指数为1，②、未知数前的系数不能为0

例：已知方程 (a-2)x^(/a/-1) – (b+5)y^(b^2-24) = 3 是关于x、y的二元一次方程，求a、b的值。

5、求二元一次方程的整数解

例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整数解。

思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，可以求出方程有正整数解时x、y的取值范围，然后再进一步确定解。

解：用含x的代数式表示y: y = 9/2 – (3/4)x 用含y的代数式表示x: x = 6 – (4/3)y 因为是求正整数解，则：9/2 – (3/4)x > 0 , 6 – (4/3)y > 0

所以，0 < x < 6 ,0 < y < 9/2

所以，当 y = 1时，x = 6 – 4/3 = 14/3 ,舍去 ； 当 y = 2时，x = 6 – 8/3 = 10/3 ，舍去 ；当 y = 3时，x = 6 – 12/3 = 2 , 符合 ； 当 y = 4时，x = 6 – 16/3 = 2/3 ，舍去 。 所以，3x + 4y = 18 的正整数解为： x = 2

y = 3

x = 3 是方程组 ax - 2y = 5 的解，求 a-b 的值。 再例：①、如果

y = - 1 2x + by = 3

ax + 5y = 15,① 由于甲看错了方程①中的a，得到的方程组的解 ②、甲、乙两人共解方程组

4x - by = -2,②

x = - 3, 乙看错了方程②中的b，得到的方程组的解为 x = 5, 试计算为 a^2009 + y = - 1, y = 4,

(-b/10)^2010的值。

二、二元一次方程组的解法——消元 （整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”）

1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为：

①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；

②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；

⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。

2、加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。

注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为：

①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；

②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。

例：解方程组：

4y–(2y + x + 16)/2 = -6x ①、 ②、 x/2 + y/3 = 13/2

2y + 3x = 7 – 2x - y x/3– y/4 = 3/2

3、用换元法解方程组：

根据题目的特点，利用换元法简化求解，同时应注意换元法求出的解要代回关系式中，求出方程组中未知数的解。

例：ⅰ、解方程组： 5/(x+1) + 4/(y-2) = 2

7/(x+1)– 3/(y-2) = 13/20

2a-3b = 13 a = 8.3 2(x+2)-3(y-1) = 13 ⅱ、已知方程组 的解是 ，则方程组 3a+5b = 30.9 b = 1.2 3(x+2)+5(y-1) = 30.9

的解是：（ ）

x = 8.3 x = 10.3 x = 6.3 x = 10.3

y = 1.2 y = 2.2 y = 2.2 A、 B、 C、 D、 y = 0.2

4、用整体代入法解方程组：

例：解方程组： 2x - y = 6 ①

(x+2y)(4x–2y)= 192 ②

解：将②变形为：(x+2y)×2(2x–y)= 192 ③ ，把①代入③得：(x+2y)×2×6 = 192 ,即 x+2y = 16 ④

2x - y = 6 解得： x = 5.6 再把①和④组成新的方程组： x + 2y = 16 y = 5.2

5、另外几种类型的例题：

（1）、若︱m + n – 5︱ + (2m + 3n - 5)²= 0 ,求(m - n)²的值。

（2）、已知代数式x²+ ax + b，当x = -1时，它的值是5，当x =1时，它的值是-1，求当x =2时，代数式的值。

5x + y = 3 x - 2y = 5 有相同的解，求m，n的值。 （3）、已知方程组 与

mx + 5y = 4 5x + ny = 1

3x - 5y = 2m （4）、已知方程组 的解x、y互为相反数，求m、x以及y的值。

2x + 7y = m-18

2x - y = k （5）、关于x、y的方程组 的解，也是方程2x + y = 3的解，求k的值。

3x + y = k+1

（6）、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售。该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨。现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？

三、实际问题与二元一次方程组

1、利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量关系式 —> 设元（设未知数） —> 根据数量关系式列出方程组 —> 解方程组 —> 检验并作答（注意：此步骤不要忘记）

2、列方程组解应用题的常见题型：

（1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 = 相差量 ，总量 = 倍数 × 倍量；

（2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例；

（3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 × 时间，包括相遇问题、追及问题等；

（4）、航速问题：①、顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水（风）速；

②、逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 – 水（风）速；

（5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量 = 工作效率×工作时间，（有时需把工作总量看作1）；

（6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量×（1+增长率）= 增长后的量，原量×（1-减少率）= 减少后的量；

（7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量；

（8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示；

（9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式；

（10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。

例1：一批水果运往某地，第一批360吨，需用6节火车车厢加上15辆汽车，第二批440吨，需用8节火车车厢加上10辆汽车，求每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？

例2：甲、乙两物体分别在周长为400米的环形轨道上运动，已知它们同时从一处背向出发，25秒后相遇，若甲物体先从该处出发，半分钟后乙物体再从该处同向出发追赶甲物体，则再过3分钟后才赶上甲，假设甲、乙两物体的速度均不变，求甲、乙两物体的速度。

例3：甲、乙二人分别以均匀速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度比乙大，当二人反向运动时，每150秒相遇一次，当二人同向运动时，每10分钟相遇一次，求二人的速度。

例4：有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3 ：7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4 ：1，今要得到酒精与水的比是3 ：2的酒精溶液50kg，求甲、乙两种溶液各取多少kg？

例5：一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可制成方桌桌面50个，或制作桌腿300条，现有5立方米木料，请问，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？此时，可以制成多少张方桌？

例6：某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离。

例7：某农场有300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花、蔬菜三种农作物，已知种植各种农作物每公顷所需劳动力人数

及投入资金如右表：

已知该农场计划投入资金

67万元，应该怎样安排这三

种农作物的种植面积才能使

所有职工都有工作而且投入资金正好够用？

例8：某酒店的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元，一个50人的旅游团到该酒店租了若干间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去1510元，求两种客房各租了多少间？

七年级湘教版数学内容(五)
湘教版七年级上册数学教案(全册)

七年级数学教学计划

一、 情况分析

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画逐渐抽象概括、形成方法

和理论，并进行广泛应用的过程。数学教学活动必须建立在学生的认知水平和已有的知识经

验基础之上，在教学过程中激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，

帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和

方法，获得广泛的数学活动经验。

整体而言，从小学进入初中学生灵活运用知识解决问题的能力不够，

分析能力不强。对于学困生要帮助他们克服学习上的困难，提高他们的学习兴趣和信心。因

此，在教学中要多让学生经历数学知识产生的过程，并让他们明白数学来源于生活，而必用

于生活，让他们感到学到的是有用的数学。

二、目标要求

1、掌握好本期的基础知识； 2、提高各种数学基本能力； 3、提高学

生学习数学的兴趣；

4、培养严谨治学，自觉主动的学习精神；

5、使学生了解数学来源于生活，并鼓励学生把它们用于生活，使学生

了解数学的价值，增进对数学的理解和学习数学的信心；

三、教材分析

第一章 有理数 本章的重点是有理数的相关概念及其运算，难点是

有理数运算法则的理解，关键是有理数的加法和乘法中符号的确定。

第二章 代数式 本章的重点是用字母表示数和列代数式。关键是要

明确基本数量关系的语言表达与代数式之间的联系。

第三章 一元一次方程 本章重点是一元一次方程的解法和它的应用，

等式的性质，难点是一元一次方程的应用，关键在于正确分析实际问题中的已知量、未知量，

并能找出能表示实际问题全部含义

的相等关系。

第四章 图形的认识 本章主要学习几何图形、线段、射线、直线、

角，重在培养学生图形观察能力、动手能力。

第五章 数据的收集与统计图 本章主要内容是数据的收集与描述，

数据的收集是了解情况的基础，说明问题的证据来源，各种统计图表是描述数据全貌的直观

形式。

课本每一节配有a、b两组习题，每一章配有a、b、c三组复习题。c

组习题一般为探究题。全书配有两个课题学习和两则数学与文化知识。以拓宽学生的知识面。

整个教材体现了如下特点：

1．现代性——更新知识载体，渗透现代数学思想方法，引入信息技术。

2．实践性——联系社会实际，贴近生活实际。

3．探究性——创造条件，为学生提供自主活动、自主探索的机会，获

取知识技能。 4．发展性——面向全体学生，满足不同学生发展需要。 5．趣味性——文

字通俗，形式活泼，图文并茂，趣味直观。 四、具体措施

1、 教学中尽量采取从生活到数学的教学过程，使学生感到数学就在

身边，从而激发他们学习数学

的兴趣。

2、 让学生主动参与，充分发挥他们在课堂的主体地位和主观能动性，

从而培养与发展他们的能力。 3、 引导学生把数学用到生活中去，提高他分析问题和解决问

题的能力。 4、 鼓励学生合作交流，培养学生的合作精神及数学的交流能力。 5、 充分利

用现有的现代信息技术。

6、 尊重个体差异，满足多样化的学习需要。 五、进度安排

第一章 有理数 1．1 具

有相反意义的量

1课时

1．2 数轴、相反数、绝对值

3课时

1．3 有理数大小的比较 1．4 有理数的加法和减法

1课时 4课时 4课时

1．5 有理数的乘法和除法 1．6 有理数的乘方

2课时 1．7 有理数的混合运算 小结与复习

数学与文化：我国是最早使用负数的国家

单元自我检测 第二章 代数式 2．1 用

字母表示数 2．2 列代数式 2．3 代数式的值 2．4 整式

2．5 整式的加法和减法 小结与复习

数学与文化 单元自我检测

第三章 一元一次方程

3．1 建立一元一次方程模型

3．2 等式的性质 3．3 一元一次方程的解

法 3．4 一元一次方程的应用

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