回归的意思

导读：　回归的意思篇一《回归“有意思”的校园生活》 ...

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回归的意思篇一
《回归“有意思”的校园生活》

回归“有意思”的校园生活

作者：高杰

来源：《甘肃教育》2015年第02期

不知道从什么时候开始，追求“有意义”的校园生活成了多数人的心理状态。与之一字之差的“有意思”却遭到了不少的“冷落”甚至是“排斥”。

从两者的词义上来看，“有意义”强调的是某种行为所能带来的作用和价值，它更倾向于行为实施之后所期盼获得的改变以及预期的结果。毫无疑问，它带有较强的功利性质。相比较而言，“有意思”所要表达的就单纯得多，它是一种情趣，它更在意的是过程中行为主体的主观感受和心灵体验。

诚然，校园生活强调“有意义”无可厚非。因为现如今，主流性的教育理念和哲学主张都在努力褒扬生存意志，都在强调“利己性”。从人性的角度而言，我们也总是希望自己的行为（基于某种理念和目标的努力、实践等）能够产生与之相应的结果，并且最好是在我们自己所期盼的范围里。更何况，作为与“人”打交道的教育而言，就是产生影响的过程，是寻求改变的过程，一种以“发展”为原点的影响，以“更好”为旨归的改变。正如雅斯贝尔斯所言：“教育是一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂。”但是，一味地强调“有意义”而忽视了“有意思”的校园文化，又必然会缺乏生命力和吸引力，代表的也仅仅是学校教育管理者的“成人意识”。而这种“成人意识”裹挟下的校园生活又占了现今教育生态中的大多数。甚至在很多时候，尽管深谙其不科学、不合理性，我们还是会在不经意间参与其中，并且起着推波助澜的作用。

以我们熟悉的各种校园活动为例，所谓“凡事预则立，不预则废”，每个活动的有序开展都离不开一个全面、科学的活动方案。可是稍微留意一下我们也不难发现，每一个以书面形式呈现出来的活动目的都是那么“高大全”，都希望学生在活动中获得升华。这无疑又是一种“想当然”。每年的3月5日，很多学校都会组织学生“学雷锋”，或是参与社区环境的整治，或是进行一些帮扶活动等;每年的“重阳节”，很多学校也都会组织学生走进当地的敬老院，关爱那些孤寡老人……站在学校的角度而言，其初衷是值得肯定的。但是诸如“助人为乐”、“尊老敬老”这样的理念本就该贯彻在生活当中，怎么能仅仅依赖那么几个节日呢？

作为教育活动中的主导者，有时候我们会抱怨学生不好教了，不听话了，任凭怎么苦口婆心的“摆事实讲道理”，就是不能促使他们走上我们所设定的轨道。但是我们是否想过，作为“过来人”，我们因为有了经验和经历，所以能够站在更高的角度看待问题，能够想得更深刻、更具有现实意义。可是我们的学生，毕竟还是孩子，是正在“发展着的人”，他们所需要和期盼的就是对于事物发自内心的喜欢，有了这样的情感，他们才会主动探索、求知，直至获得世界观、人生观、价值观的改变和形成。而这些“有利局面”的形成，其前提条件就是“有意思”，而非“有意义”。

这让我想起了一则耐人寻味的笑话：一个孩子过生日，照例吹蜡烛许愿。等孩子许好愿，大人们迫不及待的想知道是个什么样的愿望。“我长大想做个医生”。听了孩子的话，外婆说医生好，社会地位高;奶奶说待遇也不错;爷爷说工作稳定。妈妈问孩子为什么想当医生，孩子天真地说：“不是说医生能够治病救人吗？”在实际教育过程中，我们是不是也会像笑话中的家长一样，用“自我”代替了孩子呢？

回归“有意义”的校园生活，不需要强加给教育太多附庸的东西，当学生感受到了“意思”，那么离我们所希望的“意义”也就不远了。

回归的意思篇二
《港澳回归意义》

港澳回归意义：

1有利于推进祖国的和平统一大业。

2有利于促进我国的社会主义现代化建设。 3有利于促进香港地区的稳定发展和繁荣。 4港澳回归是一国两制伟大构想的成功实践。 

回归的意思篇三
《多项分类Logistic回归分析的功能与意义 (1)》

多项分类Logistic回归分析的功能与意义

我们经常会遇到因变量有多个取值而且无大小顺序的情况，比如职业、婚姻情况等等，这时一般的线性回归分析无法准确地刻画变量之间的因果关系，需要用其它回归分析方法来进行拟合模型。SPSS的多项分类Logistic回归便是一种简便的处理该类因变量问题的分析方法。

例子：下表给出了对山东省某中学20名视力低下学生视力监测的结果数据。试用多项分类Logistic回归分析方法分析视力低下程度（由轻到重共3级）与年龄、性别（1代表男性，2代表女性）之间的关系。

还是以教程“blankloan.sav"数据为例，研究银行客户贷款是否违约（拖欠）的问题，数据如

下所示：

上面的数据是大约700个申请贷款的客户，我们需要进行随机抽样，来进行二元Logistic回归分析，上图中的“0”表示没有拖欠贷款，“1”表示拖欠贷款，接下来，步骤如下： 1：设置随机抽样的随机种子，如下图所示：

选择“设置起点”选择“固定值”即可，本人感觉200万的容量已经足够了，就采用的默认值，点击确定，返回原界面、

2

：进行“转换”—计算变量“生成一个变量（validate)，进入如下界面：

在数字表达式中，输入公式：rv.bernoulli（0.7），这个表达式的意思为：返回概率为0.7的bernoulli分布随机值

如果在0.7的概率下能够成功，那么就为1，失败的话，就为"0"

为了保持数据分析的有效性，对于样本中“违约”变量取缺失值的部分，validate变量也取缺失值，所以，需要设置一个“选择条件” 点击“如果”按钮，进入如下界面：

回归的意思篇四
《回归分析相关定义》

回归分析是一类数学模型，特别当因变量和自变量为线性关系时，它是一种特殊的线性模型。最简单的情形是一个自变量和一个因变量，且它们大体上有线性关系，这叫一元线性回归，即模型为Y＝a＋bX＋ε，这里X是自变量，Y是因变量，ε是随机误差，一般的情形，有k个自变量和一个因变量，因变量的值可以分解为两部分：一部分是由自变量的影响，即表示为自变量的函数，其中函数形式已知，但含一些未知参数；另一部分是由于其他未被考虑的因素和随机性的影响，即随机误差。当函数形式为未知参数的线性函数时，称线性回归分析模型；当函数形式为未知参数的非线性函数时，称为非线性回归分析模型。

相关分析研究的是现象之间是否相关、相关的方向和密切程度，一般不区别自变量或因变量。而回归分析则要分析现象之间相关的具体形式，确定其因果关系，并用数学模型来表现其具体关系。两个变量之间到底是哪个变量受哪个变量的影响，影响程度如何，则需要通过回归分析方法来确定。一般来说，回归分析是通过规定因变量和自变量来确定变量之间的因果关系，建立回归模型，并根据实测数据来求解模型的各个参数，然后评价回归模型是否能够很好的拟合实测数据；如果能够很好的拟合，则可以根据自变量作进一步预测。

R2又称为方程的确定性系数（coefficient of determination），表示方程中变量X对Y的解释程度。R2取值在0到1之间，越接近1，表明方程中X对Y的解释能力越强。通常将R2乘以100％来表示回归方程解释Y变化的百分比。F检验是通过方差分析表输出的，通过显著性水平（significant level）检验回归方程的线性关系是否显著。一般来说，显著性水平在0.05以下，均有意义。

回归分析的步骤

根据预测目标，确定自变量和因变量

明确预测的具体目标，也就确定了因变量。如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。通过市场调查和查阅资料，寻找与预测目标的相关影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响因素。 建立回归预测模型

依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立回归分析方程，即回归分析预测模型。

进行相关分析

回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。因此，作为自变量的因素与作为因变量的

预测对象是否有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。 检验回归预测模型，计算预测误差

回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模型的检验和对预测误差的计算。回归方程只有通过各种检验，且预测误差较小，才能将回归方程作为预测模型进行预测。

计算并确定预测值

利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析，确定最后的预测值。

三、一元线性回归模型

对于具有线性因果关系的两个变量，由于有随机因素的干扰，两变量的线性关系中应包括随机误差项，即有：

yabxu （9—3）

对于x某一确定的值，其对应的y值虽有波动，但在大量观察中随机误差的期望值为零，即E()=0，因而从平均意义上说，总体线性回归方程为：

YE(Y)abX （9—4）

上式中，a是回归直线的截距项，即X为0时Y的值，从数学意义上理解，它表示在没有自变量X的影响时，其它各种因素对因变量Y的平均影响；b是回归系数（直线的斜率），表示自变量x每变动一个单位时，因变量Y平均变动b个单位。

我们可通过样本观察值计算参数a、b的估计值，求得参数的估计值后，即求得样本回归方程，用它对总体线性回归方程进行估计。样本回归直线方程又称一元线性回归方程，其表达形式为：

ˆxˆaˆb y (9－5)

ˆ是待定参数a和b的估ˆ表示因变量的估计值（回归理论值）ˆ和b式中：y；a

计值。一元线性回归方程中的待定参数是根据样本数据资料估计确定的。确定回ˆˆ，ˆaˆbˆ及b归方程就是要找出a与b的估计值a使直线y总体看来与所有的散点

ˆ，ˆ与b最接近，即确定最优的a统计学上常采用最小二乘法（Ordinary least squares

estimation,亦称最小平方法）。

设样本回归模型为：

ˆeˆbxyia, n , （9－6） i i1, 2

ˆyyˆbxˆi ii 于是有：eiyia

ˆ取不同值就有不同的样本回归直线，从而有ˆ和b 从式（9－6）可以看出，a

不同的残差ei。为了保证残差最小，希望ei接近于0，但由于有n个ei，还必须考虑总体残差最小，又因为ei可能存在正负相互抵消，ei最小不能真正表达总体残差最小的思想。故此又想到使ei最小，但使ei达到最小，确定参数

ˆ，就是估计使得所ˆ和b估计值的计算较为复杂，最终选择普通最小二乘法确定a

ˆ即： ˆ、b有Y的估计值与观察值的残差平方和ei达到最小的参数a

这就是最小二乘法的基本原理。

由于本书旨在介绍该种方法在统计中的应用，故数学推导过程省略,根据最小二乘法原理，利用微积分中求极值的方法，求得a、b的估计值， 2ˆˆbxi)minQei(yia22ˆnxyxybnx2(x)2aˆb （9－7）

ˆˆ求出后，一元线性回归方程yˆaˆbˆ、b当a便确定了。

单次测量值x1与测定平均值之差的平方的总和，以Q表示，Q值越大，表示测定值之间的差异越大，用偏差平方和表征差异的优点是能充分利用测度数据所提供的信息，缺点是Q随着测定值数目的增多而增大，为了克服这一缺点，用方差S2=Q/f来表征差异的大小，其中f为自由度。如一个测定结果受多个因素影响，则总偏差平方和等于实验误差与各因素（包括固定因素与随机因素）所形成的偏差平方和之总和。

为了明确解释变量和随机误差各产生的效应是多少，统计学上把数据点与它在回归直线上相应位置的差异称残差，把每个残差的平方后加起来 称为残差平方和，它表示随机误差的效应

意义：

每一点的y值的估计值和实际值的平方差之和称为残差平方和,而y的实际值和平均值的平方差之和称为总平方和。

残差平方和：为了明确解释变量和随机误差各产生的效应是多少，统计学上把数据点与它在回归直线上相应位置的差异 称残差，把每个残差的平方后加起来 称为残差平方和，它表示随机误差的效应。

回归平方和

总偏差平方和=回归平方和 + 残差平方和。 残差平方和与总平方和的比值越小，判定系数 r2 的值就越大。

残差图的评价

“残差图”以回归方程的自变量为横坐标，以残差为纵坐标，将每一个自变量的残差描在该平面坐标上所形成的图形。当描绘的点围绕残差等于0的直线上下随机散布，说明回归直线对原观测值的拟合情况良好。否则，说明回归直线对原观测值的拟合不理想。

从“残差图”可以直观地看出残差的绝对数值都比较小，所描绘的点都在以0为横轴的直线上下随机散布，回归直线对各个观测值的拟合情况是良好的。说明变量X与y之间有显著的线性相关关系。

回归的意思篇五
《回归分析解释doc》

最小二乘法

ˆ=abx， 一元线性回归方程：y

所谓最小二乘法就是使得：

2

ˆ最小的一种确定回归系数a,b的方(yy)(yabxi)ii

2

i1

i1

n

n

法。

ˆ是回归值即估计值，（yi是观察值即实际测量值，y

残差平方和）

2

ˆ是(yy)ii1

n

用方差分析方法对回归方程进行显著性检验

响应变量y总的数据波动用总偏差平方和SST表示，

ssT(yi)Lyy

2

i1

n

回归线上拟合点数据波动用回归偏差平方和SSR表示，

22

ˆssR(yi)bLxxbLxy

i1n

观察点与回归线上拟合点的差异数据波动用残差偏差平方和SSE表示。

ˆiyi)2SSTSSRssE(y

i1

n

回归方程残差诊断。（利用残差图形分析）

说明：观察值即实际测量值，回归拟合值即估计值。

R2 是衡量回归方程解释观察数据变异的能力。 R2ADJ是修正R2，考虑模型总项数带来的影响。 S是残差标准差

所谓残差图，其纵坐标总是残差，而横坐标可能取不同的值，可以是观察时间，可以是响应变量预测值，也可以是自变量的取值。

作图：

1、残差与观察值顺序的散点图。考察残差值是否随机地在水平轴上下无规则波动。若随机波动，说明残差值间是相互独立的。

2、残差值与拟合值的散点图。考察残差是否保持等方差性，若图形明显有漏斗型或喇叭型，说明需对响应变量y作某种变换。

3、残差的正态概率图。考察残差值是否符合正态分布。 4、残差对于以各自变量为横轴的散点图。考察图中是否有弯曲的趋势，若残差虽保持等方差性，图形有明显弯曲的趋势，应考虑增加自变量的高阶项，使模型拟合的更好些。

回归的意思篇六
《回归结果的解释20151015》

回归结果的解释

回归的意思篇七
《对线性回归、逻辑回归、各种回归的概念学习--以及一些误差等具体含义》

对线性回归、逻辑回归、各种回归的概念学习 回归问题的条件/前提：

1） 收集的数据

2） 假设的模型，即一个函数，这个函数里含有未知的参数，通过学习，可以估计出参数。然后利用这个模型去预测/分类新的数据。

1. 线性回归

假设 特征 和 结果 都满足线性。即不大于一次方。这个是针对 收集的数据而言。

收集的数据中，每一个分量，就可以看做一个特征数据。每个特征至少对应一个未知的参数。这样就形成了一个线性模型函数，向量表示形式：

这个就是一个组合问题，已知一些数据，如何求里面的未知参数，给出一个最优解。 一个线性矩阵方程，直接求解，很可能无法直接求解。有唯一解的数据集，微乎其微。

基本上都是解不存在的超定方程组。因此，需要退一步，将参数求解问题，转化为求最小误差问题，求出一个最接近的解，这就是一个松弛求解。

求一个最接近解，直观上，就能想到，误差最小的表达形式。仍然是一个含未知参数的线性模型，一堆观测数据，其模型与数据的误差最小的形式，模型与数据差的平方和最小：

这就是损失函数的来源。接下来，就是求解这个函数的方法，有最小二乘法，梯度下降法。

最小二乘法

是一个直接的数学求解公式，不过它要求X是列满秩的，

梯度下降法

分别有梯度下降法，批梯度下降法，增量梯度下降。本质上，都是偏导数，步长/最佳学习率，更新，收敛的问题。这个算法只是最优化原理中的一个普通的方法，可以结合最优化原理来学，就容易理解了。

2. 逻辑回归

逻辑回归与线性回归的联系、异同？

逻辑回归的模型 是一个非线性模型，sigmoid函数，又称逻辑回归函数。但是它本质上又是一个线性回归模型，因为除去sigmoid映射函数关系，其他的步骤，算法都是线性回归的。可以说，逻辑回归，都是以线性回归为理论支持的。 只不过，线性模型，无法做到sigmoid的非线性形式，sigmoid可以轻松处理0/1分类问题。

另外它的推导含义：仍然与线性回归的最大似然估计推导相同，最大似然函数连续积（这里的分布，可以使伯努利分布，或泊松分布等其他分布形式），求导，得损失函数。

逻辑回归函数

表现了0,1分类的形式。

应用举例：

是否垃圾邮件分类？

是否肿瘤、癌症诊断？

是否金融欺诈？

3. 一般线性回归

线性回归 是以 高斯分布 为误差分析模型； 逻辑回归 采用的是 伯努利分布 分析误差。

而高斯分布、伯努利分布、贝塔分布、迪特里特分布，都属于指数分布。

而一般线性回归，在x条件下，y的概率分布 p(y|x) 就是指 指数分布.

经历最大似然估计的推导，就能导出一般线性回归的 误差分析模型（最小化误差模型）。

softmax回归就是 一般线性回归的一个例子。

有监督学习回归，针对多类问题（逻辑回归，解决的是二类划分问题），如数字字符的分类问题，0-9,10个数字，y值有10个可能性。

而这种可能的分布，是一种指数分布。而且所有可能的和 为1，则对于一个输入的结果，其结果可表示为：

参数是一个k维的向量。

而代价函数：

是逻辑回归代价函数的推广。

而对于softmax的求解，没有闭式解法（高阶多项方程组求解），仍用梯度下降法，或L-BFGS求解。

当k=2时，softmax退化为逻辑回归，这也能反映softmax回归是逻辑回归的推广。

线性回归，逻辑回归，softmax回归 三者联系，需要反复回味，想的多了，理解就能深入了。

4. 拟合：拟合模型/函数

由测量的数据，估计一个假定的模型/函数。如何拟合，拟合的模型是否合适？可分为以下三类 合适拟合

欠拟合

过拟合

看过一篇文章（附录）的图示，理解起来很不错：

合适的拟合

过拟合

过拟合的问题如何解决？

问题起源？模型太复杂，参数过多，特征数目过多。

方法： 1） 减少特征的数量，有人工选择，或者采用模型选择算法

（特征选择算法的综述）

2） 正则化，即保留所有特征，但降低参数的值的影响。正则化的优点是，特征很多时，每个特征都会有一个合适的影响因子。

回归的意思篇八
《回归分析工具的输出解释》

回归分析工具的输出解释

EXCEL回归分析工具的输出结果包括3个部分

第1部分回归统计表：

第2部分方差分析表：

方差分析

回归分析 残差 总计

df 1 10 11

Significance F 2.74629E-06

SS MS F

1901.834 1901.8339 88.69828612 214.4161 21.441608 2116.25

方差分析表的主要作用是通过F检验来判断回归模型的回归效果。上表中“回归分析”行计算的是估计值Yˆ同均值Y之差（Yˆ-Y）的各项指标；“残差”行是用于计算每个样本观察值Y与估计值Yˆ之差（Yˆ- Y）的各项指标；“总计”行用于计算每个Y值同均值Y之差（Y-Y）的各项指标。

第二列df是自由度；第三列SS是离差的平方和；第四列MS是均方差，它是离差平方和除以自由度；第五列是F统计量，第六列Significance是在显著性水平下的F临界点。

第3部分回归参数表：

Intercept 月份

Coefficients

标准t Stat P-value 误差

Lower 95%

Upper 95%

下限 95.0%

上限 95.0% 28.89538 4.509639

22.54542.8497.9111.2985216.195528.8916.1955455 881 0163 E-05 2413 5385 52 3.646850.3879.4172.746292.784064.5092.7840

回归参数表主要用于回归议程的描述和回归参数的推断。表中第二行和第三行分别是截距和斜率的各项指标。对于大多数回归分析来说，关注斜率要比截距重要。

回归的意思篇九
《一元线性回归分析的结果解释》

一元线性回归分析的结果解释

1. 基本描述性统计量

分析：上表是描述性统计量的结果，显示了变量y和x的均数(Mean)、标准差(Std. Deviation)和例数(N)。

2．相关系数

分析：上表是相关系数的结果。从表中可以看出，Pearson相关系数为0.749，单尾显著性检验的概率p值为0.003，小于0.05，所以体重和肺活量之间具有较强的相关性。

3．引入或剔除变量表

分析：上表显示回归分析的方法以及变量被剔除或引入的信息。表中显示回归方法是用强迫引入法引入变量x的。对于一元线性回归问题，由于只有一个自变量，所以此表意义不大。

4．模型摘要

分析：上表是模型摘要。表中显示两变量的相关系数(R)为0.749，判定系数(R Square)为0.562，调整判定系数(Adjusted R Square)为0.518，估计值的标准误差(Std. Error of the Estimate)为0.28775。

5．方差分析表

分析：上表是回归分析的方差分析表(ANOVA)。从表中可以看出，回归的均方(Regression Mean Square)为1.061，剩余的均方(Residual Mean Square)为0.083，F检验统计量的观察值为12.817,相应的概率p值为0.005，小于0.05，可以认为变量x和y之间存在线性关系。

6．回归系数

分析：上表给出线性回归方程中的参数(Coefficients)和常数项(Constant)的估计值，其中常数项系数为0(注：若精确到小数点后6位，那么应该是0.000413)，回归系数为0.059，线性回归参数的标准误差(Std. Error)为0.016,标准化回归系数(Beta)为0.749，回归系数T检验的t统计量观察值为3.580，T检验的概率p值为0.005，小于0.05，所以可以认为回归系数有显著意义。由此可得线性回归方程为：

y=0.000413+0.059x

7．回归诊断

分析：上表是对全部观察单位进行回归诊断(Casewise

Diagnostics-all cases)的结果显示。从表中可以看出每一例的标准

化残差(Std. Residual)、因变量y的观测值和预测值(Predicted Value)以及残差(Residual)。例如第7例的标准化残差最大为1.627。

8．残差统计量

分析：上表是残差统计量(Residual Statistics)。表中显示了预测值(Predicted Value)、标准化预测值(Std. Predicted Value)、残差(Residual)和标准化残差(Std. Residual)等统计量的最小值(Minimum)、最大值(Maximum)、均数(Mean)和标准差(Std. Deviation)。

9．回归标准化残差的直方图

分析：上图是回归分析标准化残差的直方图，正态曲线也被显示在直方图上，用以判断标准化残差是否呈正态分布。由于本例的样本数太少，所以以此难以做出判断。

10．回归标准化的正态P-P图

分析：下图是回归标准化的正态P-P图。该图给出了观察值的残差分布与假设的正态分布的比较，如果标准化残差呈正态分布，则标准化的残差散点应分布在直线上或靠近直线。

回归的意思篇十
《回归分析》

回归分析

引言

在客观世界中, 普遍存在着变量之间的关系.数学的一个重要作用就是从数量上来揭示、表达和分析这些关系。而变量之间关系, 一般可分为确定的和非确定的两类. 确定性关系可用函数关系表示, 而非确定性关系则不然.

例如, 人的身高和体重的关系、人的血压和年龄的关系、某产品的广告投入与销售额间的关系等, 它们之间是有关联的，但是它们之间的关系又不能用普通函数来表示。我们称这类非确定性关系为相关关系。具有相关关系的变量虽然不具有确定的函数关系，但是可以借助函数关系来表示它们之间的统计规律，这种近似地表示它们之间的相关关系的函

数被称为回归函数。回归分析是研究两个或两个以上变量相关关系的一种重要的统计方法。 在实际中最简单的情形是由两个变量组成的关系。考虑用下列模型表示Yf(x). 但是，由于两个变量之间不存在确定的函数关系，因此必须把随机波动考虑进去，故引入模型如下

Yf(x)

其中Y是随机变量，x是普通变量，是随机变量（称为随机误差）。

回归分析就是根据已得的试验结果以及以往的经验来建立统计模型，并研究变量间的相关关系，建立起变量之间关系的近似表达式，即经验公式，并由此对相应的变量进行预测和控制等。其解决问题的大致方法，步骤如下: （1）收集一组包含因变量和自变量的数据；

（2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数；

（3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据；

（5）利用模型对因变量作出预测或解释。

应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MATLAB等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MATLAB统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MATLAB软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等。

实验原理

Ps:由于一元线性回归是多元回归的特例，我们以多元线性回归为例说明其主要原理。

1.多元线性回归

1.1多元线性回归模型

设影响因变量y的自变量因素共有k个：x1,x2,,xk，通过实验得到下列n组观察值：（x1,x2,,xk，yt）， t=1，2，3 „n。

一般地，如果因变量y与解释变量x1,x2,,xk之间服从如下干系：

yb0b1x1b2x2bkxku （1） 则对因变量y及解释变量x1,x2,,xk 作n次观测后，所得到n组观测样本（yt

x1t,x2t,,xkt）(t=1，2， „，n)将满足如下关系：

ytb0b1x1tb2x2tbkxktut (2)

这就是多元线性回归模型的一般形式。（yt，x1t,x2t,,xkt）(t=1，2，„，n)为第t次观测样本，bj（j=0，2，„，k）为模型参数，ut为随机误差项。模型中的回归系数

bj（j=0，2，„，k）就表示当其他解释变量不变的条件下，第j个解释变量的单位变动

对因变量均值的影响，多元线性回归模型中这样的回归系数，称为偏回归系数。

将n次观测样本所遵从的n个随机方程式（4-2）写成方程组形式，有：

y1b0b1x11b2x21bkxk1u1

y2b0b1x12b2x22bkxk2u2 （3） „„ „„ „„ ynb0b1x1nb2x2nbkxknun 其中，随机误差u满足：

Euj0

（4）

Varuj2

Covuj,uk0,jk

将（4-3）利用矩阵运算，可表示为：

y11y21y1

n

x11x21x1n

x21xk1b0u1



x22xk2b1u2







x2nxknbkun

（5）

（常数）

同样（4）可以表示为：

Eu0

CovuEuu2I

y11x11y1x212

记Y为被解释变量的观测值向量：X

yn1x1n

测值矩阵，则多元线性回归模型的矩阵表示如下：

x21xk1



x22xk2

为解释变量的观

x2nxkn

Y=XB+U （6）

1.2多元线性回归模型结果检验

1.2.1回归方程的显著性检验 (1) 回归平方和与剩余平方和

建立回归方程以后， 回归效果如何呢？因变量y与自变量x1,x2,,xm是否确实存在线性关系呢？这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定， 为此， 我们要进一步研究因变量y取值的变化规律。y的每次取值yk（k=1，2，„，n）是有波动的， 这种波动常称为变差， 每次观测值yk的变差大小， 常用该次观侧值yk与n次观测值的平均值

1n

yk

nk1 （7）

（7）式中的

n

yk2

称为离差， 而全部n次观测值的总变差可由总的离差平方和

n

2

n

2

ˆyˆkQUsyyykyky

k1

k1

k1

（8）

其中:

ˆkUy

k1

n

2

称为回归平方和， 是回归值

ˆky

与均值之差的平方和， 它反映了自变量x1,x2,,xm的

变化所引起的y的波动，其自由度

fUm

(m为自变量的个数)。

ˆQyky

k1

n

2

（9）

（9）式称为剩余平方和(或称残差平方和)，是实测值k与回归值k之差的平方和， 它

是由试验误差及其它因素引起的，其自由度fQnm1。总的离差平方和syy的自由度为n1。

如果观测值给定，则总的离差平方和syy是确定的，即Q+U是确定的，因此U大则Q小 反之，U小则Q大，所以U与Q都可用来衡量回归效果，且回归平方和U越大则线性回归效果越显著，或者说剩余平方和Q越小回归效果越显著，如果Q＝0，则回归超平面过所有观测点; 如果Q大，则线性回归效果不好。 (2) 复相关系数

为检验总的回归效果， 人们也常引用无量纲指标

yˆy

syyQU

R



syysyy

2

或

R

（10）

（10）式中的R称为复相关系数。因为回归平方和U实际上是反映回归方程中全部自变量

2

的“方差贡献”，因此R就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例，因此R表示全部自变量与因变量y的相关程度。显然0≤R≤1。复相关系数越接近１，回归效果就越好，因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。但应注意，R与回归方程中自变量的个数m及观测组数n有关，当n相对于m并不很大时，常有较大的R值， 因此实际计算中应注意m与n的适当比例，一般认为应取n至少为m的5到10倍为宜。 1.2.2 回归模型总体显著性检验：F检验

回归模型的总体显著性检验，旨在对模型中的被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立做出推断。

检验模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立，即是检验方程：

ytb0b1x1tb2tx2tbktxktut （11） 中参数是否显著不为0，按照建设检验的原理与程序，提出原假设与备择假设为

H0b1b2bk0

，

H1:bjj1,2,,k

不全为零，由于yt服从正太分布，按照假设检验的原理与程序，yt的一组样本的平方和服从分布。所以有

2

y

ESS = 

t



2

~

2k

ˆyy

RSS= t

2

~

2nk1

2

即回归平方和、残差平方和分别服从自由度为k和（n-k-1）的分布。将自由度考虑进去进行方差分析，有如下方差分析表： 变差来源 源于回归 源于残差 总变差

平方和 ESS RSS TSS

自由度 k n-k-1 n-1

方差 ESS/k RSS/(n-k-1)

进一步根据数理统计学中的定义，可以证明，在H0成立的条件下，统计量 F

ESSk

（12）

RSSnk1服从第一自由度为k和第二自由度为（n-k-1）的F分布。

1.2.3. 回归系数的显著性检验：t检验

前面讨论了回归方程中全部自变量的总体回归效果， 但总体回归效果显著并不说明每个自变量x1,x2,,xm对因变量y都是重要的， 即可能有某个自变量对y并不起作用或者能被其它的

xk

的作用所代替， 因此对这种自变量我们希望从回归方程中剔除， 这样可以

建立更简单的回归方程。显然某个自变量如果对作用不显著， 则它的系数为0， 因此检验每个自变量

i就应取值

xi

是否显著， 就要检验假设:

H0:i0,i1,2,,m

在



i0假设下， 可应用t检验:

ti

i1,2,,m （13）

其中

为矩阵

1

CciiS1sii

的对角线上第i个元素。

对给定的检验水平， 从t分布表中可查出与对应的临界值t， 如果有tit， 则拒绝假设H0， 即认为i与0有显著差异， 这说明xi对y有重要作用不应剔除; 如果有tit则接受假设H0， 即认为00成立， 这说明xi对y不起作用， 应予剔除。

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