2013-2014学年下学期期末考试高二数学 理

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　2013-2014学年下学期期末考试高二数学 理

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　　秘密★启用前

　　数 学 试 题 卷(理科)2014.7

　　本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

　　第I卷(选择题 共50分)

　　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

　　1、已知是实数，设是虚数单位，若则复数是( )

　　A、 B、 C、 D、

　　2、已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P()，则 A、 B、 C、0 D、4

　　3、若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是( )

　　A、 B、 C、 D、

　　4、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为(　 )

　　A、 B、 C、 D、

　　5、的展开式中常数项为( )

　　A、-40 B、-10 C、10 D、40

　　6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为

　　A、2 B、4 C、4 D、12

　　7、函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )

　　A、 B、 C、 D、

　　8、椭圆C：的左右焦点分别为，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率取值范围是( )

　　A、 B、 C、 D、

　　9、现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，，则不同的选法共有种(

　　A、53 B、67 C、85 D、91

　　10、满足且， 不等式M恒成立，则M的最大值是 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　第II卷(非选择题，共100分)

　　二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应位置上。

　　11、设集合A={(x，y) }，B={(x，y)|y=}，则A∩B的子集的个数是_______在R上定义运算 ，若成立，则的集合是_________

　　13、函数在内单增，的取值范围是

　　考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

　　.如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，

　　E为切点，连接AE,BE，∠APE的平分线分别与

　　AE、BE相交于C、D，若∠AEB=,则∠PCE

　　等于(为参数,)与圆(为参数)相交所得的弦长的取值范围是 .

　　16、已知函数f (x)=|x-2|-|x-5|，则不等式f (x)≥x2-8x+15的解集为________.

　　三、解答题：本大题6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

　　17、(13分)已知命题p:(x+1)(x-5)≤0，命题q:

　　(1)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围;

　　(2)若m=5，“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数x的取值范围。

　　18、(13分)为了应对新疆暴力恐怖活动，重庆市警方从武警训练基地挑选警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有4名武警战士(分别记为、、、)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、的概率分别为这三项测试能否通过相互之间没有影响.求能够入选的概率;

　　规定：按入选人数得训练经费每入选1人，则相应的训练基地得到000元的训练经费，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望.19、(13分)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点.

　　(1)求证：平面;

　　(2)求二面角的平面角的余弦值.

　　20、(12分)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex其中e是自然对数的底数a∈R.

　　(1)若a=1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;

　　(2)若a<0，求f(x)的单调区间;

　　(3)若a=-1，函数f(x)的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围.的椭圆C：的左、右焦点，抛物线与椭圆C在第一象限的交点到的距离为.设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点.

　　(1)求椭圆C的方程;

　　(2)是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F2，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由。

　　22、(12分)重已知正项数列{}满足

　　判断数列{}的单调性;

　　求证：

　　2014年重庆一中高2015级高二期末考试

　　数学答案(理科)

　　一.选择题

　　1-5CCBD 6-10CCDBD

　　二.填空题

　　11.412.(-4,1)13.(1,2)14. 15. 16.[5-√3,6]

　　三.解答题

　　17.解:(1)A=,B=

　　(1)B=Ф,1-m>1+m,m<0

　　(2)BФ,m

　　1-m且1+m 综上，

　　“ ”为真命题，“ ”为假命题 则p与q一真一假

　　P真q假，Ф。 P假q真，

　　所以

　　18.解：(I)设A通过体能、射击、爆破分别记为事件M，N，P则能够入选包含以下几个互斥事件：

　　.

　　(Ⅱ)记表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为，又可能的取值为0，1，2，3，4.

　　， ，

　　， ，

　　0 1 2 3 4 P

　　∴训练经费的分布列为：

　　5000 10000 15000 20000

　　19.证明：(Ⅰ)连结和交于，连结，

　　为正方形，为中点，为中点，

　　，

　　平面，平面

　　平面.

　　(Ⅱ)平面，平面，，

　　为正方形，，

　　平面，

　　平面，

　　平面，

　　以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，

　　则，，，

　　平面，平面，

　　，

　　为正方形，，

　　由为正方形可得：，

　　设平面的法向量为

　　，

　　由，令，则

　　设平面的法向量为，

　　，

　　由 ，令，则，

　　设二面角的平面角的大小为，则

　　二面角的平面角的余弦值为

　　20.(1)a=1时，f(x)=(x2+x-1)ex，

　　所以f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex，

　　所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e.

　　又因为f(1)=e，

　　所以所求切线方程为y-e=4e(x-1)，即4ex-y-3e=0.

　　(2)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x-1)ex=[ax2+(2a+1)x]ex，

　　f′(x)<0,所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为

　　(2)若a=，则f′(x)= 当 f′(x)<0，所以f(x)的递减区间单调递增区间为

　　(3)由(2)已知f(x)=(x2+x-1)ex递减，在递增，在上单调递减，所以f(x)在x= -1处取得极小值，在x=0取得极大值-1

　　g(x)经过分析在在递增，在递减，在上单调递增

　　故g(x)在x=-1取得极大值在，在x=0取得极小值m

　　因为函数f(x)与g(x)图像有3个不同的交点。

　　所以

　　所以

　　21.解：(Ⅰ)由离心率可设椭圆C的方程为：，

　　设抛物线和椭圆C的交点为

　　则：，

　　代入椭圆方程：，解得

　　∴椭圆C的方程为.

　　(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为，

　　此时，，，不合题意.

　　当直线AB不垂直于x轴时，设存在点，.

　　设直线AB的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由，得，

　　则，故，此时，直线PQ的斜率为k1=﹣4m，

　　PQ的直线方程为y﹣m=﹣4m(x+)，即y=﹣4mx﹣m.

　　联立，消去y，整理，得(32m2+1)x2+16m2x+2m2﹣2=0.

　　∴，x1x2=，

　　由题意=0， ∴=(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2

　　=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m)

　　=(1+16m2)x1x2+(4m2﹣1)(x1+x2)+1+m2

　　=++1+m2

　　==0，∴m=.

　　∵M在椭圆内，∴，∴m=符合条件.

　　综上所述，存在两点M符合条件，坐标为M(﹣，﹣)和M(﹣，).

　　22解：重已知正项数列{}满足

　　判断数列{}的单调性;

　　求证：

　　分析：(1)，即

　　故数列{}为递增数列.

　　(2) 不妨先证

　　再证：

　　.

　　当时，

　　.

　　易验证当n=1时,上式也成立.

 

　　综上,故有成立.

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