2013-2014学年度下期期末学生质量监测 高一 数学试题

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2013-2014学年度下期期末学生质量监测 高一 数学试题

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扬州市2013—2014学年度第二学期期末调研测试试题

　　高 一 数 学

　　2014.6

　　(满分160分，考试时间120分钟)

　　注意事项：

　　1. 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.

　　2.试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效.

　　一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上)

　　1.不等式 的解集为 ▲ .

　　2.直线 ： 的倾斜角为 ▲ .

　　3.在相距 千米的 两点处测量目标 ，若 ， ，则 两点之间的距离是 ▲ 千米(结果保留根号).

　　4.圆 和圆 的位置关系是 ▲ .

　　5.等比数列 的公比为正数，已知 ， ，则 ▲ .

　　6.已知圆 上两点 关于直线 对称，则圆 的半径为

　　▲ .

　　7.已知实数 满足条件 ，则 的最大值为 ▲ .

　　8.已知 ， ，且 ，则 ▲ .

　　9.若数列 满足： ， ( )，则 的通项公式为 ▲ .

　　10.已知函数 ， ，则函数 的值域为

　　▲ .

　　11.已知函数 ， ，若 且 ，则 的最小值为 ▲ .

　　12.等比数列 的公比 ，前 项的和为 .令 ，数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，则实数 的最小值为 ▲ .

　　13. 中，角A，B，C所对的边为 .若 ，则 的取值范围是

　　▲ .

　　14.实数 成等差数列，过点 作直线 的垂线，垂足为 .又已知点 ，则线段 长的取值范围是 ▲ .

　　二、解答题：(本大题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

　　15.(本题满分14分)

　　已知 的三个顶点的坐标为 .

　　(1)求边 上的高所在直线的方程;

　　(2)若直线 与 平行，且在 轴上的截距比在 轴上的截距大1，求直线 与两条坐标轴

　　围成的三角形的周长.

　　16.(本题满分14分)

　　在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 .

　　(1)求角A的大小;

　　(2)若 ， 的面积 ，求 的长.

　　17.(本题满分15分)

　　数列 的前 项和为 ，满足 .等比数列 满足： .

　　(1)求证：数列 为等差数列;

　　(2)若 ，求 .

　　18.(本题满分15分)

　　如图， 是长方形海域，其中 海里， 海里.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在 处同时出发，沿直线 、 向前联合搜索，且 (其中 、 分别在边 、 上)，搜索区域为平面四边形 围成的海平面.设 ，搜索区域的面积为 .

　　(1)试建立 与 的关系式，并指出 的取值范围;

　　(2)求 的最大值，并指出此时 的值.

　　19.(本题满分16分)

　　已知圆 和点 .

　　(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程;

　　(2)求以点M为圆心，且被直线 截得的弦长为8的圆M的方程;

　　(3)设P为(2)中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得 为定值?若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值;若不存在，请说明理由.

　　20.(本题满分16分)

　　(1)公差大于0的等差数列 的前 项和为 ， 的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项， .

　　①求数列 的通项公式;

　　②令 ，若对一切 ，都有 ，求 的取值范围;

　　(2)是否存在各项都是正整数的无穷数列 ，使 对一切 都成立，若存在，请写出数列 的一个通项公式;若不存在，请说明理由.

　　扬州市2013—2014学年度第二学期期末调研测试试题

　　高 一 数 学 参 考 答 案 2014.6

　　1. 2. 3. 4.相交 5.1 6.3

　　7.11 8. 9. 10. 11.3 12. 13.

　　14.

　　15.解：(1) ，∴边 上的高所在直线的斜率为 …………3分

　　又∵直线过点 ∴直线的方程为： ，即 …7分

　　(2)设直线 的方程为： ，即 …10分

　　解得： ∴直线 的方程为： ……………12分

　　∴直线 过点 三角形斜边长为

　　∴直线 与坐标轴围成的直角三角形的周长为 . …………14分

　　注：设直线斜截式求解也可.

　　16.解：(1)由正弦定理可得： ，

　　即 ;∵ ∴ 且不为0

　　∴ ∵ ∴ ……………7分

　　(2)∵ ∴ ……………9分

　　由余弦定理得： ， ……………11分

　　又∵ ， ∴ ，解得： ………………14分

　　17.解：(1)由已知得： ， ………………2分

　　且 时，

　　经检验 亦满足 ∴ ………………5分

　　∴ 为常数

　　∴ 为等差数列，且通项公式为 ………………7分

　　(2)设等比数列 的公比为 ，则 ，

　　∴ ，则 ， ∴ ……………9分

　　①

　　②

　　① ②得：

　　…13分

　　………………15分

　　18.解：(1)在 中， ，

　　在 中， ，

　　∴ …5分

　　其中 ，解得：

　　(注：观察图形的极端位置，计算出 的范围也可得分.)

　　∴ ， ………………8分

　　(2)∵ ，

　　……………13分

　　当且仅当 时取等号，亦即 时，

　　∵

　　答：当 时， 有最大值 . ……………15分

　　19.解：(1)若过点M的直线斜率不存在，直线方程为： ，为圆O的切线; …………1分

　　当切线l的斜率存在时，设直线方程为： ，即 ，

　　∴圆心O到切线的距离为： ，解得：

　　∴直线方程为： .

　　综上，切线的方程为： 或 ……………4分

　　(2)点 到直线 的距离为： ，

　　又∵圆被直线 截得的弦长为8 ∴ ……………7分

　　∴圆M的方程为： ……………8分

　　(3)假设存在定点R，使得 为定值，设 ， ，

　　∵点P在圆M上 ∴ ，则 ……………10分

　　∵PQ为圆O的切线∴ ∴ ，

　　即

　　整理得： (*)

　　若使(*)对任意 恒成立，则 ……………13分

　　∴ ，代入得：

　　整理得： ，解得： 或 ∴ 或

　　∴存在定点R ，此时 为定值 或定点R ，此时 为定值 .

　　………………16分

　　20.解：(1)①设等差数列 的公差为 .

　　∵ ∴ ∴

　　∵ 的前三项分别加上1，1，3后顺次成为某个等比数列的连续三项

　　∴ 即 ，∴

　　解得： 或

　　∵ ∴ ∴ ， ………4分

　　②∵ ∴ ∴ ∴ ，整理得：

　　∵ ∴ ………7分

　　(2)假设存在各项都是正整数的无穷数列 ，使 对一切 都成立，则

　　∴

　　∴ ，……， ，将 个不等式叠乘得：

　　∴ ( ) ………10分

　　若 ，则 ∴当 时， ，即

　　∵ ∴ ，令 ，所以

　　与 矛盾. ………13分

　　若 ，取 为 的整数部分，则当 时，

　　∴当 时， ，即

　　∵ ∴ ，令 ，所以

　　与 矛盾.

 

　　∴假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列 ，使 对一切 都成立. ………16分

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