古典概型与几何概型练习题

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　　古典概型与几何概型练习题有哪些呢，下面是中国招生考试网http://www.chinazhaokao.com/小编今天为大家精心准备了古典概型与几何概型练习题，希望对大家有所帮助!

　　古典概型与几何概型练习题(1)

　　1. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件 )称为一个基本事件

　　特别提醒：基本事件有如下两个特点：

　　○1任何两个基本事件都是互斥的;

　　○2任何事件都可以表示成基本事件的和。

　　2.所有基本事件的全体，叫做样本空间，用Ω表示，例如“抛一枚硬币”为一次实验，则Ω={正面，反面}。

　　3.等可能性事件(古典概型)：如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是 ，这种事件叫等可能性事件

　　特别提醒：古典概型的两个共同特点：

　　○1有限性，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间Ω中的元素个数是有限的;

　　○2等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。

　　4.古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件 包含 个结果，那么事件 的概率

　　5.几何概型：如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

　　特别提醒：几何概型的特点：

　　○1试验的结果是无限不可数的;

　　○2每个结果出现的可能性相等。

　　6.几何概型的概率公式： P(A)=

　　★ 重 难 点 突 破 ★

　　1.重点：理解古典概型，几何概型的概念，

　　2.难点：掌握古典概型，几何概型的概率公式;

　　3.重难点：.

　　(1) “非等可能”与“等可能”混同

　　问题1: 掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率。

　　错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，……，12}，有利于事件A的结果只有3，故 。

　　分析：公式

　　仅当所述的试验结果是等可能性时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这样情况(1，1)才出，而3有两种情况(1，2)，(2，1)可出现，其它的情况可类推。

　　正确答案 掷两枚骰子可能出现的情况：(1，1)，(1，2)，…，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(2，6)，…，(6，1)，(6，2)，…，(6，6)，结果总数为6×6=36。

　　在这些结果中，事件A的含有两种结果(1，2)，(2，1)。

　　。

　　(2)“可辩认”与“不可辨认”混同

　　问题2: 将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中去(每个盒子容纳球的个数不限)，求事件A=“某指定的n个盒子中恰好各有一球的概率”。

　　错解：将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中，所有可能的结果数为Nn，而事件A含有n!种结果。

　　分析：这种解法不全面，如果球是编号的(即可辨认的)，则答案是对的;若球是不可辩认的，则答案完全错了。因为球是不可辩认的，故只考虑盒子中球的个数，不考虑放的是哪几个球。我们在此用符号“□”表示一个盒子，“○”表示球，先将盒子按号码排列起来

　　1 2 3 4 5…N

　　这样的N个盒子由N+1个“|”构成，然后把n个球任意放入N个

　　盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在这样的放法中，符号“|”和“○”共占有：N+1+n个位置，在这N+1+n个位置中，开始和末了的位置上必须是“|”，其余的N+n-1个位置上“|”和“O”可以任意次序排列。则N-1个“1”和n个“○”在中间的N+n-1个位置上的可以区别的所有可能结果数是 ，将n个不可辨认的球放入指定的n个盒子，使每盒恰有一球的放法只有1种，故事件A含1个结果，从而

　　正解：分两种情况：

　　(1)当球是可辩认的，则

　　(2)当球是不可辨认的，则 。

　　★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

　　考点一：古典概型

　　题型1. 等可能事件的概率计算

　　[例1] 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：

　　(1)恰好第三次打开房门所的概率是多少?

　　(2)三次内打开的概率是多少?

　　(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少?

　　[解题思路]：我们知道最多开5次门，且其中有且仅有一次可以打开门，故每一次可以打开门的概率是相同的都是 .

　　解析： 5把钥匙，逐把试开有 种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果是等可能的。

　　(1)第三次打开房门的结果有 种，故第三次打开房门锁的概率P(A)= =

　　(2)三次内打开房门的结果有 种，因此所求概率P(A)= =

　　(3)方法1 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有 种，从而三次内打开的结果有 种，从而三次内打开的结果有 种，所求概率P(A)= = .

　　方法2 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果 种;三次内恰有两次打开的结果 种.因此，三次内打开的结果有( )种，所求概率P(A)=

　　[例2] 有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次。求下列事件的概率。

　　(1)两次抽到的都是正品;

　　(2)抽到的恰有一件为次品;

　　(3)第1次抽到正品，第2次抽到次品。

　　[解题思路]：请注意题(3)的两种解法，一种是将试验(抽取2件产品)看作是组合(无序的)，一种是将试验看作为排列(有序的)，值得注意的是两种解法的样本空间不同，事件C不属于样本空间Ω，(C Ω)因此不能用card(Ω)进行计算。

　　解析：记Ω={从10件产品中任抽2件}则n=card(Ω)=C

　　(1)记A={从10件产品中抽2件，都是正品}，则m=card(A)=C

　　∴

　　(2)记B={从10件产品中抽2件，一件为正品，一件为次品}，则m=card(B)=

　　∴

　　(3)初看本题与题(2)是相同的，其实不然，题(2)包含于两种可能，“第一次正品、第二次次品”或“第一次次品，第二次正品”，而目前求的是其中之一“第一次正品，第二次次品”的概率。

　　(法一)由于事件B中包含“第一次正品，第2次次品”和“第一次次品第2次正品”两种等可能的情况，∴所求事件的概率 。

　　(法二)记Ω’={从10件产品中，任取一件，(放入甲袋中)，再从剩下9件产品中任取一件，(放入乙袋中)}

　　记C={第一次取出的是正品，第二次取出的是次品}={甲袋中为正品，乙袋中为次品}

　　∴card(Ω’)= ，card(C)=

　　∴

　　【名师指引】样本空间的选取会影响到解答的过程。因此解等可能概型时，建议遵循以下步骤①判断该问题是等可能概型②确定样本空间(即试验的方法，试验的结果将影响样本空间);③用排列组合问题的解法确定card(Ω) 与card(A)，则

　　【新题导练】

　　1.(改编题)一个口袋里装有2只白球，3只黑球，从中摸出2个球

　　(1)共有多少种结果?

　　(2)摸出2个黑球有多少种结果?

　　(3)求摸出2个黑球的概率?

　　(4)求摸出一只黑球一只白球的概率?

　　(5)求摸出至少一只黑球的概率?

　　解(1)共有n= 种结果(card(Ω)=10)

　　(2)都摸出黑球 种结果

　　(3)记A={两次都摸黑球}，

　　(4)记B={一次摸黑球，一次摸白球}，

　　(5)记C={至少一只黑球}

　　则 ={两只都是白球}，

　　2.某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.

　　(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少?

　　(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少?

　　解 (1)储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为 ，随意按下6个数字相当于随意按下 个，随意按下6个数字相当于随意按下 个密码之一，其概率是 .

　　(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为 .

　　考点二: 几何概型

　　题型1: 几何概型的概率

　　[例3] (广东省北江中学2009届高三月考)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=27的内部的概率________.

　　[解题思路]：用几何概型求解，转化为圆内找出圆内满足条件的整点个数。

　　解析：基本事件总数为36，点(x，y)，在圆x2+y2=27的内部记为事件D，则D包含17个事件，所以P(D)= 。

　　[例4] 两人相约6时到7时在某地见面，先到者等候另一人10分钟，如果另一人还没到，这时方可离去，试求这两人能会面的概率?

　　[解题思路]：此题涉及了两个变量，应设未知数，根据条件列出不等式，转化为坐标平面内的平面区域，用几何概型求解。渗透了转化，数形结合等重要的数学思想方法

　　解析：设 、 分别表示两人到达的时刻

　　则 即 其平面区域为

　　设“两人能见面”为事件A，则

　　【名师指引】用几何概型解题，主要运用转化，数形结合等重要的数学思想方法

　　【新题导练】

　　3.(广州市海珠区2009届高三上学期综合测试二(数学理))在区域 内随机撒一把黄豆,落在区域 内的概率是 .

　　答案： ，作图。

　　4.(改编2008海南、宁夏文20)一元二次方程 ，其中 ， ，求此方程有实根的概率。

　　解析：试验的全部结果所构成的区域为

　　，

　　构成事件 的区域为 ，

　　故所求的概率为 。

　　★ 抢 分 频 道 ★

　　基础巩固训练

　　1. (广东省佛山市2008年高三教学质量检测一)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( ).

　　A. B. C. D.

　　答案：B 提示：利用几何概型公式。

　　2. (广东省三水中学高三月考)在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边的正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为( )

　　A.14 B.13 C. D.

　　答案：A 提示：考查几何概型。

　　3.在平面区域中任取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为 。在边长为2的正方形ABCD内任取一点，使得 的概率为 。

　　4.(江苏省滨海县08届高三第三次联考数学试卷)下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，

　　数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影

　　部分的面积为 .

　　.解：解利用几何概型 。

　　5.将一枚骰子先后抛掷2次，计算:

　　(1)一共有多少种不同的结果.

　　(2)其中向上的数之积是12的结果有多少种?

　　(3)向上数之积是12的概率是多少?

　　解 (1)将骰子向桌面先后抛掷两次，一共有36种不同的结果.

　　(2)向上的数之积是12，记(I,j)为“第一次掷出结果为I，第二次掷出结果为j”则相乘为12的结果有(2，6)，(3，4)，(4，3)，(6，2)4种情况.

　　(3)由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次的所有36种结果是等可能的，其中“向上的数之积是12”这一事件记为A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)=

　　6.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题，计算：

　　(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?

　　(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

　　解：(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率 ;

　　(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率

　　综合拔高训练

　　7.从男女生共36人的班中，选出2名代表，每人当选的机会均等。如果选得同性代表的概率是 ，求该班中男女生相差几名?

　　解：设男生有 名，则女生有(36- )人，选出的2名代表是同性的概率为P= ，解得 ，所以男女生相差6人。

　　8. (2008江苏省姜堰中学阶段性考试)

　　将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：

　　(1)两数之和为6的概率;

　　(2)两数之积是6的倍数的概率;

　　(3)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x, y)在直线

　　x-y=3的下方区域的概率

　　解：

　　(1)两数之和为6的概率为

　　(2)此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由下面的列表可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P(A)= = ,

　　答：两数之积是6的倍数的概率为

　　(3)此问题中含有36个等可能基本事件，记“点(x,y)在直线x-y=3的下方区域”为事件B，则由下列的列表可知，事件B中含有其中3个基本等可能基本事件：∴P(B)= = ,答：点(x, y)在直线x-y=3的下方区域的概率为

　　9.(广东北江中学2008月考)设函数 是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求 恒成立的概率。

　　解：

　　…………………………2分

　　…………………………4分

　　于是 成立。……………………6分

　　设事件A：“ 恒成立”，则

　　基本事件总数为12个，即

　　(1，2)，(1，3)，(1，3)，(1，5);

　　(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5);

　　(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5);…………………………8分

　　事件A包含事件：(1，2)，(1，3);

　　(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5);

　　(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)共10个……………………10分

　　由古典概型得 ……………………12分

　　10.(广东深圳外国语学校2008高三月考)已知三个正数 满足 .

　　(1)若 是从 中任取的三个数，求 能构成三角形三边长的概率;

　　(2)若 是从 中任取的三个数，求 能构成三角形三边长的概率.

　　分析:在(1)中 的取值是有限可数的，可用列举法解决;(2)中 的取值是无穷的,得用几何概型的方法求解.

　　解:(1)若 能构成三角形，则 .

　　①若 时， .共1种;

　　②若 时。 .共2种;

　　同理 时，有3+1=4种;

　　时，有4+2=6种;

　　时，有5+3+1=9种;

　　时，有6+4+2=12种.

　　于是共有1+2+4+6+9+12=34种.

　　下面求从 中任取的三个数 ( )的种数：

　　①若 ， ，则 ，有7种; ，有6种; ， ，有5种;……; ，有1种.

　　故共有7+6+5+4+3+2+1=28种.

　　同理， 时，有6+5+4+3+2+1=21种; 时，有5+4+3+2+1=15种; 时，有4+3+2+1=10种; 时，有3+2+1=6种; 时，有2+1=3种; 时，有1种.

　　这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种.

　　∴ 能构成三角形的概率为 .

　　(2) 能构成三角形的充要条件是 .

　　在坐标系 内画出满足以上条件的区域(如右图阴影部分)，由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可.

　　又 ，于是所要求的概率为

　　古典概型与几何概型练习题(2)

　　1.(2011•广东高州市大井中学模拟)函数y=lnx+1-x2-3x+4的定义域为(　　)

　　A.(-4，-1)　　　　　　 B.(-4,1)

　　C.(-1,1) D.(-1,1]

　　[答案]　C

　　[解析]　要使函数有意义，须x+1>0-x2-3x+4>0，

　　∴x>-1-4<x<1，∴-1<x<1.

　　2.函数y=l og2|x|的图象大致为(　　)

　　[答案]　C

　　[解析]　由|x|=1时，y=0排除A、B;由x>0时，y=log2x为增函数，排除D，选C.

　　3.(2011•浙江省“百校联盟”交流联考)已知0<a<1，loga(1-x) <logax，则(　　)

　　A.0<x<1 B.x<12

　　C.0<x<12 D.12<x<1

　　[答案]　C

　　[解析]　由1-x>0x>01-x>x解得0<x<12.

　　4.(文)(2011•山东实验中学模拟)已知函数f(x)=13x，x≥3fx+1，x<3，则f(2+log32)的值为(　　)

　　A.-227 B.154

　　C.227 D.-54

　　[答案]　B

　　[解析]　∵0<log32<1，∴2<2+log32<3，

　　∴f(2+log32)=f(3+log32)=f(log354)=(13)log354=154.

　　(理)(2011•北京朝阳一模)已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=lgx，则f(f(1100))的值等于(　　)

　　A.1lg2 B.-1lg2

　　C.lg2 D.-lg2

　　[答案]　D

　　[解析]　当x<0时，-x>0，则f(-x)=lg(-x).

　　又函数为奇函数，f(-x)=-f(x)，∴f(x)=-lg(-x).

　　∴f(1100)=lg1100=-2，f(f(1100))=f(-2)=-lg2.

　　5.(文)(2011•天津文，5)已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6，则(　　)

　　A.a>b>c B.a>c>b

　　C.b>a> c D.c>a>b

　　[答案]　B

　　[解析]　∵a=log23.6>1，c=log43.6<1.∴a>c.

　　又∵c=log43.6>log43.2=b.∴a>c>b.

　　(理)(2011•重庆文，6)设a=log13 12，b=log13 23，c=log334，则a、b、c的大小关系是(　　)

　　A.a<b<c B.c<b<a

　　C.b<a<c D.b<c<a

　　[答案]　B

　　[解析]　∵a=log13 12，b=log13 23，

　　∵log13 x单调递减而12<23

　　∴a>b且a>0，b>0，又c<0.故c<b<a.

　　6.函数y=log12 (x2-5x+6)的单调增区间为(　　)

　　A.(52，+∞) B.(3，+∞)

　　C.(-∞，52) D.(-∞，2)

　　[答案]　D

　　[解析 ]　由x2-5x+6>0得x>3或x<2，由s=x2-5x+6=(x-52)2-14知s=x2-5x+6在区间(3，+∞)上是增函数，在区间(-∞，2)上是减函数，因此函数y=log12 (x2-5x+6)的单调增区间是(-∞，2)，选D.

　　7.(2011•湖北重点中学联考)已知实数a、b满足等式log12 a=log13 b，有下列四个关系式： ①0<a<b<1;②b>a>1;③a=b;④0<a<1<b.其中不可能成立的关系式是________.

　　[答案]　①④

　　[解析]　在同一直角坐标系中作出y=log12 x和y=log13 x的图象，通过图象分析，可知成立的关系式有(ⅰ)0<b<a<1;(ⅱ)b=a=1;(ⅲ)1<a<b.

　　由此可知①④不可能成立.

　　8.(文)已知函数f(x)=log3x，x>013x，x≤0，那么不等式f(x)≥1的解集为________.

　　[答案]　{x|x≤0或x≥3}

　　[解析]　f(x)≥1化为x>0log3x≥1或x≤013x≥1

　　∴x≥3或x≤0.

　　(理)(2011•浙江省宁波市“十校联考”)设a>0，a≠1，函数f(x)=ax2+x+1有最大值，则不等式loga(x-1)>0的解集为________.

　　[答案]　{x|1<x<2}

　　[解析]　∵t=x2+x+1=(x+12)2+34≥34，

　　f(x)=ax2+x+1有最大值，∴0<a<1，

　　∴不等式loga(x-1)>0化为0<x-1<1，

　　∴1<x<2.

　　9.(2011•北京东城一模)设f(x)=2ax，x≤1，logax2-1，x>1，且f(22)=1，则f[f(2)]=________.

　　[答案]　6

　　[解析]　∵f(22)=loga[(22)2-1]=loga7=1，

　　∴a=7 .

　　又f(2)=log73<1，∴f(f(2))=2×7log73=2×3=6.

　　1 0.(文)(2010•南通模拟)已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(a>0，且a≠1).

　　(1)求函数f(x)的定义域和值域;

　　(2)若函数f(x)有最小值为-2，求a的值.

　　[解析]　(1)由1-x>0x+3>0得-3<x<1，

　　所以函数的定义域为{x|-3<x<1}.

　　f(x)=loga(1-x)(x+3)，

　　设t=(1-x)(x+3)=4-(x+1)2，

　　所以t≤4，又t>0，则0<t≤4.

　　当a>1时，y≤loga4，值域为{y|y≤log a4}，

　　当0<a<1时，y≥loga4，值域为{y|y≥loga4}.

　　(2)由题意及(1)知：当0<a<1时，函数有最小值，

　　所以loga4=-2，解得a=12.

　　(理)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1).

　　(1)证明函数f(x)的图象在y轴的一侧;

　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)是f(x)图象上两点，证明直线AB的斜率大于0.

　　[解析]　(1)由ax-1>0，得ax>1.

　　当a>1时，解得x>0，此时f(x)的图象在y轴右侧;

　　当0<a<1时，解得x<0，此时f(x)的图象在y轴左侧.

　　∴对a>0且a≠1的任意实数a，f(x)的图象总在y轴一侧.

　　(2)①当a>1时，x>0，由0<x1<x2得，1<ax1<ax2，

　　∴f(x2)-f(x1)=loga(ax2-1)-loga(ax1-1)

　　=loga >0.

　　直线AB的斜率kAB=fx2-fx1x2-x1>0.

　　②当0<a<1时，由x1<x2<0得，

　　ax1>ax2>1，f(x2)-f(x1)>0.

　　同上可得kAB>0.

　　11.(2011•安徽省淮南市模拟)若x∈(e-1,1)，a=lnx，b=(12)lnx，c=elnx，则(　　)

　　A.c>b>a B.b>a>c

　　C.a>b>c D.b>c>a

　　[答案]　D

　　[解析]　∵x∈(e-1,1)，∴a=lnx∈(-1,0);

　　c=elnx=x∈(1e，1);

　　b=(12)lnx∈(1,2).

　　∴a<c<b.

　　12.(2011•广东省佛山市综合测试)已知函数f(x)=log2xx>02x　x≤0，若f(a)=12，则实数a等于(　　)

　　A.-1 B.2

　　C.-1或2 D.1或-2

　　[答案]　C

　　[解析]　 当a>0时，log2a=12，所以a=2，当a≤0时，2a=12，所以a=-1.

　　13.(2011•丹阳一模)已知函数f(x)=3x+1，x≤0log2x，x>0，则使函数f(x)的图象位于直线y=1上方的x的取值范围是________.

　　[答案]　{x|-1<x≤0或x>2}

　　[解析]　由y>1得，x≤03x+1>1或x>0log2x>1，，

　　∴-1<x≤0或x>2.

　　14.(2011•绍兴一模)已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，且f(lgx)=f(1)，则x的值等于________.

　　[答案]　10或110

　　[解析]　∵f(x)在[0，+∞)上是单调函数，且为偶函数，又f(lgx)=f(1)，∴lgx=±1，∴x=10或110.

　　15.(文)已知函数f(x)=log4(4x+1)+2kx(k∈R)是偶函数.

　　(1)求k的值;

　　(2)若方程f(x)=m有解，求m的取值范围.

　　[解析]　(1)由函数f(x)是偶函数可知，f(-x)=f(x)，

　　∴log4(4x+1)+2kx=log4(4-x+1)-2kx，

　　即log44x+14-x+1=-4kx，

　　∴log44x=-4kx，

　　∴x=-4kx，即(1+4k)x=0，

　　对一切x∈R恒成立，∴k=-14.

　　(2)由m=f(x)=log4(4x+1)-12x

　　=log44x+12x=log4(2x+12x)，

　　∵2x>0，∴2x+12x≥2，∴m≥log42=12.

　　故要使方程f(x)=m有解，m的取值范围为[12，+∞).

　　(理)(2011•金华模拟)设集合A={x|2(log12 x)2-7log2x+3≤0}，若当x∈A时，函数f(x)=log2x2a •log2x4的最大值为2，求实数a的值.

　　[解析]　∵A={x|2(log2x)2-7log2x+3≤0}

　　={x|12≤log2x≤3}={x|2≤x≤8}，

　　而f(x)=(log2x-a)(log2x-2)=(log2x)2-(a+2)log2x+2a，

　　令log2x=t，∵2≤x≤8，∴12≤t≤3.

　　∴f(x)可转化为g(t)=t2-(a+2)t+2a，其对称轴为直线t=a+22，

　　①当t=a+22≤74，即a≤32时，

　　[g(t)]max=g(3)=2⇒a=1，符合题意;

　　②当t=a+22>74，即a>32时，

　　[g(t)]max=g(12)=2⇒a=116，符合题意.

　　综上，a=1，或a=116.

　　16.(2011•马鞍山市二检)设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).

　　(1)若对任意的x∈[0,1]，不等式f(x)-m≤0都成立，求实数m的最小值;

　　(2)求函数g(x)=f(x)-x2-x在区间[0,2]上的极值.

　　[解析]　(1)设f(x)在[0,1]的最大值为f(x)max，

　　依题意有f(x)max≤m，

　　∵f′(x)=2(1+x)-21+x=2x2+4x1+x，

　　当x∈[0,1]时，f ′(x)≥0，故f(x)在[0,1]为增函数，

　　f(x)max=f(1)=4-2ln2，于是m≥4-2ln2，

　　即实数m的最小值为4-2ln2.

　　(2)g(x)=f(x)-x2-x=1+x-2ln(1+x)，

　　g′(x)=1-21+x=x-1x+1.

　　当x>1时，g′(x)>0，当-1<x<1时，g′(x)<0，

　　故g(x)在[0,1]上是减函数，在(1,2]上是增函数，

　　从而g(x)在[0,2]上的极 小值为g(1)=2-2ln2=lne24.

　　1.设a=lge，b=(lge)2，c=lge，则(　　)

　　A.a>b>c B.a>c>b

　　C.c>a>b D.c>b>a

　　[答案]　B

　　[解析]　∵1<e<3，∴1<e<e<e2<10，

　　∴0<lge<1.则lge=12lge<lge，即c<a.

　　∵c-b=12lge-(lge)2=12lge(1-2lge)

　　=12lge•lg 10e2>0.∴c>b，故选B.

　　2.已知0<a<1，logam<logan<0，则(　　)

　　A.1<n<m B.1<m<n

　　C.m<n<1 D.n<m<1

　　[答案]　A

　　[解析]　由0<a<1得函数y=logax为减函数.

　　又由logam<logan<0=loga1，得m>n>1，故应选A.

　　3.(2011•四川文，4)函数y=(12)x+1的图象关于直线y=x对称的图象大致是(　　)

　　[答案]　A

　　[解析]

　　解法一：作y=(12)x的图象，然后向上平移1个单位，得y=(12)x+1的图象，再把图象关于y=x对称即可.

　　解法二：令x=0得y=2，∴对称图象过点(2,0)，排除C、D;又令x=-1得y=3，∴对称图象过点(3 ，-1)，排除B，故选A.

　　4.函数f(x)=|log12 x|的图象是(　　)

　　[答案]　A

　　[解析]　f(x)=|log12 x|=|log2x|

　　=log2x　x≥1-log2x　0<x<1，故选A.

　　[点评]　可用筛选取求解，f(x)的定义域为{x|x>0}，排除B、D，f(x)≥0，排除C，故选A.

　　5.已知函数f(x)=logm(x+1)，且m>1，a>b>c>0，则faa，fbb，fcc的大小关系是(　　)

　　A.faa>fbb>fcc B.fcc>fbb>faa

　　C.fbb>fcc>faa D.faa>fcc>fbb

　　[答案]　B

　　[解析]　本题考查数形结合思想，fxx可以转化成f(x)上的点与原点连线的斜率，

　　据函数y=log2(x+1)的图象，设A(a，f(a))，B(b，f(b))，C(c，f(c))，显然kOA<kOB<kOC，

　　∴faa<fbb<fcc，故选B.

　　6.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=2012x+log2012x，则方程f(x)=0的实根的个数为(　　)

　　A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.5

　　[答案]　C

　　[解析]　当x>0时，f(x)=0即2012x=-log2012x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)=2012x，f2(x)=-log2012x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)=0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x<0时，方程f(x)=0也有一个实根，又因为f(0)=0，所以方程f(x)=0的实根的个数为3.

　　7.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是________.

　　[答案]　x=5

　　[解析]　原方程化为log3(x2-10)=log3(3x)，由于log3x在(0，+∞)上严格单增，则x2-10=3x，解之得x1=5，x2=-2.∵要使log3x有意义，应有x>0，∴x=5.

　　8.(2011•上海交大附中月考)函数f(x)=lg(x+ax-6)(a∈R)的值域为R，则实数a的取值范围是________.

　　[答案]　(-∞，9]

　　[解析]　①a≤0时，x+ax-6能取遍一切正数，

　　∴f(x)的值域为R;

　　②a>0时，要使f(x)的值域为R，应使x+ax-6可以取到所有正数，故x>0时，x+ax-6的最小值2a-6≤0，∴0<a≤9，综上a≤9.

　　古典概型与几何概型练习题(3)

　　1.(2011•济南模拟)对于回归分析，下列说法错误的是(　　)

　　A.在回归分析中，变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定

　　B.线性相关系数可以是正的或负的

　　C.回归分析中，如果r=±1，说明x与y之间完全线性相关

　　D.样本相关系数r∈(-1,1)

　　[答案]　D

　　[解析]　∵相关系数|r|≤1，∴D错.

　　2.(2011•西安模拟)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(　　)

　　①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有 99人患有肺病;②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误

　　A.① B.①③

　　C.③ D.②

　　[答案]　C

　　[解析]　①推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A，B，③正确.排除D，选C.

　　3.(文)(2011•陕西文，9)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如下图)，以下结论正确的是(　　)

　　A.直线l过点(x，y)

　　B.x和y 的相关系数为直线l的斜率

　　C.x和y的相关系数在0到1之间

　　D.当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

　　[答案]　A

　　[解析]　∵回归直线方程y^=a^+b^x中a^=y--b^x-，

　　∴y^=y--b^x-+b^x，当x=x-时，y^=y-，∴直线l过定点(x-，y-).

　　(理)(2011•山东文，8)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

　　广告费用x(万元) 4 2 3 5

　　销售额y(万元) 49 26 39 54

　　根据上表可得回归方程y^=b^x+a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)

　　A.63.6万元 B.65.5万元

　　C.67.7万元 D.72.0万元

　　[答案]　B

　　[解析]　此题必须明确回归直线方程过定点(x，y).

　　易求得x=3.5，y=42，则将(3.5,42)代入y^=b^x+a^中得：42=9.4×3.5+a^，即a^=9.1，则y=9.4x+9.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65 .5万元.

　　4.(2011•湖南文，5)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

　　男 女 总计

　　爱好 40 20 60

　　不爱好 20 30 50

　　总计 60 50 110

　　由χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d算得，χ2=110×40×30-20×20260×50×60×50≈7.8.

　　附表：

　　P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001

　　k 3.841 6.635 10.828

　　参照附表，得到的正确结论是(　　)

　　A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

　　B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

　　C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

　　D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

　　[答案]　A

　　[解析]　根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635可知，有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别有关”.

　　5.某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值计 算，得i=18xi=52，i=18yi=228，i=18x2i=478，i=18xiyi=1849，则其回归直线方程为(　　)

　　A.y^=11.47+2.62x B.y^=-11.47+2.62x

　　C.y^=2.62+11.47x D.y^=11.47-2.62x

　　[答案]　A

　　[解析]　由i=18xi=52，i=18yi=228知，

　　x-=6.5，y-=28.5，b^=i=18xiyi-8x-y-i=18x2i-8x-2

　　=1849-8×6.5×28.5478-8×6.52≈2.62，

　　∴a^=y--b^x-=28.5-2.62×6.5=11.47.

　　6.(2011•中山四校联考、湖南六校联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：

　　甲 乙 丙 丁

　　r 0.82[来源:Zxxk.Com] 0.78 0.69 0.85

　　m 106 115 124 103

　　则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性(　　)

　　A.甲 B.乙

　　C.丙 D.丁

　　[答案]　D

　　[解析]　r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，故选D.

　　7.(2011•辽宁文，14)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由 调查数据得到y对x的回归直线方程：y^=0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.

　　[答案]　0.254

　　[解析]　由回归直线方程为y^=0.254x+0.321知收 入每增加1万元，饮食支出平均增加0.254万元.

　　8.(2011•合肥模拟)已知x、y之间的一组数据如下表：

　　x 1 3 6 7 8

　　y 1 2 3 4 5

　　对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为l1：y=13x+1与l2：y=12x+12，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是________(填l1或l2).

　　[答案]　l2

　　[解析]　用y=13x+1作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为s1=73;用y=12x+12作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为s2=12.∵s2<s1，故用直线y=12x+12拟合程度更好.

　　9.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

　　专业

　　性别　　 非统计专业 统计专业

　　男 13 10

　　女 7 20

　　为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2=50×13×20-10×7223×27×20×30≈4.844.

　　因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________.

　　[答案]　5%

　　[解析]　根据独立性检验临界值表可知“x与y有关系”的可信度，P(χ2≥3.841)=0.05，∴有95%的可能认为x与y有关系，即判断出错的可能性为5%.

　　10.(2010•扬州模拟)为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析.下面是该生7次考试的成绩：

　　数学 88 83 117 92 108 100 112

　　物理 94 91 108 96 104 101 106

　　(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明;

　　(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物 理上的合理性建议.

　　[解析]　(1)x-=100+-12-17+17-8+8+127=100;

　　y-=100+-6-9+8-4+4+1+67=100;

　　∴s2数学=9947=142，s2物理=2507，

　　从而s2数学>s2物理，∴物理成绩更稳定.

　　(2)由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到

　　b^=i=17xiyi-7x-y-i=17x2i-7x-2=497994≈0.5，

　　a^=y--b^x-=100-0.5×100=50，

　　∴回归直线方程为y^=0.5x+50.

　　当y=115时，x=130，即该生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分.建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高.

　　11.(2010•广东文)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：

　　年份 2005 2006 2007 2008 2009

　　收入x 11.5 12.1 13 13.3 15

　　支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12

　　根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系.

　　[答案]　13　正

　　[解析]　找中位数时，将样本数据按大小顺序排列后奇数个时中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数，由统计资料可以看出，年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者正相关.

　　12.(2011•佛山二模)在2010年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

　　价格x 9 9.5 10 10.5 11

　　销售量y 11 10 8 6 5

　　通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线 方程为________.

　　[答案]　y^=-3.2x+40

　　[解析]　i=15xiyi=392，x-=10，y-=8，i=15 (xi-x-)2=2.5，代入公式，得b^=-3.2，所以，a^=y--b^x-=40，故回归直线方程为y^=-3.2x+40.

　　13.(2011•东北四校联考)某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：

　　气温(℃) 18 13 10 -1

　　杯数 24 34 38 64

　　由表中数据算得线性回归方程y^=bx+a中的b≈-2，预测当气温为-5℃时，热茶销售量为________杯.(已知回归系数b=i=1nxiyi-nx-y-i=1nx2i-nx-2，a=y--bx-)

　　[答案]　70

　　[解析]　根据表格中的数据可求得x-=14×(18+13+10-1)=10，y-=14×(24+34+38+64)=40.

　　∴a=y--bx-=40-(-2)×10=60，∴y^=-2x+60，当x=-5时，y^=-2×(-5)+60=70.

　　14.(2011•湖南六校联考)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒 人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

　　日期 1月

　　10日 2月

　　10日 3月

　　10日 4月

　　10日 5月

　　10日 6月

　　10日

　　昼夜温差x

　　(℃) 10 11 13 12 8 6

　　就诊人数

　　y(人) 22 25 29 26 16 12

　　该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.

　　(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率;

　　(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y^=bx+a;

　　(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想?

　　(参考公式：b=i=1n xi-x-yi-y-i=1n xi-x-2，a=y--bx-.)

　　[解析]　将6组数据按月份顺序编号为1,2,3,4,5,6，从中任取两组数据，基本事件空间Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}中共15个基本事件，设抽到相邻两个月的事件为A，则A={(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)}中共5个基本事件，

　　∴P(A)=515=13.

　　(2)由表中数据求得x-=11，y-=24，

　　由参考公式可得b=187，

　　再由a=y--bx-求得a=-307，[来源:Z&xx&k.Com]

　　所以y关于x的线性回归方程为y^ =187x-307.

　　(3)当x=10时，y^=1507，|1507-22|=47<2;

　　同样，当x=6时，y^=787，|787-12|=67<2.

　　所以，该小组所得线性回归方程是理想的.

　　15.(文)(2011•郑州市质检)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：

　　60分

　　以下 61～

　　70分 71～

　　80分 81～

　　90分 91～

　　100分

　　甲班(人数) 3 6 11 18 12

　　乙班(人数) 4 8 13 15 10

　　现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.

　　(1)试分析估计两个班级的优秀率;

　　(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.

　　优秀人数 非优秀人数 合计

　　甲班

　　乙班

　　合计

　　参考公式及数据：χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，

　　P(χ2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10

　　k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706

　　P(χ2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

　　k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

　　[解析]　(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，

　　甲班优秀人数为30人，优秀率为3050=60%，

　　乙班优秀人数为25人，优秀率为2550=50%，

　　所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.

　　(2)

　　优秀人数 非优秀人数 合计

　　甲班 30 20 50

　　乙班 25 25 50

　　合计 55 45 100

　　因为χ2=100×30×25-20×25250×50×55×45=10099≈1.010，

　　所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.

　　(理)(2011•福建普通高中质检)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人.陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级 中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.

　　甲 乙

　　6 9 3 6 7 9 9

　　9 5 1 0 8 0 1 5 6

　　9 9 4 4 2 7 3 4 5 8 8 8

　　8 8 5 1 1 0 6 0 7 7

　　4 3 3 2 5 2 5

　　(1)在乙班样本中的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率;

　　(2)由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关.

　　甲班(A方式) 乙班(B方式) 总计

　　成绩优秀

　　成绩不优秀

　　总计

　　附：χ2=nn11n22-n12n212n1+n2+n+1n+2

　　P(χ2≥k) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001

　　k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

　　[解析]　(1)设“抽出的两个均‘成绩优秀’”为事件A.

　　从不低于86分的成绩中随机抽取2 个的基本事件为(86,93)，(86,96)，(86,97)，(86,99)，(86,99)，(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共15个.

　　而事件A包含基本事件：

　　(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共10个.

　　所以所求概率为P(A)=1015=23.

　　(2)由已知数据得

　　甲班(A方式) 乙班(B方式) 总计

　　成绩优秀 1 5 6

　　成绩不优秀 19 15 34

　　总计 20 20 40

　　根据列联表中数据，

　　χ2=40×1×15-5×1926×34×20×20≈3.137，

　　由于3.137>2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.

　　1.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

　　甲的成绩

　　环数 7 8 9 10

　　频数 5 5 5 5

　　乙的成绩

　　环数 7 8 9 10

　　频数 6 4 4 6

　　丙的成绩

　　环数 7 8 9 10

　　频数 4 6 6 4

　　s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有(　　)

　　A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3

　　C.s1>s2>s3 D.s2>s3>s1

　　[答案]　B

　　[解析]　计算可得甲、乙、丙的平均成绩都为8.5.

　　s1=

　　120[57-8.52+58-8.52+59-8.52+510-8.52]

　　=2520.同理s2=2920，s3=2120，

　　∴s2>s1>s3.

　　2.(2010•厦门三中阶段训练)某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是(　　)

　　8 9　8　7

　　9 2　x　3　4　2　1

　　A.5　　　　 B.4

　　C.3　　　　 D.2

　　[答案]　D

　　[解析]　去掉最低分87，去掉最高分94(假设x≤4)，则7×91=80×2+9+8+90×5+2+3+2+1+x，∴x=2，符合题意，故选D.

　　3.(2010•广东佛山)为了对2007年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数(已折算为百分制)从小到大排列是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排列是72、77、80、84、88、90、93、95.

　　(1)若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率;

　　(2)若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：

　　学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8

　　数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95

　　物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95

　　化学分数z 67 72 76 80 84 87 90 92

　　用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度;

　　(3)求y与x、z与x的线性回归方程(系数精确到0.01)，并用相关指数比较所求回归模型的效果.

　　参考数据：x-=77.5，y-=85，z-=81，i=18 (xi-x-)≈1050，i=18 (yi-y-)2≈456，i=18 (zi-z-)≈550，i=18 (xi-x-)(yi-y-)≈688，i=18 (xi-x-)(zi-z-)≈755，i=18 (yi-y^i)≈7，i=18 (zi-z^i)2≈94，1050≈32.4，456≈21.4，550≈23.5.

　　[解析]　(1)这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，种数是C34A33(或A34)，然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是A55.根据乘法原理，满 足条件的种数是C34A33A55.

　　这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有A88.

　　故所求的概率P=C34A33A55A88=114.

　　(2)变量y与x、z与x的相关系数分别是

　　r=68832.4×21.4≈0.99，r′=75532.4×23.5≈0.99

　　可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关.

　　(3)设y与x、z与x的线性回归方程分别是y^=bx+a，z^=b′x+a′

　　根据所给的数据可以计算出，b=6881050=0.65，a=85-0.65×77.5=34.63，

　　b′=7551050=0.72，a′=81-0.72×77.5=25.20

　　所以y与x和z与x的回归方程分别是

　　y^=0.65x+34.63，z^=0.72x+25.20，

　　又y与x、z与x的相关指数是R2=1-7456≈0.98，R′2=1-94550≈0.83

　　故回归模型y^=0.65x+34.63比回归模型z^=0.72x+25.20的拟合的效果好.

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