利用函数单调性求某参数的取值范围的小结

导读：　　　函数单调性是函数最重要的性质之一，单调性的应用是函数单调性的逆向思维，能够加深对概念和性质的理解，是考查的重点和热点，本文就单 ...

　　函数单调性是函数最重要的性质之一，单调性的应用是函数单调性的逆向思维，能够加深对概念和性质的理解，是考查的重点和热点，本文就单调性的应用之一：求字母参数的范围，通过一些例题来阐述已知不同类型函数的单调性求参数范围的处理方法。 下面是中国招生考试网http://www.chinazhaokao.com/小编今天为大家精心准备了利用函数单调性求某参数的取值范围的小结，希望对大家有所帮助!

　　利用函数单调性求某参数的取值范围的小结(一)

　　二次函数的定义：

　　一般地，如果

　　

 

　　(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数。

　　二次函数的图像：

　　是一条关于

　　

 

　　对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

　　抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向;a>0时，抛物线开口向上;a<0时，抛物线开口向下;

　　②有对称轴

　　

 

　　;

　　③有顶点

　　

 

　　;

　　④c表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，c)。

　　性质：二次函数y=ax2+bx+c，

　　①当a>0时，函数f(x)的图象开口向上，在(-∞，-

　　

 

　　)上是减函数，在[-

　　

 

　　，+∞)上是增函数;

　　②当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在(-∞，-

　　

 

　　)上是增函数，在[-

　　

 

　　，+∞)是减函数。

　　二次函数

　　

 

　　(a，b，c是常数，a≠0)的图像：

　　图像函数的性质

　　a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

　　

 

　　值域a>0a<0

　　

 

　　

 

　　奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数

　　a<0单调性a>0a<0

　　

 

　　

 

　　

 

　　

 

　　

 

　　图像特点

　　

 

　　二次函数的解析式：

　　(1)一般式：

　　

 

　　(a，b，c是常数，a≠0);

　　(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h,k)，则其解析式为

　　

 

　　;

　　(3)双根式：若相应一元二次方程的两个根为

　　

 

　　,则其解析式为

　　

 

　　。

　　二次函数在闭区间上的最值的求法：

　　(1)二次函数

　　

 

　　在区间[p,g]上的最值问题

　　一般情况下，需要分

　　

 

　　

 

　　三种情况讨论解决.

　　当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

　　

 

　　.

　　①

　　

 

　　②

　　

 

　　③

　　

 

　　④

　　

 

　　特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论.

　　(2)二次函数

　　

 

　　在区间[m.n]上的最值问题一般地，有以下结论：

　　

 

　　特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

　　二次函数的应用：

　　(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路：

　　理解题意;建立数学模型;解决题目提出的问题。

　　(2)应用二次函数求实际问题中的最值：

　　即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

　　利用函数单调性求某参数的取值范围的小结(二)

　　一、二次函数

　　例1：已知函数f(x)=x2+4(1-a)x+1在[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是_______。

　　解题关键：一元二次函数应抓住开口方向以及对称轴与给定区间端点的位置关系，特别注意对称轴与端点重合也是满足的。

　　解：f(x)的对称轴为：x=2(a-1)。

　　由题意可知：2(a-1)≤1

　　所以a≤。

　　变式1：函数f(x)=ax2+4(1-a)x+1在[1,+∞)上是增函数，求a的取值范围_______。

　　分析：由于二次项前的系数不确定故先对a是否为零进行讨论，在是一元二次函数的情况下再考虑与开口方向与对称轴。

　　解：1.当a=0时，f(x)=4x+1满足。

　　2.当a≠0时，f(x)的对称轴为 。

　　综上得：a∈[0，2]。

　　变式2：f(x)=ax2+4(1-a)x+1在[1，2]上是增函数，求a的取值范围_______。

　　分析：在变式1的基础上，结合开口方向与对称轴发现多了开口向下对称轴在区间右侧或右端点处的情形。

　　解：1.当a=0时，f(x)=4x+1满足。

　　2.当a≠0时，f(x)的对称轴为： 。

　　范围是__________。

　　解题关键：“先局部”，即确保各个部分均为减函数，“再整体”,即左边函数在1处的函数值大于等于右边函数在1处的函数值。

　　解：由题意可知：

　　变式：“在R上单调递增”

　　解：由题意可知：a无解

　　三、复合函数

　　例3：已知f(x)+log (x2-ax+3a)在[2，+∞)上单调递减，则a的取值范围是_________。

　　解题关键：对于复合函数应利用“同增异减”的法则转化为内层函数g(x)=x2-ax+3a的单调性，同时一定要注意内层函数整体作为真数应大于0这一前提条件。

　　解：外函数为f(x)+log ，内函数为g(x)=x2-ax+3a 因为外函数在(0，+∞)单调递减。由题意可知：g(x)=x2-ax+3a在[2，+∞)上单

　　调递增，且g(x)>0在[2，+∞)上恒成立∴ =>-4<a≤4

　　四、分式函数

　　例4：已知函数f(x)= 在(-2，+∞)上单调递增，则a的取值范围是_______。

　　解题关键：对形如 的函数通常采用分离常数的方法，再通过图像变换来处理相关问题。

　　解：

　　故f(x)的图像是将f(x)的图像向左平移2个单位，再向上平移a个单位，由题意可知：在(0，+∞)上单调递增，∴1-2a<0，∴a>。

　　五、高次函数

　　例5：已知f(x)=x3-ax在(-∞，-2]和[2，+∞)上单调递增，则a的取值范围是_______。

　　解题关键：对于高次的多项式函数常用导数来处理其单调性，即转化为导数的恒成立问题，而对恒成立问题的常规处理方法为(1)分离字母参数(2)数形结合。

　　解：导数f'(x)=3x2-a，因为f(x)=x3-ax在(-∞，-2]和[2，+∞)上单调递增，由题意知：f’(x)=3x2-a≥0在(-∞，-2]和 [2，+∞)上恒成立。

　　方法一：分离字母参数

　　即：a≤3x2在(-∞，-2]和[2，+∞)上恒成立，

　　当x∈(-∞，-2]和[2，+∞)时[3x2]min=12，∴a≤12

　　方法二：数形结合

　　因为：f'(x)=3x2-a在(-∞，-2]上单调递减，在[2，+∞)上单调

　　例6.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x 若函数f(x)在区间(-1，1)上不单调，则a的取值范围为__________。

　　解题关键：对“不单调”的处理

　　解：f(x)在(-1，1)上不单调

　　f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0在(-1，1)上有根且非重根

　　f'(x)=(x-a)[3x+(a+2)]

　　f'(x)=0的两根为a或 ，

　　由题意知：-1　　以上是几种常见函数在已知单调性的情况下求字母参数范围的典型例题，通过分析、求解，可知，此类问题的解题策略是首先要分清函数类型，然后根据不同类型采用对应处理方法解决。

　　利用函数单调性求某参数的取值范围的小结(三)

　　专题概述

　　函数的性质丰富多彩，其中函数的单调性以其丰富的内涵、深刻的特征在高考中备受亲睐，近几年多次出现利用函数的单调性求参数的取值范围的题型。本专题尝试探索几种函数的单调性与参数的取值范围间的关系，这类问题主要转化为恒成立问题、或存在性问题中的求参问题。而解决此类问题，主要是划归与转化思想，把这类函数问题转化为含参不等式的恒成立问题，再根据其不等式的结构特征求参数的取值范围。

　　典型考查方式

　　利用二次函数的对称轴求参数的取值范围

　　顾名思义，这类问题考查的是含参的二次函数，已知其在某一区间内的单调性，求解参数的取值范围。解决这类问题，主要是利用二次函数的图象，若函数在某一区间内单调，则说明此单调区间在对称轴的一侧，则可利用其大小关系得到参数的取值范围。

　　例题：(2014四川省成都七中高三(上)期中考试)函数

在区间 上是增函数,则实数 的取值范围是____.A. B. C. D.

 

　　解答解：∵

 

　　当

时, 在 内恒单调递增,故满足题意.

 

　　当

时,为二次函数,

 

　　∴对称轴为

 

　　∵函数

在区间 上为单调增函数,

 

　　∴可得

解得： .

 

　　故

 

　　故选

.

 

　　利用函数的性质求参数的取值范围

　　这类问题一般涉及基本初等函数，如对数函数、指数函数、幂函数等。题目一般比较简单，通过它们的图象和简单性质即可求解。

　　例题：(2012河南省平顶山市宝丰县红星高中高一(上)月考)已知函数

在区间 上为增函数,则实数 的取值范围组成的集合为____.A. B. C. D.

 

　　解答解：函数

 

　　由复合函数的增减性可知,若

在 为增函数,

 

　　∴

 

　　故选

.

 

　　利用判别式求参数的取值范围

　　这类问题主要涉及原函数为三次，导函数为二次的含参类取值范围问题。原函数为

上的单调函数，故其导函数与 轴只有一个交点或没有交点，即导函数的 ，解不等式即可得到参数的取值范围。

 

　　例题：(2013陕西省宝鸡中学高三(上)第二次月考)若函数

是 上的单调函数,则实数 的取值范围是____.A. B. C. D.

 

　　解答解：若函数

是 上的单调函数,只需 恒成立,即

 

　　∴

.

 

　　故选

.

 

　　利用变量分离法求参数的取值范围

　　变量分离法可谓是在高中阶段非常重要的一种求参手段，在解决很多问题时是屡试不爽。题目给出函数在某一区间内的单调性，则通过求导，可以知道导函数在此区间内与零的大小关系，利用变量分离，将参数与变量分离到不等式两侧，根据变量的取值范围，得到参数的取值范围。

：虽然很难，但是很管用哟!一定要会啊!!!

 

　　例题：(2008湖北)若

在 上是减函数,则 的取值范围是____.A. B. C. D.

 

　　解答解：由题意可知

在 上恒成立,

 

　　即

在 上恒成立,

 

　　由于

在 上是增函数且 所以

 

　　故选

 

　　利用函数的零点定理求参数的取值范围

　　这类问题主要是针对于在某一区间上有极值点的含参函数，即在某一区间内不单调。对原函数求导，则可以得到导函数在此区间内存在零点，通过解导函数的零点，可得到参数的不等关系，即解得参数的取值范围。

　　例题：(2011江西省赣州市于都中学高二(下)第一次月考)已知函数

在区间 上不是单调函数,则 的范围为____.A. B. C. D.

 

　　解答解：

 

　　∵

在区间 上不是单调函数,

 

　　∴

在区间 上有极值.

 

　　∵

的对称轴为 (显然 )

 

　　∴

在区间 上只有一个根,

 

　　∴

即

 

　　解得

 

　　故选

利用函数单调性求某参数的取值范围的小结相关热词搜索：小结 函数 范围

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