函数模型及其应用教案

导读：　　　函数模型本身就来源于现实,并用于解决实际问题,下面是中国招生考试网http: www chinazhaokao com 小编今天为大家精心准备了函数模型及 ...

　　函数模型本身就来源于现实,并用于解决实际问题,下面是中国招生考试网http://www.chinazhaokao.com/小编今天为大家精心准备了函数模型及其应用教案，希望对大家有所帮助!

　　函数模型及其应用教案(1)

　　本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问题刻画过程中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华。本课内容是课本必修1中第三章的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想，这也为后面高中的学习做了铺垫。通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及其它地方的应用的广泛性，能初步运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题， 函数模型本身就来源于现实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。

　　我设计本课的教学目标是:知识和能力目标为体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程;并了解函数模型的广泛应用;通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力。德育目标为通过本课的学习来提高学生探究学习新知识的兴趣，培养学生，勇于探索的科学态度。在教学过程中为了实现我的教学目标，从引入到例题的选取我都尽量做到来源于现实而服务于教学目标，在课堂教学中始终围绕教学目标进行，包括学生的小组学习，合作探究的过程。这是为了突出本课的重点，也就是让学生在探究中体会并形成函数模型在刻画现实问题中的基本操作过程。由于现场收集的数据不同于课本中例题的数据，所以一方面让学生体会原始数据在处理上的复杂性，所以数据的处理上还应借助于其它信息技术方面的工具。另一方面让学生体会在复杂过程中团队合作的有效性，从而突破教学难点。

　　由于学生在初中的时候学过一些函数模型在解数学应用题中的应用，但只限于二次函数的应用， 由于在本课前学生学习了指对数函数及相关图象和性质， 在学习过指数函数后学生对于所得图象的认识会自然想到所学过的二次函数与指数型函数，所以对图象的联想方面不会有什么问题，也就是说学生在学习这部分内容时在函数模型的准备上不会有太多的问题，这样在备课时我预期学生在学习中可能出现的问题是①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验。针对上述可能出现的问题，我所设计的课堂处理是，课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性，同时让学生使用计算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应计算速度，在解析式得出后引导学生什么是标准，不能有多个标准，标准多了也就没有了标准，所以得出的标准应该是所得结论中那个相对较好的，这样以期引导学生想到对结果进行筛选从而引出检验。

　　我设计本课题的教学过程是从常见问题引入，引导学生并能过小组合作探究来实现本节的重点，也就是形成函数模型在刻画现实问题中的基本过程，所以过本节课设计成学生在掌握了一些常见函数的图象和性质的基础上进行的一节探究式教学课。

　　由于函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。所以我选择从判断老师的胖廋出发来引入问题，为的是引起学生的兴趣和引入本节的实例。同时，为了尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型在刻画现实问题的基本过程，我选择了在课堂上进行现场收集数据的方式，这一过程没有确定的数据可以供我们老师在课前操作的，所以这一过程有一定的不可预知性，不过本课的重点是让学生体验应用的基本过程，所以这样设计还是能为我们的教学目标服务的，同时从对数据的处理和计算中体会模型建立的可操作性、有效性等特点，另外因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这体现在作图与求解析式这两个环节上， 通过课上的实际操作让学生体会到这一过程会用到电脑和计算器以及图形工具，也让学生在体会了函数应用的基本操作过程中还是合作操作与现代计算工具的应用的必要性，从而突出了我所设计的德育目标。

　　在整个教学过程中我采用了小组合作学习，一来是由于数据的处理靠一个学生是不太好做的，二来通过小组合作学习可以让学生在探究函数模型应用的基本过程中互相帮助互相补充，可以使学生对这一基本过程的探究更加完善，同时可以培养学生在体验模型解决实际问题中有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。这样学生可以集一组之长在形成重点的同时更好的突破难点，我的预期效果是让学生在合作探究的过程中体验团队的力量，另一方面加快课堂进程，使结论的形成和得出能在课堂所要求的时间内完成。

　　函数模型及其应用教案(2)

　　【内容】建立函数模型刻画现实问题

　　【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。

　　【教学目标】

　　(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程.

　　(2)了解函数模型的广泛应用

　　(3)通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力

　　(4)提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度

　　【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用

　　【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理

　　【教学目标解析】通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本过程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本过程中让学生亲身体验函数应用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)

　　【学生学习中预期的问题及解决方案预设】

　　①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验

　　针对上述可能出现的问题,我在课前课上处理是,课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性,同时让学生使用计算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应计算速度,在解析式得出后引导学生得出的标准应该是只有一个的较好的,不能有很多的标准,这样以期引导学生想到对结果进行筛选从而引出检验.

　　【教学用具】多媒体辅助教学(ppt、计算机)。

　　【教学过程】

　　教学前言：

　　函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.

　　【教学过程】

　　教学前言：

　　函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.

　　教学内容师生活动设计意图

　　探 究 新 知引入：

　　教师：大家觉得我胖吗?

　　学生回答

　　教师：我们在街上见到一个人总是会判断这个人的胖瘦，我们衡量一个人的胖瘦一般是以自己或是他人为标准的，那么我们还见过一些用来计算人胖瘦的式子，目前全世界都使用体重指数(BMI)来衡量一个人胖或不胖：

　　体重/身高?(以米为单位) BMI在18.5-22.5时属正常范围，BMI大于22.5 为超重，BMI大于30为肥胖。

　　教师在黑板上计算一下自己的结果。那既然能用一个式子来计算，说明我们可以把这个问题用数学知识来解决，要得到这个式子之类的标准，我们能用一个人的身高和体重来确定吗?

　　学生回答

　　教师：当然是找的人越多越好，那我们在课上先少找几个人来研究一下吧，每个小组选一个同学说一下你的身高和体重吧

　　学生说，教师把相关数据填在用PPT展示的一张表格上

　　教师：好，有了这些数据我们就可以来研究了，那接下来我们怎么来处理刚收集到的这些数据呢?

　　学生回答(预期:画散点图——连线——找函数)

　　教师：好，大家按小组先画图连线然后讨论一下你们小组认为哪个函数的图像符合

　　学生活动并回答

　　教师：好，那大家分一下工，你们几个小组来计算这个函数解析式，那几个小组来计算那个函数解析式……

　　学生分小组活动……

　　教师:(把学生算出的式子写在黑板上)大家计算出的解析式为什么会不完全相同呢?

　　学生回答

　　教师:我们计算的函数解析式是不是都可以用来刻画这个问题呢?

　　学生回答

　　教师:我们要怎么样来检验呢?

　　学生回答(代入其它的点来验证)

　　教师:那大家来检验一下哪个模型更符合数据情况

　　学生分小组进行检验

　　教师:好了,我们利用刚才收集的数据通过我们的努力得出了一个式子,它也就是符合大家的情况的一个胖瘦的标准,既是我们班的一个标准,能用来衡量其它班的同学吗?那我们来计算一下老师的结果是什么样的.

　　教师:可见用世界肥胖标准对老师的体重进行的评价和所建立的数学模型计算的结果是基本一致的。由此可见，所建立的模型是大体符合实际情况,看来老师是真得要下定决心减肥了.

　　教师由生活中常见到的现象引出问题，并引导学生进行思考

　　学生合作探究、动手实践，借助小组利用数据表格来确定可行的函数模型，并展示自己的结果

　　教师引导学生对结果进行检验

　　学生通过计算器与作图,利用小组合作在完成任务的同时形成本节重点并突破难点

　　通过日常生活的例子引出本节主要内容，来提高学生本节课学习的兴趣,提高小组学习的效率

　　学生利用小组合作在完成任务的同时形成本节重点的框架:函数刻画实际问题的基本过程.从而实现教学目标1,3,4

　　课 堂 小 结

　　教师:我们一起来回忆一下刚才解决问题的过程(引导学生集体回答)

　　得出：函数建模刻画现实问题的基本过程：(教师用PPT展示)

　　教师:

　　①下面大家把自己的数据输入计算一下你的情况是什么样的

　　②大家在课下可以利用研究性学习的时间,调查一下全年级的同学的身高和体重来研究一下,并进一步体会函数建模来刻画现实问题的基本过程

　　教师用PPT展示函数建模刻画现实问题的基本过程

　　教师留下一个扩展性作业，让学生课后完成

　　学生通过探究从而巩固教学目标1,2,3,4.并形成本节重点.

　　把问题进行拓展，让学生去亲身体会函数建模刻画现实问题的基本过程,从而巩固了本节教学目标

　　课 后 反 思

　　函数模型及其应用教案(3)

　　数学必修1：函数模型 及其应用

　　1.抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量;

　　2.建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数 的解析式;

　　3.求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.

　　这些步骤用框图表示是：

　　例1.如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b<a),在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.

　　解：设四边形EFGH的面积为S，

　　则S△AEH=S△CFG= x2,

　　S△BEF=S△DGH= (a-x)(b-x)，

　　∴S=ab-2[ 2+ (a-x)(b-x)]

　　=-2x2+(a+b)x=-2(x- 2+ 

　　由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}.

　　又0<b<a,∴0<b< ,若 ≤b,即a≤3b时，

　　则当x= 时，S有最大值 ;

　　若 >b,即a>3b时，

　　S(x)在(0,b]上是增函数，

　　此时当x=b时，S有最大值为

　　-2(b- )2+ =ab-b2,

　　综上可知，当a≤3b时，x= 时，

　　四边形面积Smax= ,

　　当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.

　　变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使 每天所赚的利润最大?并求出最大值.

　　解：设每个提价为x元(x≥0)，利润为y元，每天销售总额为(10+x)(100-10x)元，

　　进货总额为8(100-10x)元，

　　显然100-10x>0,即x<10,

　　则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x<10).

　　当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.

　　例2.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度

　　v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴

　　的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时，求s的值;

　　(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;

　　(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这

　　场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将

　　侵袭到N城?如果不会，请说明理由.

　　解：(1)由图象可知：

　　当t=4时，v=3×4=12,

　　∴s= ×4×12=24.

　　(2)当0≤t≤10时，s= •t•3t= t2，

　　当10<t≤20时，s= × 10×30+30(t-10)=30t-150;

　　当20<t≤35时，s= ×10×30+10×30+(t-20)×30- ×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.

　　综上可知s=

　　(3)∵t∈[0，10]时，smax= ×102=150<650.

　　t∈(10，20]时，smax=30×20-150=450<650.

　　∴当t∈(20，35]时，令-t2+70t-550=650.

　　解得t1=30,t2=40,∵20<t≤35,

　　∴t=30，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.

　　变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台 ，

　　需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函 数为R(x)=5x- (万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台).

　　(1)把利润表示为年产量的函数;[来源:学&科&网Z&X&X&K]

　　(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大?

　　(3)年产量是多少时，工厂才不亏本?

　　解：(1)当x≤5时，产品能售出x百台;

　　当x>5时，只能售出5 百台，

　　故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)

　　=

　　(2)当0≤x≤5时，L(x)=4.75x- -0.5，

　　当x=4.75时，L(x)max=10.78125万元.

　　当x>5时，L(x)=12-0.25x为减函数，

　　此时L(x)<10.75(万元).∴生产475台时利润最大.

　　(3)由

　　得x≥4.75- =0.1(百台)或x<48(百台).

　　∴产品年产量在10台至4800台时，工厂不亏本.

　　例3.某市居民自 来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.

　　(1)求y关于x的函数;

　　(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.

　　解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，

　　y=(5x+3x)×1.8=14.4x;

　　当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，

　　即3x≤4且5x>4,

　　y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.

　　当乙的用水量超过4吨时，

　　即3x>4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，

　　所以y=

　　( 2)由于y=f(x)在各段区间上均为单 调递增，

　　当x∈[0， ]时,y≤f( )<26.4;

　　当x∈( ， ]时，y≤f( )<26.4;

　　当x∈( ,+∞)时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,

　　所以甲户用水量为5x=7.5吨，

　　付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元);

　　乙户用水量为3x=4.5吨，

　　付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).

　　变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.

　　(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少?

　　(2)我国人口在1998年底达到12 .48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿?

　　以下数据供计算时使用：

　　数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000

　　对数lgN 0.0043 0.0065 0.0073 0.1173 0.3010

　　数N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78

　　对数lgN 0.4771 0.6990 1.0962 1.1176 1.1392

　　解：(1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，

　　则y•(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，

　　即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2，

　　两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，

　　则lg(1+x)= =0.007525，

　　∴1+x≈1.017，得x=1.7%.

　　(2)依题意，y≤12.48(1+1%)10，

　　得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392,

　　∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.

　　答每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.

　　解决函数应用问题应着重注意以下几点：

　　1.阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据 之间的关系，数据的单位等等;

　　2.建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域;

　　3.求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.

　　4.还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.

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