特殊值三角边角关系

导读：　特殊值三角边角关系(共5篇)...

特殊值三角边角关系(一)
特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背．

那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法

根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法．

首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系．

对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、斜边的比是

掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意

1一个锐角三角函数值，如：sin300,cos300

2求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点． 在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1

住：sin450cos450

，tan450cot4501。这种方法形象、直观、简单、2

易记，同时巩固了三角函数的定义．

二、列表法：

说明：正弦值随角度变化，即0˚ →30˚→45˚ →60˚ →90˚变化；值从

321

0→→→→1变化，其余类似记忆．

222

三、口诀记忆法

口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°=

1．这种方法有趣、简单、易记．tan45° 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜＜90°时， 则0＜sin＜1； 0＜cos＜1 ； tan＞0 ； cot＞0。

②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A＜B＜90°时，则sinA＜sinB；tanA＜tanB；cosA＞cosB；cotA＞cotB；特别地：若0°＜＜45°，则sinA＜cosA；tanA＜cotA；若45°＜A＜90°，则sinA＞cosA；tanA＞cotA．

例1.tan30°的值等于（ ）

A．

1 2

B

．

2

C

．

3

D

分析：本题考查特殊锐角三角函数值理解情况．解决本题需要熟练记住特殊锐角的三角函数值．

解：选C．

评注：如果没有记住30°的正切值，可以先画一个含有30°角的直角三角形，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，找到三边关系，根据定义求解．

例2.如果a是等腰直角三角形的一个锐角，则tan的值是（ ） A．

1

2

B

C．1 D

析解：本题主要考查特殊锐角三角函数值理解情况．解决本题需要熟练记住特殊锐角的三角函数值．因为等腰直角三角形的锐角a450，所以故选C。 tantan045，1

评注：如果没有记住45°的正切值，可以在等腰直角三角形中借助勾股定理找到三边关系，然后根据三角函数定义求解．

例3.已知sinA

1

，且∠A为锐角，则∠A=（ ） 2

A.30° B.45° C.60° D.75° 析解：根据sin300

1

可得，A等于30°，故选A． 2

评注：特殊锐角三角函数值在解决实际问题中应用非常广泛，所以我们要熟练掌握30°，45°、60°角的三角函数值，

例4.计算tan602sin452cos30的结果是（ ） A．2

B

．

C

D．1

分析：本题是一道与锐角三角函数值有关的计算问题，解决问题的关键是先确定函数值，然后再进行实数的运算．

解：tan602sin452cos30

2

2． 22

故选C．

评注：与特殊锐角三角函数值的有关运算，先写出每个锐角函数值，然后转成具体的实数运算，应注意运算的顺序和计算的方法．

特殊值三角边角关系(二)
巧背特殊角的三角函数值

要记住一些特殊角的三角函数值 ，可以通过下面的方法：

1、首先必须记住下面20个字的歌诀：

正弦 对比斜 ， 余弦 邻比斜 ， 正切 对比邻 ， 余切 邻比对。

2、再结合下面两个三角形就可以记住这些三角函数值。【特殊值三角边角关系】

请大家一定要注意，图上标的数值并不是指的三角形的边长，而是三边之间的长度的倍数关系，或者是比例关系，这一点一定要记牢！！！

对于30°的角来说，它的对（就是指对边）是1 ，它的邻（就是指邻边）就是 ， 对于60°的角来说，它的对（就是指对边）是 ，它的邻（就是指邻边）就是 1 ， 对于30° 和 60°的角来说， 斜（就是指斜边） 都是 2 ，所以

30°的正弦记作 sin30°= 1 30°的余弦记作 cos30°= 22

30°的正切记作tan30°=1

3 30°的余切记作cot30°=3 13

60°的正弦记作 sin60°= 13 60°的余弦记作 cos60°= 22

60°的正切记作tan60°=

13  60°的余切记作cot60°=13 45°的正弦记作sin45°= 1

2

1

22 22 2 45°的余弦记作cos45°=

1

1

1 45°的余切记作cot45°=1 1 45°的正切记作tan45°=1

对于0°和90°角的三角函数值，同学们可以自己开动脑筋来记忆，但是关键是要把锐角三角函数的定义搞清楚！

特殊值三角边角关系(三)
特殊角三角函数值表

特殊角三角函数值表：

函数名

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有

正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正弦（sin）:角α的对边比斜边 余弦（cos）:角α的邻边比斜边

正切（tan）:角α的对边比邻边 余切（cot）:角α的邻边比对边

特殊函数人倒数关系: tanα •cotα=1 sinα •cscα=1 cosα •secα=1 特殊函数人商数关系: tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα

特殊函数人平方关系：sinα²+cosα²=1 1+tanα²=secα² 1+cotα=cscα² 以下关系，函数名不变，符号看象限

sin（π+α）=-sinα cos（π+α）=-cosα

tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα

sin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosα

tan（π－α）=-tanα cot（π－α）=-cotα

sin（2π－α）=-sinα cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=-tanα cot（2π－α）=-cotα

以下关系，奇变偶不变，符号看象限

sin（90°-α

tan（90°-α

sin（90°+α

tan（90°+α

sinα

cosα

cosα

sinα

sinα

sinα

cosα

cosα •cosβ •sinβ •cosβ •sinβ+sinβ-sinβ+cosβ-cosβ）=cosα cos（90°-α）=cotα cot（90°-α）=cosα cos（90°+α）=-cotαcot（90°+α=（1/2）*[sin（α=（1/2）*[sin（α=（1/2）*[cos（α=（1/2）*[cos（α+β+β+β+β）=sinα ）=tanα ）=sinα ）=-tanα 特殊三角函数人积化和差的关系： ）+sin（α－β）] ）－sin（α－β）] ）+cos（α－β）] ）－cos（α－β）] 特殊三角函数 - 和差化积公式 =2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2] =2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2] =2*[cos(α+β)/2]*[cos(α-β)/2] =-22*[sin(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]

特殊三角函数 - 两角和与差的三角函数公式 sin（α

cos（α

tan（α

sin（α

cos（α

tan（α

+β）=sinαcosβ+cosαsinβ +β）=cosαcosβ-sinαsinβ +β）==(tanα+tanβ )/(1－tanα •tanβ) -β）=sinαcosβ-cosαsinβ -β）=cosαcosβ+sinαsinβ －β）=(tanα-tanβ )/(1+tanα •tanβ)

特殊值三角边角关系(四)
《直角三角形的边角关系》答案

《直角三角形的边角关系》复习提纲

一,.锐角三角函数的概念 如图，在△ABC中，∠C=90°

① 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，

记为sinA，即sinA

A的对边a



斜边c【特殊值三角边角关系】

② 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，

记为cosA，即cosA

A的邻边b



斜边c

A的对边a



A的邻边b

③锐角A的对边与邻边的比叫做

∠A的正切，记为tanA，即tanA

④

锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即cotA

例：（2012连云港，3，3

分）小明在学习“锐角三角函数”矩形纸片ABCD沿过点B

的直线折叠，使点A落在BC上的点E 点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F

处，这样就可以求出值是 （

） B. +1 C. 2.5 【解析】注意折叠后两点对称，也就是说△ABE和△AEF都是等腰三角形。

得到67.5°的角为∠FAB。

【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出于是BF=（）x.在直角三角形ABF中，tan∠FAB=

BF1)x

+1=tan67.5°.选B。 ABx

【点评】根据折叠得到A、E关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两线段的长。

1

二,特殊角的三角函数值（重点）

根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。

例1:（2012，湖北孝感，14，3分）计算：cos245°+tan30°·sin60°=_____________． 【解析】分别把cos45°

=1。

【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 例2:（2011甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°

的值，tan30°

的值，sin60°

的值代入进行计算即可．答案1

4cos(3.14)0tan的值。

3【答案】由sin(α+15°

)=

三， 解直角三角形（重点）

2

1

得α=45°,原式

=41133 22

在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c 。 （1）三边之间关系： a2b2c2 （2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°

A（3）边角之间关系： sin

ab

cosB , cosAsinB, cca1b1

tanAcotB, tanBcotA

btanBatanA11

abch(h为斜边上的高) 22

（4）面积公式： SABC

（5）同角的三角函数的关系:

sinA2＋cosA2＝1 ; tanA•cotA＝1 ; tanA＝

（6）互为余角的函数之间的关系

sin(90°－A)＝cosA， cos(90°－A)＝sinA， tan(90°－A)＝cotA， cot(90°－A)＝tanA

在直角三角形中，除直角的五个量中，若已知其中的两个量（其中至少有一条边），就可以求出另外三个未知量，有如下四种类型：

sinAcosA

，cotA＝ cosAsinA

注意：

3

(1)选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算。

（2）对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等。对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程（组），然后解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。

（3）在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化。

例1:（2012四川内江，11，3分）如图1所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点， 则sinA的值为( )

A．

1

2

B

C

D

图2

【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（如下图2所示）， 恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝

CD AC

例2:（2011湖北荆州，8，3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（ ）

A．

52121

B． C． D． 145714

【解析】如图，作ABC,延长BA，过点C作BA的垂线, 交BA

延长线于点D,CAB120, ∴CAD60,





B

A

4

∴CDsin60AC【特殊值三角边角关系】

12,ADcos60AC21，∴BDADAB5

22

4

∴BCCD2BD22,∴sinB

CD321

,答案选D. 

BC214

例3: (2012重庆，20，6分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。若AB=2，求△ABC的周长。（结果保留根号） 【解析】由△ABC是直角三角形和△ABD是等边三角形，可求出∠C=30°, 利用三角函数可求出答案。

【答案】∵△ABD是等边三角形∴∠B=60°∵∠BAC=90°∴∠C=30°∵sinC=

∴BC=

例4:（2012江苏淮安，24，10分）如图，△ABC中，∠C=90º，点D在AC上，已知∠BDC=45º，

BD=10AB=20．求∠A的度数．

【解析】先根据锐角三角函数的定义，在Rt△BDC中求出BC的值， 再在Rt△ABC中利用特殊角的三角函数值即可求出∠A的度数． 【答案】解：在Rt△BDC中，因为sin∠BDC=

AB

BC

ABAC

=4, ∵cosC= ∴AC=BC〃cosC=23 ∴△ABC的周长是6+23 sinCBC

BC

， BD

=10． 所以BC=BD×sin∠

×sin45º

=10

在Rt△ABC中，因为sin∠A=

四、锐角三角函数及解直角三角形的实际应用（难点）

BC101

==，所以∠A=30º． AB202

解直角三角形，可将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系.一般有以下几个步骤：

1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图， 弄清已知和未知；

2.明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、

5

特殊值三角边角关系(五)
八上数学------三角形边角关系拔高题型

八上数学------三角形边角关系拔高题型

一．选择题（共3小题）

1．（2015•郑州模拟）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）

A．110° B．115° C．120° D．130°

2．（2015•桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ）

A．110° B．120° C．130° D．140°

3．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）

A．90° B．100° C．130°

二．解答题（共9小题） D．180°

4．（2016春•淮安期中）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度数．

5．（2014秋•富顺县校级期末）如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．

6．（2016春•故城县期末）已知：a、b、c为三角形的三边长

化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|

7．（2013秋•鲤城区校级期末）一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c=2：3：4，求a，b，c的值．

8．（2015秋•东莞校级期中）若三角形三条边的长度依次为x，x﹣2，x+2，则x的取值范围是多少？

9．（2016春•迁安市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．

（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是 ．

（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．

10．（2006•浙江）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．

11．（2015春•东城区期末）已知∠MON，点A，B分别在射线ON，OM上移动（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C．

（1）如图1，若∠MON=90°，试猜想∠ACB的度数，并直接写出结果；

（2）如图2，若∠MON=α，问：当点A，B在射线ON，OM上运动的过程中，∠ACB的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含α的式子表示）；若改变，请说明理由；

（3）如图3，若∠MON=α，BC平分∠ABO，其他条件不改变，问：（2）中的结论是否仍然成立，请直接写出你得结论．

12．（2016春•太仓市期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．

（1）如图1，若AB∥ON，则

①∠ABO的度数是 ；

②当∠BAD=∠ABD时，x= ；当∠BAD=∠BDA时，x= ．

（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

一．选择题（共3小题）

1．（2015•郑州模拟）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）

A．110° B．115° C．120° D．130°

【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．

【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC的度数．

【解答】解：∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，

∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣65°=115°．

故选B．

【点评】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键．

2．（2015•桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ）

A．110° B．120° C．130° D．140°

【考点】三角形的外角性质．

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．

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