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圆锥曲线高考题

2016-12-20 21:34:48 高考真题 来源:http://www.chinazhaokao.com 浏览:

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  圆锥曲线高考题(一)

  (2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))椭圆 的左、右焦点分别是 ,离心率为 ,过 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为1.

  (Ⅰ)求椭圆 的方程;

  (Ⅱ)点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点,连接 ,设 的角平分线 交 的长轴于点 ,求 的取值范围;

  (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过 点作斜率为 的直线 ,使得 与椭圆 有且只有一个公共点,设直线 的斜率分别为 ,若 ,试证明 为定值,并求出这个定值.

  【答案】解:(Ⅰ)由于 ,将 代入椭圆方程 得

  由题意知 ,即 又

  所以 , 所以椭圆方程为

  (Ⅱ)由题意可知: = , = ,设 其中 ,将向量坐标代入并化简得:m( ,因为 ,

  所以 ,而 ,所以

  (3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

  ,所以 ,而 ,代入 中得

  为定值.

  33.(2013年高考上海卷(理))(3分+5分+8分)如图,已知曲线 ,曲线 ,P是平面上一点,若存在过点P的直线与 都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.

  (1)在正确证明 的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);

  (2)设直线 与 有公共点,求证 ,进而证明原点不是“C1—C2型点”;

  (3)求证:圆 内的点都不是“C1—C2型点”.

  【答案】:(1)C1的左焦点为 ,过F的直线 与C1交于 ,与C2交 于 ,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为 ;

  (2)直线 与C2有交点,则

  ,若方程组有解,则必须 ;

  直线 与C2有交点,则

  ,若方程组有解,则必须

  故直线 至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.

  (3)显然过圆 内一点的直线 若与曲线C1有交点,则斜率必存在;

  根据对称性,不妨设直线 斜率存 在且与曲线C2交于点 ,则

  直线 与圆 内部有交点,故

  化 简得, ............①

  若直线 与曲线C1有交点,则

  化简得, .....②

  由①②得,

  但此时,因为 ,即①式不成立;

  当 时,①式也不成立

  综上, 直线 若与圆 内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,

  即圆 内的点都不是“C1-C2型点” .

  34.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))如图,在正方形 中, 为坐标原点,点 的坐标为 ,点 的坐标为 .分别将线段 和 十等分,分点分别记为 和 ,连结 ,过 做 轴的垂线与 交于点 .

  (1)求证:点 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 的方程;

  (2)过点 做直线与抛物线 交于不同的两点 ,若 与 的面积比为 ,求直线的方程.

  【答案】解:(Ⅰ)依题意,过 且与x轴垂直的直线方程为

  , 直线 的方程为

  设 坐标为 ,由 得: ,即 ,

  都在同一条抛物线上,且抛物线 方程为

  (Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为

  由 得

  此时 ,直线与抛物线 恒有两个不同的交点

  设: ,则

  又 ,

  分别带入 ,解得

  直线的方程为 ,即 或

  35.(2013年高考湖南卷(理))过抛物线 的焦点F作斜 率分别为 的两条不同的直线 ,且 , 相交于点A,B, 相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为 .

  (I)若 ,证明; ;

  (II)若点M到直线 的距离的最小值为 ,求抛物线E的方程.

  36.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))如图,点 是椭圆 的一个顶点, 的长轴是圆 的直径. 是过点 且互相垂直的两条直线,其中 交圆 于两点, 交椭圆 于另一点

  (1)求椭圆 的方程; (2)求 面积取最大值时直线 的方程.

  【答案】解:(Ⅰ)由已知得到 ,且 ,所以椭圆的方程是 ;

  (Ⅱ)因为直线 ,且都过点 ,所以设直线 ,直线 ,所以圆心 到直线 的距离为 ,所以直线 被圆 所截的弦 ;

  由 ,所以

  ,所以

  ,

  当 时等号成立,此时直线

  37.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))如题(21)图,椭圆的中心为原点 ,长轴在 轴上,离心率 ,过左焦点 作 轴的垂线交椭圆于 两点, .

  (1)求该椭圆的标准方程;

  (2)取垂直于 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 ,过 作圆心为 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 外.若 ,求圆 的标准方程.

  38.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))设椭圆 的焦点在 轴上

  (Ⅰ)若椭圆 的焦距为1,求椭圆 的方程;

  (Ⅱ)设 分别是椭圆的左、右焦点, 为椭圆 上的第一象限内的点,直线 交 轴与点 ,并且 ,证明:当 变化时,点 在某定直线上.

  【答案】解: (Ⅰ) .

  (Ⅱ) .

  由 .

  所以动点P过定直线 .

  39.(2013年高考新课标1(理))已知圆 : ,圆 : ,动圆 与 外切并且与圆 内切,圆心 的轨迹为曲线 C.

  (Ⅰ)求C的方程;

  (Ⅱ) 是与圆 ,圆 都相切的一条直线, 与曲线C交于A,B两点,当 圆P的半径最长时,求|AB|.

  【答案】由已知得圆 的圆心为 (-1,0),半径 =1,圆 的圆心为 (1,0),半径 =3.

  设动圆 的圆心为 ( , ),半径为R. [来源:www.5ykj.Com]

  (Ⅰ)∵圆 与圆 外切且与圆 内切,∴|PM|+|PN|= = =4,

  由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 .

  (Ⅱ)对于曲线C上任意一点 ( , ),由于|PM|-|PN|= ≤2,∴R≤2,

  当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.

  ∴当圆P的半径最长时,其方程为 ,

  当 的倾斜角为 时,则 与 轴重合,可得|AB|= .

  当 的倾斜角不为 时,由 ≠R知 不平行 轴,设 与 轴的交点为Q,则 = ,可求得Q(-4,0),∴设 : ,由 于圆M相切得 ,解得 .

  当 = 时,将 代入 并整理得 ,解得 = ,∴|AB|= = .

  当 =- 时,由图形的对称性可知|AB|= ,

  综上,|AB|= 或|AB|= .

  40.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))设椭圆 的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .

  (Ⅰ) 求椭圆的方程;

  (Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若 , 求k的值.

  【答案】

  41.(2013年高考江西卷(理))如图,椭圆 经过点 离心率 ,直线 的方程为 .

  (1) 求椭圆 的方程;

  (2) 是经过右焦点 的任一弦(不经过点 ),设直线 与直线 相交于点 ,记 的斜率分别为 问:是否存在常数 ,使得 ?若存在求 的值;若不存在,说明理由.

  【答案】解:(1)由 在椭圆上得, ①

  依题设知 ,则 ②

  ②代入①解得 .

  故椭圆 的方程为 .

  (2)方法一:由题意可设 的斜率为 ,

  则直线 的方程为 ③

  代入椭圆方程 并整理,得 ,

  设 ,则有

  ④

  在方程③中令 得, 的坐标为 .

  从而 .

  注意到 共线,则有 ,即有 .

  所以

  ⑤

  ④代入⑤得 ,

  又 ,所以 .故存在常数 符合题意.

  方法二:设 ,则直线 的方程为: ,

  令 ,求得 ,

  从而直线 的斜率为 ,

  联立 ,得 ,

  则直线 的斜率为: ,直线 的斜率为: ,

  所以 ,

  故存在常数 符合题意.

  42.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD版))已知抛物线 的顶点为原点,其焦点 到直线 : 的距离为 .设 为直线 上的点,过点 作抛物线 的两条切线 ,其中 为切点.

  (Ⅰ) 求抛物线 的方程;

  (Ⅱ) 当点 为直线 上的定点时,求直线 的方程;

  (Ⅲ) 当点 在直线 上移动时,求 的最小值.

  【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 的方程为 ,由 结合 ,解得 .

  所以抛物线 的方程为 .

  (Ⅱ) 抛物线 的方程为 ,即 ,求导得

  设 , (其中 ),则切线 的斜率分别为 , ,

  所以切线 的方程为 ,即 ,即

  同理可得切线 的方程为

  因为切线 均过点 ,所以 ,

  所以 为方程 的两组解.

  所以直线 的方程为 .

  (Ⅲ) 由抛物线定义可知 , ,

  所以

  联立方程 ,消去 整理得

  由一元二次方程根与系数的关系可得 ,

  所以

  又点 在直线 上,所以 ,

  所以

  所以当 时, 取得最小值,且最小值为 .

  43.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD版含答案))平面直角坐标系 中,过椭圆 的右焦点 作直 交 于 两点, 为 的中点,且 的斜率为 .

  (Ⅰ)求 的方程;

  (Ⅱ) 为 上的两点,若四边形 的对角线 ,求四边形 面积的最大值.

  【答案】

  44.(2013年高考湖北卷(理))如图,已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ,长轴均为 且在 轴上,短轴长分别为 , ,过原点且不与 轴重合的直线 与 , 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 , , , .记 , 和 的面积分别为 和 .

  (I)当直线 与 轴重合时,若 ,求 的值;

  (II)当 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 ,使得 ?并说明理由.

  【答案】解:(I) ,

  解得: (舍去小于1的根)

  (II)设椭圆 , ,直线 :

  同理可得,

  又 和 的的高相等

  如果存在非零实数 使得 ,则有 ,

  即: ,解得

  当 时, ,存在这样的直线 ;当 时, ,不存在这样的直线 .

  45.(2013年高考北京卷(理))已知A、B、C是椭圆W: 上的三个点,O是坐标原点.

  (I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;

  (II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.

  【答案】解:(I)椭圆W: 的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1, ),代入椭圆方程得 ,即 . 所以菱形OABC的面积是 .

  (II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为 .

  由 消去 并整理得 .

  设A ,C ,则 , .

  所以AC的中点为M( , ).

  因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为 .

  因为 ,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.

  所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.

  46.(2013年高考陕西卷(理))已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.

  (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;

  (Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线 与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是 的角平分线, 证明直线 过定点.

  【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C

  (Ⅱ) 点B(-1,0), .

  直线PQ方程为:

  所以,直线PQ过定点(1,0)

  47.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数 学(理)试题(WORD版))如图,抛物线 ,点 在抛物线 上,过 作 的切线,切点为 ( 为原点 时, 重合于 ) ,切线 的斜率为 .

  (I)求 的值;

  (II)当 在 上运动时,求线段 中点 的轨迹方程.

  【答案】

  48.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 直线 与 的两个交点间的距离为 .

  (I)求 ;

  (II)设过 的直线 与 的左、右两支分别相交于 两点,且 ,证明: 成等比数列.

  【答案】

  49.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.

  已知抛物线 的焦点为 .

  (1)点 满足 .当点 在抛物线 上运动时,求动点 的轨迹方程;

  (2)在 轴上是否存在点 ,使得点 关于直线 的对称点在抛物线 上?如果存在,求所有满足条件的点 的坐标;如果不存在,请说明理由.

  【答案】(1)设动点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,则 ,

  因为 的坐标为 ,所以 ,

  由 得 .

  即 解得

  代入 ,得到动点 的轨迹方程为 .

  (2)设点 的坐标为 .点 关于直线 的对称点为 ,

  则 解得

  若 在 上,将 的坐标代入 ,得 ,即 或 .

  所以存在满足题意的点 ,其坐标为 和 .

  圆锥曲线高考题(二)

  1.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图,从点 发出的光线,沿平行于抛物线 的对称轴方向射向此抛物线上的点 ,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点 ,再经抛物线反射后射向直线 上的点 ,经直线反射后又回到点 ,则 等于( )

  A. B. C.   D.

  [答案] 1. B

  [解析] 1.由题意可得抛物线的轴为 轴, ,所以 所在的直线方程为 ,

  在抛物线方程 中,令 可得 ,即

  从而可得 , ,

  因为经抛物线反射后射向直线 上的点 ,经直线反射后又回到点 ,

  所以直线 的方程为 ,

  故选B.

  2.(2014安徽合肥高三第二次质量检测,4) 下列双曲线中,有一个焦点在抛物线 准线上的是( )

  A. B.

  C. D.

  [答案] 2. D

  [解析] 2. 因为抛物线 的焦点坐标为 ,准线方程为 ,所以双曲线的焦点在 轴

  上,双曲线 的焦点在 轴且为 满足条件. 故选D.

  3. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 10) 在平面直角坐标系 中,抛物线 : 的焦点为 , 是抛物线 上的点,若 的外接圆与抛物线 的准线相切,且该圆面积 ,则 ( )

  A. 2  B. 4   C. 6  D. 8

  [答案] 3.B

  [解析] 3.因为 的中垂线 过外接圆圆心,所以此直线与准线 的距离即为外接圆半径,故 = ,故 .

  4. (2014北京东城高三第二学期教学检测,7) 已知抛物线 : 的焦点与双曲线 : 的右焦点的连线交 于第一象限的点 , 若 在点 处的切线平行于 的一条渐近线,则 ( )

  A.

  B.

  C.

  D.

  [答案] 4.D

  [解析] 4. 由已知可得抛物线的焦点 ,双曲线的右焦点为 ,两个点连线的直线方程为 。设该直线与抛物线于 ,则 在 处的切线的斜率为 ,由题意知 ,所以 ,所 以 ,代入直线方程可解得

  5.(2014山东潍坊高三3月模拟考试数学(理)试题,10)如图,已知直线l:y=k(x+1) (k> 0) 与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N,若|AM|=2|BN|,则k的值是( )

  (A)   (B) (C) (D) 2

  [答案] 5. C

  [解析] 5. 设点 ,则由抛物线的定义可得 ,整理得 ①.

  联立直线与抛物线方程得 ,根据根与系数的关系,可得 ,与①联立得 , ,所以点 ,其斜率为 .

  6.(2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,10)给定圆 : 及抛物线 : 过圆心 作直线 , 此直线与上述两曲线的四个交点, 自上而下顺次记为 如果线段 的长按此顺序构成一个等差数列, 则直线 的斜率为( )

  A.      B.      C.       D.

  [答案] 6. C

  [解析] 6. 圆P的圆心P(1,0),抛物线的焦点坐标为(1,0). 由圆P与抛物线的位置关系可得,点A和点D在抛物线上,点B和点C在圆上,因为直线l过圆心,可得BC=2,又因为 的长按此顺序构成一个等差数列可得 ,设点 ,根据抛物线的定义可知 ,可得 . 显然直线l的斜率存在,设直线方程为 ,联立直线与抛物线方程可得 ,解得 .

  7.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,11)中心在原点,焦点在 轴上的双曲线 的离心率为2,直线 与双曲线 交于 两点,线段 中点 在第一象限,并且在抛物线 上,且 到抛物线焦点的距离为 ,则直线 的斜率为( )

  A.    B.   C.    D.

  [答案] 7. C

  [解析] 7. 根据题意可设双曲线的方程为 . 根据抛物线的定义可得点M( ),设点 ,则 、 ,两式相减得 ,因为 ,则得 ,即直线l的斜率为 .

  8.(2014吉林实验中学高三年级第一次模拟,9)若抛物线 的焦点是F,准线是 ,点M(4,4)是抛物线上一点,则经过点F、M且与 相切的圆共有( )

  A.0个   B.1个   C.2个   D.4个

  [答案] 8. C

  [解析] 8. 焦点F的坐标为(1,0),准线为x=-1,由圆与 相切可设圆的方程为: ,则由题意可得 ①、 ②两式联立得 ,代入到①中消b得关于a的一元二次方程,此方程有两个实数根,由此可得此圆共有2个.

  9. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测,8) 设 为抛物线 的焦点, 为该抛物线上三点,若 ,则 的值为 ( )

  A.   B.   C.   D. 12

  [答案] 9. B

  [解析] 9. 由 得 .

  所以 . 选B.

  10.(2014湖北八市高三下学期3月联考,9) 己知抛物线 的焦点F恰好是双曲线 的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为( )

  A. +1   B.2   C.    D. -1

  [答案] 10. A

  [解析] 10. 由题意得抛物线上的点 在双曲线上,而 ,所以点 在双曲线上,因此 又因为 ,所以 .

  11. (2014湖南株洲高三教学质量检测(一),6) 在同一坐标系中,离心率为 的椭圆与离心率为 的双曲线有相同的焦点 ,椭圆与双曲线的一个交点与两焦点 的连线互相垂直,则 ( )

  (A) 2      (B)3   (C)    (D)

  [答案] 11. A

  [解析] 11. 依题意,设焦距为 ,椭圆长轴长 ,双曲线实轴长 ,令点 在上去先的右支上,

  由椭圆的定义知 ,①

  由双曲线的定义知 ,②

  又 , ,

  由① ② 得 ,

  ,即 ,故 .

  12. (2 014天津七校高三联考, 6) 以抛物线 的焦点为圆心,且与双曲线 的渐近线相切的圆的方程为( )

  (A)   (B)

  (C)   (D)

  [答案] 12. D

  [解析] 12. 由双曲线方程知 ,实轴长为6,离心率 ,右焦点坐标 ,即圆心的坐

  标,渐近线方程为 ,圆心到渐近线 的距离为 ,即圆的半径为4,

  故所求的圆的方程为 .

  13. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 8) 已知抛物线 ,过其焦点且斜率为 的直线交抛物线于 , 两点,若线段 的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为 ( )

  A.

  B.

  C.

  D.

  [答案] 13. C

  [解析] 13.设 ,由于直线过焦点且斜率为 ,则其方程为 ,

  联立方程组 ,消去 得 , , .

  故抛物线的准线方程为 .

  14. (2014湖北黄冈高三期末考试) 已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于 、 两点, 为坐标原点, 的面积为 ,则双曲线 的离心率 ( )

  A.

  B.

  C.

  D.

  [答案] 14. C

  [解析] 14.双曲线的性质. 双曲线的渐近线方程为 ,准线方程为 ,又 ,即 , ,解得 .

  15. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 设F为抛物线 的焦点, 、 、 为该抛物线上三点,若 ,则 的值为( )

  (A)3        (B)4        (C)6        (D)9

  [答案] 15. C

  [解析] 15. 由题意可得 ,点 时抛物线的焦点,也是三角形 的重心,故 ,

  ,再由抛物线的定义可得 .

  16. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则 =________.

  [答案] 16.1+

  [解析] 16.|OD|= ,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,

  故C ,F ,

  又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,

  从而有 即

  ∴b2=a2+2ab,∴ -2• -1=0,

  又 >1,

  ∴ =1+ .

  17. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,12) 抛物线 +12y=0的准线方程是___________.

  [答案] 17. y=3

  [解析] 17. 抛物线的标准方程为: ,由此可以判断焦点在y轴上,且开口向下,且p=6,所以其准线方程为y=3.

  18. (2014河北唐山高三第一次模拟考试,15) 过抛物线 : 的焦点 作直线 交抛物线 于 、 两点,若 到抛物线的准线的距离为4,则 ________________.

  [答案] 18.

  [解析] 18. 设 ,由抛物线的性质: ,所以 ,又 ,

  所以 ,从而 .

  19. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 15) 已知抛物线 到其焦点的距离为5,双曲线 的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线 垂直,则实数 _________.

  [答案] 19.

  [解析] 19.由已知可得 ,从而 . 因为 ,所以 ,从而渐近线的斜率为 ,故 ,得 .

  20. (2014兰州高三第一次诊断考试, 15) 如图,过抛物线 的焦点F的直线 依次交抛物线及其准线于点A、B、C,

  若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是   .

  [答案] 20.

  [解析] 20. 如图,分别过点 、 作准线的垂线,分别交准线于 、 ,设 ,则由已知得 ,由抛物线的定义知 ,故 ,

  在直角三角形 中, ,

  , ,即 ,

  又 , ,即 ,

  故所 求抛物线方程为 .

  21. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|= |PQ|.

  (Ⅰ)求C的方程;

  (Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.

  [答案] 21.查看解析

  [解析] 21.(Ⅰ)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0= .

  所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + .

  由题设得 + = × ,解得p=-2(舍去)或p=2.

  所以C的方程为y2=4x.(5分)

  (Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).

  代入y2=4x得y2-4my-4=0.

  设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.

  故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|= |y1-y2|=4(m2+1).

  又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=- y+2m2+3.

  将上式代入y2=4x,并整理得y2+ y-4(2m2+3)=0.

  设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3).

  故MN的中点为E ,|MN|= |y3-y4|= .(10分)

  由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|,从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2,

  即4(m2+1)2+ + = .

  化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.

  所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)

  22. (2014陕 西,2017,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1: + =1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为 .

  (Ⅰ)求a,b的值;

  (Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.

  [答案] 22.查看解析

  [解析] 22.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点.

  设C1的半焦距为c,由 = 及a2-c2=b2=1得a=2.

  ∴a=2,b=1.

  (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半椭圆C1的方程为 +x2=1(y≥0).

  易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),

  代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)

  设点P的坐标为(xP,yP),

  ∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.

  由求根公式,得xP= ,从而yP= ,

  ∴点P的坐标为 .

  同理,由 得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).

  ∴ = (k,-4), =-k(1,k+2).

  ∵AP⊥AQ,∴ • =0,即 [k-4(k+2)]=0,

  ∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=- .

  经检验,k=- 符合题意,

  故直线l的方程为y=- (x-1).

  解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.

  23.(2014安徽,19,1 3分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.

  (Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2;

  (Ⅱ)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求 的值.

  [答案] 23.查看解析

  [解析] 23.(Ⅰ)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则

  由 得A1 ,

  由 得A2 .

  同理可得B1 ,B2 .

  所以 = =2p1 ,

  = =2p2 ,

  故 = ,所以A1B1∥A2B2.

  (Ⅱ)由(Ⅰ)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.

  所以△A1B1C1∽△A2B2C2.

  因此 = .

  又由(Ⅰ)中的 = 知 = .

  故 = .

  24.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.

  (Ⅰ)求C的方程;

  (Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,

  (i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;

  (ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.

  [答案] 24.查看解析

  [解析] 24.(Ⅰ)由题意知F .

  设D(t,0)(t>0),则FD的中点为 .

  因为|FA|=|FD|,

  由抛物线的定义知3+ = ,

  解得t=3+p或t=-3(舍去).

  由 =3,解得p=2.

  所以抛物线C的方程为y2=4x.

  (Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知F(1,0),

  设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),

  因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,

  由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).

  故直线AB的斜率kAB=- .

  因为直线l1和直线AB平行,

  设直线l1的方程为y=- x+b,

  代入抛物线方程得y2+ y- =0,

  由题意Δ= + =0,得b=- .

  设E(xE,yE),则yE=- ,xE= ,

  当 ≠4时,kAE= =- = ,

  可得直线AE的方程为y-y0= (x-x0),

  由 =4x0,

  整理可得y= (x-1),

  直线AE恒过点F(1,0).

  当 =4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),

  所以直线AE过定点F(1,0).

  (ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),

  所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+ =x0+ +2.

  设直线AE的方程为x=my+1,

  因为点A(x0,y0)在直线AE上,

  故m= ,

  设B(x1,y1),

  直线AB的方程为y-y0=- (x-x0),

  由于y0≠0,

  可得x=- y+2+x0,

  代入抛物线方程得y2+ y-8-4x0=0.

  所以y0+y1=- ,

  可求得y1=-y0- ,x1= +x0+4,

  所以点B到直线AE的距离为

  d=

  =

  =4 .

  则△ABE的面积S= ×4 ≥16,

  当且仅当 =x0,即x0=1时等号成立.

  所以△ABE的面积的最小值为16.

  25. (201 4山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,20) 抛物线C1: 的焦点与椭圆C2: 的一个焦点相同. 设椭圆的右顶点为A,C1, C2在第一象限的交点为B,O为坐标原点,且 的面积为 .

  (1) 求椭圆C2的标准方程;

  (2)过A点作直线 交C1于C, D两点,连接OC, OD分别交C2于E, F两点,记 , 的面积分别为 , . 问是否存在上述直线 使得 ,若存在,求直线 的方程;若不存在,请说明理由.

  [答案] 25.查看解析

  [解析] 25. (1)∵ ∴焦点 ∴ 即 ……………1分

  又∵ ∴ ……………2分

  代入抛物线方程得 . 又B点在椭圆上得 ,

  ∴椭圆C2的标准方程为 .   ……………4分

  (2)设直线 的方程为 ,由 得

  设 ,所以 ……………6分

  又因为

  直线 的斜率为 ,故直线 的方程为 ,

  由 得 ,同理

  所以

  则 ,  ……………10分

  所以 ,

  所以 ,故不存在直线 使得 ……………12分

  26. (2014福州高中毕业班质量检测, 19) 已知动圆 过定点 , 且与直线 相切.

  (Ⅰ)求动圆圆心 的轨迹方程;

  (Ⅱ)设 、 是轨迹 上异于原点 的两个不同点, 直线 和 的倾斜角分别为 和 ,

  ①当 = 时, 求证直线 恒过一定点 ;

  ②若 为定值 , 直线 是否仍恒过一定点, 若存在, 试求出定点的坐标;若不存在, 请说明理由.

  [答案] 26.查看解析

  [解析] 26.(Ⅰ) 设动圆圆心 , 依题意点 的轨迹是以 为焦点,直线 为准线的抛物线,其方程为 . (3分)

  (Ⅱ) 设 , . 由题意得 (否则 ) 且 ,

  则 ,所以直线 的斜率存在, 设直线 的方程为 ,

  则将 与 联立消去 , 得 ,

  由韦达定理得 -------※(6分)

  ①当 = 时, 所以 ,

  所以 , 又由※知: ,所以 ;因此直线 的方程可表示为 , 所以直线 恒过定点(-4,0).

  ②当 为定值 时. 若 = , 由①知,

  直线 恒过定点 ,(9分)

  当 时, 由 , 得 = =

  将※式代入上式整理化简可得: , 所以 ,

  此时,直线 的方程可表示为y=kx+ ,

  所以直线 恒过定点 ,

  所以当 时, 直线 恒过定点(-4,0).,

  当 时直线 恒过定点 . (13分)

  27. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),20) 已知动圆 过定点 ,且在 轴上截得弦长为4. 设该动圆圆心的轨迹为曲线 .

  (Ⅰ)求曲线 方程;

  (Ⅱ)点 为直线 : 上任意一点,过 作曲线 的切线,切点分别为 、 , 面积的最小值及此时点 的坐标.

  [答案] 27.查看解析

  [解析] 27.(Ⅰ)设动圆圆心坐标为 ,根据题意得:

  ,化简得 . (4分)

  (Ⅱ)解法一:设直线 的方程为 ,

  由 消去 得 ,

  设 ,则 ,且 ,(6分)

  以点 为切点的切线的斜率为 ,

  其切线方程为 ,即 ,

  同理过点 的切线的方程为 ,

  设两条切线的交点为 在直线 上,

  ,解得 ,即 ,

  则 ,即 ,(8分)

  代入 ,

  ,

  到直线 的距离为 ,

  ,

  ,

  当 时, 最小,其最小值为 ,此时点 的坐标为 . (12分)

  解法二:设 在直线 上,点 在抛物线 上,

  则以点 为切点的切线的斜率为 ,

  其切线方程为 ,即 ,

  同理以点 为切点的方程为 ,(6分)

  设两条切线的均过点 ,则 ,

  点 、 的坐标均满足方程 ,

  即直线 的方程为: ,(8分)

  代入抛物线方程 消去 可得: ,

  直线 的距离为 ,

  ,

  当 时, 最小,其最小值为 ,此时点 的坐标为 . (12分)

  28.(2014湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,21)如图所示,已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点 , C1的中心和C2的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线 与抛物线C2分别相交于A、B两点.

  (Ⅰ)写出抛物线C2的标准方程;

  (Ⅱ)求证:以AB为直径的圆过原点;

  (Ⅲ)若坐标原点 关于直线 的对称点 在抛物线C2上,直线 与椭圆C1有公共点,求椭圆C1的长轴长的最小值.

  [答案] 28.查看解析

  [解析] 28. (1) 设抛物线的标准方程为

  由 得 ,

  ;       …………………3分

  (2) 可设 , 联立 得 ,

  设

  , 即以 为直径的圆过原点;   ………………8分

  (3) 设 , 则

  得

  ………………10分

  设椭圆 ,与直线 联立可得:

  ∴长轴长最小值为    ………………13分

  29. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 21) 已知抛物线 : 的准线为 ,焦点为 , 的圆心在 轴的正半轴上,且与 轴相切,过原点作倾斜角为 的直线 ,交 于点 ,交 于另一点 ,且

  (Ⅰ) 求 和抛物线 的方程;

  (Ⅱ) 过 上的动点 作 的切线,切点为 、 ,求当坐标原点 到直线 的距离取得最大值时,四边形 的面积.

  [答案] 29.查看解析

  [解析] 29. (Ⅰ)准线 交 轴于 ,在 中 ,

  所以 , 所以 ,抛物线方程是 , (3分)

  在 中有 , 所以 ,

  所以⊙ 方程是: .   (6分)

  (Ⅱ)解法一:设 ,

  所以切线 ;切线 , (8分)

  因为 和 交于 点,所以 和 成立 ,

  所以ST方程: ,   (10分)

  所以原点到 距离 ,当 ,即 在y轴上时 有最大值,

  此时直线ST方程是 ,

  所以 ,

  所以此时四边形 的面积 . (12分)

  圆锥曲线高考题(三)

  程序框图作业专练

  姓名:__________班级:__________考号:__________

  题号 一 二 总分

  得分

  一 、选择题(本大题共15小题,每小题5分,共75分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)

  1.(2015四川高考真题)执行如图所示的程序框图,输出S的值为( )

  (A)- (B) (C)- (D)

  2.(2015新课标2高考真题)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的 分别为14,18,则输出的 为( )

  3.执行如图所示的程序框图,输出S的值为(  )

  A. 0 B. ﹣1 C. ﹣ D. ﹣

  4.执行如图所示的程序框图,如果输入的 的值是6,那么输出的 的值是( )

  A.15 B.105 C.120 D.720

  5.当 时,执行如右图所示的程序框图,

  输出的 值为

  A. 30 B.14 C. 8 D. 6

  6.(2015•上海模拟)某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是(  )

  A. f(x)=x2 B. C. D.

  7.阅读右侧程序框图,如果输出 ,那么在空白

  矩形框中应填入的语句为

  A. B. C. D.

  8.右图中, 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分, 为该题的最终得分,当 时, 等于

  A. B.    C. D.

  9.执行如右图所示的程序框图,若输入的 值等于7,则输出的 的值为

  A.15 B.16 C.21 D.22

  10.如图是一个算法的程序框图,该算法所输出的结果是(  )

  A. 34 B. 23 C. 12 D. 45

  11.执行如图所示的程序框图,当输出值为4时,输入 的值为

  A.2 B. C.-2或-3 D.2或-3

  12.如图1是某县参加 年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1,A2,…,A10(如A2表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数).图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~185cm(含160cm,不含185cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )

  A.i<9 B.i<8 C.i<7 D.i<6

  13.如果执行下图所示的框图,输入 ,则输出的数等于( )

  A. B. C. D.

  14.根据右边框图,对大于2的整数 ,得出数列的通项公式是( )

  15.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

  (A)34 (B)55 (C)78 (D)89

  二 、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

  16.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是  ;

  17.(2015•泰州一模)执行如图所示的流程图,则输出的n为   .

  18. 如右图所示的程序框图的输出值 , 则输入值 。

  19.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x的值为-25时,输出x的值为 .

  20.阅读右边的框图,运行相应的程序,输出 的值为________.

  0.衡水万卷作业卷三十二文数答案解析

  一 、选择题

  1.【答案】D

  【解析】第四次循环后,k=5,输出S=sin = ,选D

  2.B

  【解析】

  试题分析:由题意输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.

  考点:1. 更相减损术;2.程序框图.

  3.【考点】: 程序框图.

  【专题】: 图表型;算法和程序框图.

  【分析】: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,n的值,当n=7时n大于5退出循环,输出S的值为0.

  【解析】: 解:模拟执行程序框图,可得

  S=0,n=1

  S= ,n=3,n不大于5

  S=﹣ ,n=5,n不大于5

  S=0,n=7,n大于5

  退出循环,输出S的值为0,

  故选:A.

  【点评】: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的S,n的值是解题的关键,属于基础题.

  4.B

  5.B

  6.【考点】: 选择结构.

  【专题】: 压轴题;图表型.

  【分析】: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是输出满足条件①f(x)+f(﹣x)=0,即函数f(x)为奇函数②f(x)存在零点,即函数图象与x轴有交点.逐一分析四个答案中给出的函数的性质,不难得到正确答案.

  【解析】: 解:∵A:f(x)=x2、C:f(x)=x2,D:f(x)= 不是奇函数,故不满足条件①

  又∵B: 的函数图象与x轴没有交点,故不满足条件②

  而C: 既是奇函数,而且函数图象与x也有交点,

  故C:f(x)=sinx符合输出的条件

  故答案为C.

  【点评】: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是::①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.

  7.A

  8.C

  9.B

  10.【答案】A

  解析:第一次执行循环体得i=2,m=1,n= ,第二次执行循环体得i=3,m=2,n= ,第三次执行循环体得i=4,m=3,n= ,此时i≥4,则跳出循环体,所以输出的n的值为34,则选A.

  【思路点拨】遇到循环结构程序框图时,可依次执行循环体,直到跳出循环,再进行判断.

  11.D

  12.A解:现要统计的是身高在cm之间的学生的人数,由图1可知应该从第四组数据累加到第八组数据,即是要计算 的和,故流程图中空白框应是 当 时就会返回进行叠加运算,当 将数据直接输出,不再进行任何的返回叠加运算,故 .故选A。

  13.【知识点】算法与程序框图.

  【答案】A

  解析:程序运行的结果为

  = ,故选A.

  【思路点拨】根据程序框图中的循环规律知,S是数列 的前5项和,利用裂项求和法求出其值即可.

  14.C

  15.B

  二 、填空题

  16.132

  17.【考点】: 程序框图.

  【专题】: 图表型;算法和程序框图.

  【分析】: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,n的值,当S=63时,不满足条件S>63,退出循环,输出n的值为4.

  【解析】: 解:模拟执行程序框图,可得

  S=511,n=1

  满足条件S>63,S=255,n=2

  满足条件S>63,S=127,n=3

  满足条件S>63,S=63,n=4

  不满足条件S>63,退出循环,输出n的值为4.

  故答案为:4.

  【点评】: 本题主要考查了程序框图和算法,正确得到每次循环的S,n的值是解题的关键,属于基础题.

  18.

  19.3

  20.-4

  解: 时, ; 时, ,所以输出的 的值为-4.

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