集合间的基本关系教案

导读：　　　数学中的基本概念，集合论的主要研究对象。一定范围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫 ...

　　数学中的基本概念，集合论的主要研究对象。一定范围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。中国招生考试网www.chinazhaokao.com  小编精心为大家整理了集合间的基本关系教案，希望对你有帮助。

　　集合间的基本关系教案

　　第2课时 集合间的基本关系

　　(一)教学目标;

　　1.知识与技能

　　(1)理解集合的包含和相等的关系.

　　(2)了解使用Venn图表示集合及其关系.

　　(3)掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系.

　　2.过程与方法

　　(1)通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系.

　　(2)通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义.

　　(3)从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念.

　　3.情感、态度与价值观

　　应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力.

　　(二)教学重点与难点

　　重点：子集的概念;难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别.

　　(三)教学方法

　　在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质.

　　(四)教学过程

　　教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

　　创设情境提出问题 思考：实数有相关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系. 师：对两个数a、b，应有a>b或a = b或a<b.

　　而对于两个集合A、B它们也存在A包含B，或B包含A，或A与B相等的关系. 类比生疑，

　　引入课题

　　概念形成 分析示例：

　　示例1：考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系

　　(1)A = {1，2，3}

　　B = {1，2，3，4，5}

　　(2)A = {新华中学高(一)6班的全体女生}

　　B = {新华中学高(一)6 班的全体学生}

　　(3)C = {x | x是两条边相等的三角形}

　　D = {x | x是等腰三角形}

　　1.子集：

　　一般地，对于两个集合A、B，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作 ，读作：“A含于B”(或B包含A)

　　2.集合相等：

　　若 ，且 ，则A=B.

　　生：实例(1)、(2)的共同特点是A的每一个元素都是B的元素.

　　师：具备(1)、(2)的两个集合之间关系的称A是B的子集，那么A是B的子集怎样定义呢?

　　学生合作：讨论归纳子集的共性.

　　生：C是D的子集，同时D是C的子集.

　　师：类似(3)的两个集合称为相等集合.

　　师生合作得出子集、相等两概念的数学定义. 通过实例的共性探究、感知子集、相等概念，通过归纳共性，形成子集、相等的概念.

　　初步了解子集、相等两个概念.

　　概念

　　深化

　　示例1：考察下列各组集合，并指明两集合的关系：

　　(1)A = Z，B = N;

　　(2)A = {长方形}，B = {平行四边形};

　　(3)A={x| x2–3x+2=0}，B ={1，2}.

　　1.Venn图

　　用平面上封闭曲线的内部代表集合.

　　如果 ，则Venn图表示为：

　　2.真子集

　　如果集合 ，但存在元素x∈B，且x A，称A是B的真子集，记作A

　　B (或B A).

　　示例3 考察下列集合. 并指出集合中的元素是什么?

　　(1)A = {(x，y) | x + y =2}.

　　(2)B = {x | x2 + 1 = 0，x∈R}.

　　3.空集

　　称不含任何元素的集合为空集，记作 .

　　规定：空集是任何集合的子集;空集是任何非空集合的真子集. 示例1 学生思考并回答.

　　生：(1)

　　(2)

　　(3)A = B

　　师：进一步考察(1)、(2)

　　不难发现：A的任意元素都在B中，而B中存在元素不在A中，具有这种关系时，称A是B的真子集.

　　示例3 学生思考并回答.

　　生：(1)直线x+y=2上的所有点

　　(2)没有元素

　　师：对于类似(2)的集合称这样的集合为空集.

　　师生合作归纳空集的定义. 再次感知子集相等关系，加深对概念的理解，并利用韦恩图从“形”的角度理解包含关系，层层递进形成真子集、空集的概念.

　　能力

　　提升 一般结论：

　　① .

　　②若 ， ，则 .

　　③A = B ，且 . 师：若a≤a，类比 .

　　若a≤b，b≤c，则a≤c类比.

　　若 ， ，则 .

　　师生合作完成：

　　(1)对于集合A，显然A中的任何元素都在A中，故 .

　　(2)已知集合 ，同时 ，即任意x∈A x∈B x∈C，故 .

　　升华并体会类比数学思想的意义.

　　应用

　　举例 例1(1)写出集合{a、b}的所有子集;

　　(2)写出集合{a、b、c}的所有子集;

　　(3)写出集合{a、b、c、d}的所有子集;

　　一般地：集合A含有n个元素

　　则A的子集共有2n个.

　　A的真子集共有2n – 1个. 学习练习求解，老师点评总结.

　　师：根据问题(1)、(2)、(3)，子集个数的探究，提出问题：

　　已知A = {a1，a2，a3…an}，求A的子集共有多少个? 通过练习加深对子集、真子集概念的理解.

　　培养学生归纳能力.

　　归纳

　　总结 子集： 任意x∈A x∈B

　　真子集：A B¬ 任意x∈A x∈B，但存在x0∈B，且x0 A.

　　集合相等：A = B 且

　　空集( )：不含任何元素的集合

　　性质：① ，若A非空，则 A.

　　② .

　　③ ， . 师生合作共同归纳—总结—交流—完善.

　　师：请同学合作交流整理本节知识体系 引导学生整理知识，体会知识的生成，发展、完善的过程.

　　课后

　　作业 1.1 第二课时习案 学生独立完成 巩固基础

　　提升能力

　　备选训练题

　　例1 能满足关系{a，b} {a，b，c，d，e}的集合的数目是( A )

　　A.8个 B.6个 C.4个 D.3个

　　【解析】由关系式知集合A中必须含有元素a，b，且为{a，b，c，d，e}的子集，所以A中元素就是在a，b元素基础上，把{c，d，e}的子集中元素加上即可，故A = {a，b}，A = {a，b，c}，A = {a，b，d}，A = {a，b，e}，A = {a，b，c，d}，A = {a，b，c，e}，A = {a，b，d，e}，A = {a，b，c，d，e}，共8个，故应选A.

　　例2 已知A = {0，1}且B = {x | }，求B.

　　【解析】集合A的子集共有4个，它们分别是： ，{0}，{1}，{0，1}.

　　由题意可知B = { ，{0}，{1}，{0，1}}.

　　例3 设集合A = {x – y，x + y，xy}，B = {x2 + y2，x2 – y2，0}，且A = B，求实数x和y的值及集合A、B.

　　【解析】∵A = B，0∈B，∴0∈A.

　　若x + y = 0或x – y = 0，则x2 – y2 = 0，这样集合B = {x2 + y2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y≠0，x – y≠0.

　　∴ (I) 或 (II)

　　由(I)得： 或 或

　　由(II)得： 或 或

　　∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去.

　　当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去.

　　∴ 或 ，

　　∴A = B = {0，1，–1}.

　　例4 设A = {x | x2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若 ，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集.

　　【解析】A = {3，5}，∵ ，所以

　　(1)若B = ，则a = 0;

　　(2)若B≠ ，则a≠0，这时有 或 ，即a = 或a = .

　　综上所述，由实数a组成的集合为 .

　　其所有的非空真子集为：{0}， 共6个.

　　高一数学集合间的基本关系练习题及答案26

　　1.集合{a，b}的子集有(　　)

　　A.1个 B.2个

　　C.3个 D.4个

　　【解析】　集合{a，b}的子集有Ø，{a}，{b}，{a，b}共4个，故选D.

　　【答案】　D

　　2.下列各式中，正确的是(　　)

　　A.23∈{x|x≤3} B.23∉{x|x≤3}

　　C.23⊆{x|x≤3} D.{23}{x|x≤3}

　　【解析】　23表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但23不在集合中，故23∉{x|x≤3}，A、C不正确，又集合{23}⃘{x|x≤3}，故D不正确.

　　【答案】　B

　　3.集合B={a，b，c}，C={a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C.则集合A的个数是________.

　　【解析】　若A=Ø，则满足A⊆B，A⊆C;若A≠Ø，由A⊆B，A⊆C知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}.

　　【答案】　4

　　4.已知集合A={x|1≤x<4}，B={x|x<a}，若A⊆B，求实数a的取值集合.

　　【解析】

　　将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足A⊆B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}.

　　一、选择题(每小题5分，共20分)

　　1.集合A={x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是(　　)

　　A.5 B.6

　　C.7 D.8

　　【解析】　由题意知A={0,1,2}，其真子集的个数为23-1=7个，故选C.

　　【答案】　C

　　2.在下列各式中错误的个数是(　　)

　　①1∈{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}⊆{0,1,2};

　　④{0,1,2}={2,0,1}

　　A.1 B.2

　　￥资%源~网C.3 D.4

　　【解析】　①正确;②错.因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系;③正确;④正确.两个集合的元素完全一样.故选A.

　　【答案】　A

　　3.已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|0<x<1}，则(　　)

　　A.A>B B.AB

　　C.BA D.A⊆B

　　【解析】　如图所示，

　　，由图可知，BA.故选C.

　　【答案】　C

　　4.下列说法：

　　①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若ØA，则A≠Ø.

　　其中正确的有(　　)

　　A.0个 B.1个

　　C.2个 D.3个

　　【解析】　①空集是它自身的子集;②当集合为空集时说法错误;③空集不是它自身的真子集;④空集是任何非空集合的真子集.因此，①②③错，④正确.故选B.

　　【答案】　B

　　二、填空题(每小题5分，共10分)

　　5.已知Ø{x|x2-x+a=0}，则实数a的取值范围是________.

　　【解析】　∵Ø{x|x2-x+a=0}，

　　∴方程x2-x+a=0有实根，

　　∴Δ=(-1)2-4a≥0，a≤14.

　　【答案】　a≤14

　　6.已知集合A={-1,3,2m-1}，集合B={3，m2}，若B⊆A，则实数m=________.

　　【解析】　∵B⊆A，∴m2=2m-1，即(m-1)2=0∴m=1，当m=1时，A={-1,3,1}，B={3,1}满足B⊆A.

　　【答案】　1

　　三、解答题(每小题10分，共20分)

　　7.设集合A={x，y}，B={0，x2}，若A=B，求实数x，y.

　　【解析】　从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性.因为A=B，则x=0或y=0.

　　(1)当x=0时，x2=0，则B={0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去.

　　(2)当y=0时，x=x2，解得x=0或x=1.由(1)知x=0应舍去.

　　综上知：x=1，y=0.

　　8.若集合M={x|x2+x-6=0}，N={x|(x-2)(x-a)=0}，且N⊆M，求实数a的值.

　　【解析】　由x2+x-6=0，得x=2或x=-3.

　　因此，M={2，-3}.

　　若a=2，则N={2}，此时NM;

　　若a=-3，则N={2，-3}，此时N=M;

　　若a≠2且a≠-3，则N={2，a}，

　　此时N不是M的子集，

　　故所求实数a的值为2或-3.

　　9.(10分)已知集合M={x|x=m+16，m∈Z}，N={x|x=n2-13，n∈Z}，P={x|x=p2+16，p∈Z}，请探求集合M、N、P之间的关系.

　　【解析】　M={x|x=m+16，m∈Z}

　　={x|x=6m+16，m∈Z}.

　　N={x|x=n2-13，n∈Z}

　　=x|x=3n-26，n∈Z

　　P={x|x=p2+16，p∈Z}

　　={x|x=3p+16，p∈Z}.

　　∵3n-2=3(n-1)+1，n∈Z.

　　∴3n-2,3p+1都是3的整数倍加1，

　　从而N=P.

　　而6m+1=3×2m+1是3的偶数倍加1，

　　∴MN=P.

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