北京市高二数学期中考试

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　　北京市高二数学期中考试试卷分享，下面是中国招生考试网http://www.chinazhaokao.com/小编今天为大家精心准备了北京市高二数学期中考试，希望对大家有所帮助!

　　北京市高二数学期中考试(1)

　　试卷分为两卷，卷(Ⅰ)100分，卷(Ⅱ)50分，满分共计150分

　　考试时间：120分钟

　　卷(Ⅰ)

　　一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。)

　　1. 抛物线 的准线方程为( )

　　A. x=2 B. x=-2 C. x=4 D. x=-4

　　2. 若双曲线方程为 ，则其渐近线方程为( )

　　A. B. C. D.

　　3. 已知点M的一个极坐标为 ，下列给出的四个极坐标仍能表示点M的是( )

　　A. B. C. D.

　　4. “ ”是“方程 表示双曲线”的( )

　　A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

　　C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

　　5. 若椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为( )

　　A. B.

　　C. D.

　　6. 设椭圆C： 两个焦点分别为F1,F2，若C上存在点P满足 : : =4:3:2，则椭圆C的离心率等于( )

　　A. B. C. D.

　　7. 已知点P是抛物线 上的动点，且点P在y轴上的射影是M，点A ，则 的最小值是( )

　　A. B. 4 C. D. 5

　　8. 若有两个焦点 ， 的圆锥曲线上存在点P，使 成立，则称该圆锥曲线上存在“ ”点，现给出四个圆锥曲线：

　　① ② ③ ④

　　其中存在“ ”点的圆锥曲线有( )

　　A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

　　二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分。)

　　9. 抛物线 的焦点到准线的距离是______________。

　　10. 命题“ ， ”的否定为___________________。

　　11. 已知双曲线的中心在原点，焦距为2 ，实轴长为2，则该双曲线的标准方程是__________________。

　　12. 椭圆 的焦点为 ， ，点P在椭圆上，若 ，则 =____________;∠ 的大小为___________________。

　　13. 过点(0，-4)且与直线y=4相切的圆的圆心轨迹方程是______________________。

　　14. 已知椭圆 的右焦点为F，斜率为1的直线过F且交椭圆于A、B两点，若 与 =(3，-1)共线，则此椭圆的离心率为_________________。

　　三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分。)

　　15. 已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，且C上一点到C的两个焦点的距离之和为4。

　　(1)求椭圆C的方程;

　　(2)已知斜率为 的直线l与C相切，求直线l的方程。

　　16. 若抛物线C： 的焦点在直线l：2x+y-2=0上。

　　(1)求抛物线C的方程;

　　(2)求直线l被抛物线C所截的弦长。

　　17. 已知椭圆C： 的两个焦点分别为F1，F2，离心率为 ，且过点(2， )。

　　(1)求椭圆C的标准方程;

　　(2)M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证： 为定值。

　　卷(Ⅱ)

　　一、选择题(本大题共3小题，每小题5分，共15分。)

　　1. 命题 ，使得直线x-y+t=0与圆x2+y2=1相交;

　　命题 ，双曲线 =1的离心率为 。

　　则下面结论正确的是( )

　　A. p是假命题 B. 是真命题

　　C. p 是假命题 D. p 是真命题

　　2. 设斜率为2的直线l过抛物线 的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )

　　A. B. C. D.

　　3. 过抛物线C： 的焦点F作直线交C于P，Q两点，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则 的最小值为( )

　　A. B. C. D.

　　二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分。)

　　4. 经过点A(3，1)作直线l，它与双曲线 只有一个公共点，这样的直线l有______________条。

　　5. 曲线的极坐标方程 = 化为直角坐标方程为_____________。

　　6. 抛物线 上存在关于直线y=x对称的相异两点A，B，则 等于_________。

　　三、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分。)

　　7. 已知椭圆C： + =1(a>b>0)经过点(1， )，离心率为 。

　　(1)求椭圆C的方程;

　　(2)直线 与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点。直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点?若是，求出定点坐标;若不是，说明理由。

　　8. 设椭圆C1和抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：

　　x 3 -2 4

　　y -2

　　0 -4

　　-

　　(1)求C1，C2的标准方程;

　　(2)设直线l与椭圆C1交于不同两点M，N，且 ，请问是否存在这样的直线l过抛物线C2的焦点F?若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由。

　　试题答案

　　一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

　　1 2 3 4 5 6 7 8

　　A D D B B A C B

　　二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

　　9 2 10 ，

　　11

　　12 2

　　13

　　14

　　三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

　　15.(1) ;

　　(2)

　　16.(1) ;

　　(2)

　　17.(1)解：由已知 ，

　　所以 。

　　所以 。

　　所以 ，即 。

　　因为椭圆C过点(2， )，

　　得 。

　　所以椭圆C的方程为 。

　　(2)证明：由(1)知椭圆C的焦点坐标为F1(-2，0)，F2(2，0)，

　　根据题意，可设直线MN的方程为 ，

　　由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为 。

　　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

　　由方程组 消y得

　　(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0。

　　则x1+x2= ，x1x2= 。

　　所以 。

　　同理可得 。

　　所以 。

　　卷(Ⅱ)

　　一、选择题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

　　1 D 2 B 3 D

　　二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

　　4 2 5 3

　　6

　　三、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

　　7.(1)解：由题意得 ，解得a=2，b=1。

　　所以椭圆C的方程 。

　　(2)以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点。

　　由 得 。

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1+x2= ，x1x2= 。

　　又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M(2，0)。

　　由题意可知直线AM的方程为 ，故点P(0， )。

　　直线BM的方程为 ，故点Q(0， )。

　　若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N(x0,0),则等价于 恒成立。

　　又因为 ， ，

　　所以 = + =0恒成立。

　　又因为 = = =

　　y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=k2( - )= ，

　　所以 + = + = -3=0。解得x0= 。

　　故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点( ，0)。

　　8. 解：(1)设抛物线C2: ，则有 ，据此验证5个点知只有(3， )、(4， )在统一抛物线上，易求C2:

　　设C2: ，把点( )( )代入得

　　解得 ∴C2方程为

　　(2)假设存在这样的直线l过抛物线焦点F(1，0)

　　设其方程为x-1=my，设M(x1，y1)，N(x2，y2)

　　由 。得x1x2+y1y2=0( )

　　由 消去 ，得 △=16m2+48>0

　　∴y1+y2= , y1y2= ①

　　x1x2=(1+my1)(1+my2)=1+m(y1+y2)=m2y1y2;

　　=1+ + = ②

　　将①②代入( )式，得 + =0 解得

　　∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点F的l方程为： 。

　　北京市高二数学期中考试(2)

　　1、抛物线y=4x2的焦点坐标是________.

　　2.“x>0”是“x≠0”的__ ____条件.(“充分不必要条件”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”).

　　3、按如图所示的流程图运算，若输入x=20，则输出的k= __.

　　4、某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_ 的学生

　　5、口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为_ _

　　6.已知函数f(x)=f′π4cos x+sin x，则fπ4的值为_ ____

　　7 、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为___ ____ ____.

　　8.曲线C的方程为x2m2+y2n2=1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A=“方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)=___ __.

　　9、下列四个结论正确的是_ _ ____.(填序号)

　　① “x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件;

　　② 已知a、b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是ab>0;

　　③ “a>0，且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件;

　　④ “x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件.

　　10.已知△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为_ __.

　　11、已知点A(0,2)，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=

　　12. 已知命题 :“ x∈R，ax2-ax-2 0” ，如果命题 是假命题，则实数a的取值范围是_ ____.

　　13. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是____ ____.

　　14、若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，则

　　a的值是__ __.

　　二、解答题：(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

　　15.(本题满分14分)

　　已知双曲线过点(3，-2)，且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.

　　(1) 求双曲线的标准方程;

　　(2) 求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程.

　　17、(本题满分15分)

　　已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a，b∈R).

　　(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3，求a，b的值;

　　(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.

　　18、(本题满分15分)

　　中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.

　　(1)求这两曲线方程;

　　(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值.

　　19、(本题满分16分)

　　设a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数f(x)=12ax2+bx+1.

　　(1)求f(x)在区间(-∞，-1]上是减函数的概率;

　　(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率.

　　20、(本题满分16分)

　　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，点P35a，m(m>0)是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1，A2B2于点M，N.

　　(1)求椭圆的离心率;

　　(2)若MN=4217，求椭圆C的方程;

　　(3)在第(2)问条件下，求点 Q( )与椭圆C上任意一点T的距离d的最小值.

　　高二数学答案

　　一、填空题 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

　　1、抛物线y=4x2的焦点坐标是__.(0，116)______

　　2.“x>0”是“x≠0”的____充分不必要 ____条件.(“充分不必要条件”、“必要不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”).

　　3、按如图所示的流程图运算，若输入x=20，则输出的k=_3__.

　　4、某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_37__的学生

　　5、口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为__1/3__

　　6.已知函数f(x)=f′π4cos x+sin x，则fπ4的值为__1_____

　　7 、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为___ x2-y2=2_____________.

　　8.曲线C的方程为x2m2+y2n2=1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A=“方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)=___512__.

　　9、下列四个结论正确的是__①③______.(填序号)

　　① “x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件;

　　② 已知a、b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是ab>0;

　　③ “a>0，且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件;

　　④ “x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件.

　　10.已知△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为__12___.

　　11、已知点A(0,2)，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=___2

　　12. 已知命题 :“ x∈R，ax2-ax-2 0” ，如果命题 是假命题，则实数a的取值范围是___(-8,0]_____.

　　13. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是___(2-1，1)_____.

　　14、若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的值是____1或 ____.

　　二、解答题：(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

　　16.(本题满分14分)

　　已知命题 ：函数y=loga(x+1)在(0，+∞)内单调递减;命题 ：曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点. 为真， 为假，求a的取值范围.

　　解：当p为真时：0<a<1-------------------------------------------------4分

　　当q为真时：a>5/2或a<1/2---------------------------------------------8分

　　有题意知：p，q一真一假-----------------------------------------------10分

　　------------------------------------------------14分

　　17、(本题满分15分)

　　已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a，b∈R).

　　(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3，求a，b的值;

　　(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.

　　解　f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).

　　(1)由题意得f0=b=0，f′0=-aa+2=-3，---------------------------------4分

　　解得b=0，a=-3或1.---------------------------------------------------------------------4分

　　(2)∵曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

　　∴关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根，--------10分

　　∴Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0，即4a2+4a+1>0，

　　∴a≠-12.

　　∴a的取值范围是-∞，-12∪-12，+∞.---------------------------------15分

　　18、(本题满分15分)

　　中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.

　　(1)求这两曲线方程;

　　(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值.

　　解　(1)由已知：c=13，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，

　　则a-m=4，7•13a=3•13m.解得a=7，m=3.∴b=6，n=2.

　　∴椭圆方程为x249+y236=1，------------------------------------------------- --------------------4分

　　双曲线方程为x29-y24=1.-------------------------------------------------------------- ----------8分

　　(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|+|PF2|=14，|PF1|-|PF2|=6，

　　所以|PF1|=10，|PF2|=4.又|F1F2|=213，

　　∴cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|•|PF2|=102+42-21322×10×4=45.----------------------------15分

　　19、(本题满分16分)

　　设a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数f(x)=12ax2+bx+1.

　　(1)求f(x)在区间(-∞，-1]上是减函数的概率;

　　(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率.

　　解：(1)f(x)共有四种等可能基本事件即(a，b)取(2,1)(2,3)(4,1)(4,3)

　　记事件A为“f(x)在区间(-∞，-1]上是减函数”

　　有条件知f(x)开口一定向上，对称轴为x=

　　所以事件A共有三种(2,1)(4,1)(4,3)等可能基本事件

　　则P(A)=34.

　　所以f(x)在区间(-∞，-1]上是减函数的概率为34.-------------------8分

　　(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法.

　　∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)=a+b，

　　∴这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足，

　　∴概率为16.----------------------------------------------------16分

　　20、(本题满分16分)

　　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，点P35a，m(m>0)是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1，A2B2于点M，N.

　　(1)求椭圆的离心率;

　　(2)若MN=4217，求椭圆C的方程;

　　(3)在第(2)问条件下，求点 Q( )与椭圆C上任意一点T的距离d的最小值.

　　解：(1)由题意P3a5，4b5，kA2B2•kOP=-1，

　　所以4b2=3a2=4(a2-c2)，所以a2=4c2，所以e=12. ①---------------5分

　　(2)因为MN=4217=21a2+1b2，

　　所以a2+b2a2b2=712 ②

　　由①②得a2=4，b2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1.--------------------10分

　　(3)

　　因为 ，所以当 时TQ最小为 -----------------------------16分

　　北京市高二数学期中考试(3)

　　一、填空题(本题共14小题，每小题5分，合计70分。请把答案直接填写在答题纸相应的位置上.)

　　1. 不等式3-xx-1>0的解集为____ ▲____.

　　2. 若命题“对 x∈R，x2+4cx+1>0”是假命题，则实数c的取值范围是___ ▲_____.

　　3.从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于20的概率为____ ▲____.

　　4. 某人5 次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为____ ▲____.

　　5.如果执行如图所示的流程图，那么输出的S=___ ▲_____.

　　6.已知△ABC的三个内角A、B、C,“A>B”是“sinA>sinB”的_______ ▲________条件.(选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)

　　7.在区间[-5,5]内随机地取出一个数a，则使得a∈{a|-a2+a+2>0}的概率为____ ▲____.

　　8. 已知椭圆x210-m+y2m-2=1，长轴在y轴上.若焦距为4，则m=___ ▲____.

　　9.已知变量x、y满足x-4y+3≤03x+5y-25≤0x≥1，则 的最大值______ ▲_______.

　　10. 已知正数x，y满足x+ty=1，t是给定的正实数.若1x+1y的最小值为16，则正实数t的值是 ▲ .

　　11.已知函数f(x)=21-x，x≤1，2-log2x，x>1，则满足f(x)≥1的x的取值范围是_______▲ _____.

　　12.已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，x轴一点M( ,0)，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于____▲ ____.

　　13. 不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意a、b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为______▲ ______.

　　14.设a=x2-xy+y2，b=pxy，c=x+y，若对任意的正实数x、y，都存在以a、b、c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是____▲ ______.

　　二、解答题(本题共6小题，合计90分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

　　15.(本小题14分)设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a>0，q：实数x满足 .

　　(1) 若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围;

　　(2) 若 p是 q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

　　16.(本小题14分).已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈[1，+∞).

　　(1) 当a=4时，求函数f(x)的最小值;

　　(2) 若对任意x∈[1，4]，f(x)>6恒成立，试求实数a的取值范围.

　　17.(本小题14分)从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

　　(1) 求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图;

　　(2)根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分;

　　(3) 用分层抽样的方法在分数段为[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50,60)的概率.

　　18.(本小题16分) 如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2. 过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(2，1).

　　(1) 求椭圆C的方程;

　　(2) 设椭圆C的一个顶点为B(0，-b)，直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积.

　　19.(本小题16分)某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内(含3km)的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费. 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用约为2.3元;二是燃油费，约为1.6元/km;三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km时，折旧费约为0.1元. 现设一次载客的路程为xkm.

　　(1) 试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数;

　　(2) 若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每km的收益y取得最大值?

　　20.(本小题16分)设A1、A2与B分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2+y2=1相切.

　　(1) 求证：1a2+1b2=1;

　　(2) P是椭圆E上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率之积为-13，求椭圆E的方程;

　　(3) 直线l与椭圆E交于M、N两点，且OM→•ON→=0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由.

　　二、解答题(本题共6小题，合计90分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

　　15.(本小题14分)解：(1) 由x2-4ax+3a2<0，得(x-3a)(x-a)<0.又a>0，

　　所以a<x<3a.

　　当a=1时，1<x<3，即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.………………………………………………2分

　　由 ，得2<x≤3，

　　即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3. ……………………………………………………………………4分

　　若p∧q为真，则p真且q真，…………………………………………………………………………………5分

　　所以实数x的取值范围是2<x<3.………………………………………………………………………………7分

　　(2) p是 q的充分不必要条件，即 p q，且 q p.

　　设A={x| p}，B={x| q}，则A B.

　　又A={x| p}={x|x≤a或x≥3a}, B={x| q}={x≤2或x>3}，则0<a≤2，且3a>3，

　　所以实数a的取值范围是1<a≤2.……………………………………………………………………………14分

　　16.(本小题14分) 解：(1) 由a=4，∴f(x)=x2+2x+4x=x+4x+2≥6，当x=2时，取得等号.

　　即当x=2时，f(x)min=6.………………………………………………………………………………6分

　　(没有写等号成立的条件扣2分，如用函数单调性需要证明)

　　(2) x∈[1，4]，x2+2x+ax>6恒成立，即x∈[1，4]，x2+2x+a>6x恒成立.

　　等价于a>-x2+4x，当x∈[1，4]时恒成立，

　　令g(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4，x∈[1，4]，……………………………………………………………10分

　　∴a>g(x)max=g(2)=4，即.

　　∴a的取值范围是a>4……………………………………………………………………………………14分

　　17.(本小题14分)解：(1) 分数在[70,80)内的频率为

　　1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1-0.7=0.3.

　　又0.310=0.03，补出的图形如下图所示.……………………………………………………………4分

　　(2) 平均分为：x -=45×0.1+55×0. 15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.答：估计这次考试的平均分是71分.………………………………………………………………………………………8分

　　(3) 由题意，[40,50)分数段的人数为0.10×60=6人;[50,60)分数段的人数为0.15×60=9人;

　　在[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，在[40,50)分数段抽取2人，分别记为m，n;[50,60)分数段抽取3人，分别记为a，b，c，

　　设从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50,60)为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有(m，n)、(m，a)、(m，b)、(m，c)、…、(b，c)共10种，则事件A包含的基本事件有(m，a)、(m，b)、(m，c)、(n，a)、(n，b)、(n，c)、(a，b)、(a，c)、(b，c)共9种，

　　所以P(A)= =0.9.……………………………………………………………………………………14分

　　18.(本小题16分)解：(1) 由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a. 由题意|MF2|=1，∴|MF1|=2a-1.又由Rt△MF1F2可知(2a-1)2=(22)2+1，a>0，∴a=2.又a2-b2=2，得b2=2.

　　∴椭圆C的方程为x24+y22=1.……………………………………………………………………………6分

　　(2) 直线BF2的方程为y=x-2.

　　由 y=x-2x24+y22=1)，得点N的纵坐标为23. ………………………………………………………10分

　　又|F1F2|=22，

　　∴S△F1BN=12×2+23×22=83……………………………………………………………………16分

　　(2) (本小题16分)解：(1) F(x)= ，

　　即F(x)= .…………………………………………………………………………2分

　　设折旧费z=kx2，将(100,0.1)代入，

　　得0.1=1002k 解得k=1105……………………………………………………………………4分

　　，所以C(x)=2.3+1.6x+1105x2.………………………………………………………………………………6分

　　(2) 由题意得y=4.7x-1105x-1.6，　 2≤x≤30.8-2.5x+1105x， x>3，………………………………………………9分

　　①当x>3时，由基本不等式，得y≤0.8-225106=0.79(当且仅当x=500时取等号);………12分

　　②当2≤x≤3时，由y在[2,3]上单调递减，

　　得ymax=4.72-2105-1.6=0.75-2105<0.79.……………………………………………………………15分

　　答： 该市出租汽车一次载客路程为500km时，每km的收益y取得最大值.…………………………16分

　　20.(本小题16分) (1) 证明：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1、A2与B分别为椭圆E的左右顶点与上顶点，所以A1(-a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，直线A2B的方程是xa+yb=1.

　　因为A2B与圆C：x2+y2=1相切，所以11a2+1b2=1，

　　即1a2+1b2=1.…………………………………………………………………………………………4分

　　(2) 解：设P(x0，y0)，则直线PA1、PA2的斜率之积为

　　kPA1•kPA2=y0x0+a•y0x0-a=y20x20-a2=-13x20a2+3y20a2=1，而x20a2+y20b2=1，

　　所以b2=13a2.………………………………………………………………………………………8分

　　结合1a2+1b2=1，得a2=4，b2=43.

　　所以，椭圆E的方程为x24+3y24=1.………………………………………………………………10分

　　(3) 解：设点M(x1，y1)，N(x2，y2).

　　① 若直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+m，

　　由y=kx+m代入x2a2+y2b2=1，得x2a2+kx+m2b2=1.

　　化简，得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0(Δ>0).

　　∴ x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2，

　　y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

　　=a2k2m2-a2b2k2b2+a2k2+km-2a2kmb2+a2k2+m2=b2m2-a2b2k2b2+a2k2.

　　因为OM→•ON→=0，所以x1x2+y1y2=0.

　　代入，得(a2+b2)m2-a2b2(1+k2)=0.

　　结合(1)的1a2+1b2=1，得m2=1+k2.

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