定积分 练习

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　　适当的试题能让同学们适应考试，下面是中国招生考试网http://www.chinazhaokao.com/小编今天为大家精心准备了[标题]，希望对大家有所帮助!

　　定积分 练习(1)

　　一、填空题

　　(1) 根据定积分的几何意义，

　　

 

　　12

　　

 

　　

 

　　,

　　

 

　　____0____

　　(2)设

　　

 

　　，则

　　

 

　　_____5____，

　　

 

　　____-5___，

　　

 

　　

 

　　.

　　(3)

　　

 

　　0

　　(4)

　　

 

　　

 

　　定积分 练习(2)

　　三、计算题

　　1.估计积分的值：

　　

 

　　解：设

　　

 

　　，先求

　　

 

　　在

　　

 

　　上的最大、最小值，

　　

 

　　由

　　

 

　　得

　　

 

　　内驻点

　　

 

　　，由

　　

 

　　知

　　

 

　　由定积分性质得

　　

 

　　2.已知函数

　　

 

　　连续，且

　　

 

　　，求函数

　　

 

　　.

　　解：设

　　

 

　　，则

　　

 

　　，于是

　　

 

　　，

　　得

　　

 

　　，所以

　　

 

　　.

　　3.

　　

 

　　解：原式=

　　

 

　　

 

　　4.

　　

 

　　解：原式=

　　

 

　　

 

　　5.

　　

 

　　解：原式=

　　

 

　　

 

　　6.

　　

 

　　解：原式

　　

 

　　

 

　　7.

　　

 

　　解：原式

　　

 

　　

 

　　

 

　　定积分 练习(3)

　　不定积分(Indefinite integral)

　　即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)(C是任意常数)。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无

　　

 

　　定积分

　　限多个原函数。

　　定积分 (definite integral)

　　定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

　　定义(Definition)

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　　设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi(1,2,...,n)，作和式

　　

 

　　。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}(即λ是最大的区间长度)，如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为

　　

 

　　，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]

　　其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

　　之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。

　　根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：

　　

 

　　特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：

　　

 

　　性质(Nature)

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　　1、

　　

 

　　2、

　　

 

　　3、常数可以提到积分号前。

　　

 

　　4、代数和的积分等于积分的代数和。

　　

 

　　5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有

　　

 

　　又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c(可以不在区间[a,b]上)满足条件。[2]

　　6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则

　　

 

　　7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点 t 在(a，b)内使

　　

 

　　(见参考资料1)

　　常用积分法

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　　换元积分法

　　如果

　　(1)

　　

 

　　;

　　(2)x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;

　　(3)当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ(α)=a,ψ(β)=b,

　　则

　　

 

　　分部积分法

　　设u=u(x),v=v(x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R([a,b]),则有分部积分公式：

　　

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