步步高北师大版(数学文)大一轮

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　　适当的试题能让考生很好的掌握考试节奏，下面是中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编为大家带来的步步高北师大版(数学文)大一轮,希望能帮助到大家!

　　步步高北师大版(数学文)大一轮(1)

　　1.仰角和俯角

　　与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).

　　

 

　　2.方向角

　　相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.

　　3.方位角

　　指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).

　　【思考辨析】

　　判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

　　(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α+β=180°.(　×　)

　　(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，2(π)].(　×　)

　　(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(　√　)

　　(4)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算.(　√　)

　　

 

　　

 

　　1.海面上有A，B，C三个灯塔，AB=10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于(　　)

　　A.10 n mile B.3(6) n mile

　　C.5 n mile D.5 n mile

　　

答案　D

 

　　解析　如图，在△ABC中，

　　AB=10，∠A=60°，

　　∠B=75°，

　　∴sin 60°(BC)=sin 45°(10)，

　　∴BC=5.

　　2.若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC=BC，则点A在点B的(　　)

　　A.北偏东15° B.北偏西15°

　　C.北偏东10° D.北偏西10°

　　答案　B

 

　　解析　如图所示，∠ACB=90°，

　　又AC=BC，

　　∴∠CBA=45°，而β=30°，

　　∴α=90°-45°-30°=15°.

　　∴点A在点B的北偏西15°.

　　3.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：≈1.732)(　　)

　　

 

　　A.11.4 km B.6.6 km

　　C.6.5 km D.5.6 km

　　答案　B

　　解析　∵AB=1 000×60(1)=3(50) km，

　　∴BC=sin 45°(AB)·sin 30°=2(50) km.

　　∴航线离山顶h=2(50)×sin 75°=2(50)×sin(45°+30°)

　　≈11.4 km.

　　∴山高为18-11.4=6.6 km.

　　步步高北师大版(数学文)大一轮(2)

　　4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.

　　答案　70

　　解析　设两船之间的距离为d，

　　则d2=502+302-2×50×30×cos 120°=4 900，

　　∴d=70，即两船相距70 n mile.

　　5.

如图所示，已知树顶A离地面2(21)米，树上另一点B离地面2(11)米，某人在离地面2(3)米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大.

 

　　答案　6

　　

解析　过C作CF⊥AB于点F，

 

　　设∠ACB=α，∠BCF=β，

　　由已知得AB=2(21)-2(11)=5(米)，

　　BF=2(11)-2(3)=4(米)，AF=2(21)-2(3)=9(米).

　　则tan(α+β)=FC(AF)=FC(9)，tan β=FC(BF)=FC(4)，

　　∴tan α=[(α+β)-β]

　　=1+tan(α+β)tan β(tan(α+β)-tan β)=FC2(36)

　　=FC(36)≤FC(36)=12(5).

　　当且仅当FC=FC(36)，即FC=6(米)时，tan α取得最大值，此时α取得最大值.

　　

 

　　题型一　求距离、高度问题

　　例1　(1)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A，B两点的距离为(　　)

　　

 

　　A.50 m B.50m

　　C.25 m D.2(2) m

　　

(2)(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=________m.

 

　　答案　(1)A　(2)100

　　解析　(1)由正弦定理得

　　AB=sin B(AC·sin∠ACB)=2(1)=50(m).

　　

(2)在△ABC中，AB=600，∠BAC=30°，∠ACB=75°-30°=45°，由正弦定理得sin∠BAC(BC)=sin∠ACB(AB)，即sin 30°(BC)=sin 45°(600)，所以BC=300.在Rt△BCD中，∠CBD=30°，CD=BCtan∠CBD=300·tan 30°=100.

 

　　思维升华　求距离、高度问题应注意

　　(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角;理解方向角的概念.

　　(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解;若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.

　　(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

　　

　(1)一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°的方向上，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/小时.

 

　　(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.

　　答案　(1)2(17)　(2)30+30

　　步步高北师大版(数学文)大一轮(3)

　　

(1)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的______方向.

 

　　(2)

如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)

 

　　A.30° B.45°

　　C.60° D.75°

　　答案　(1)北偏西10°　(2)B

　　解析　(1)由已知∠ACB=180°-40°-60°=80°，

　　又AC=BC，∴∠A=∠ABC=50°，60°-50°=10°，

　　∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.

　　(2)依题意可得AD=20 m，AC=30 m，又CD=50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD=2AC·AD(AC2+AD2-CD2)=10(10)2-502)

　　=2(6 000)=2(2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD=45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

　　思维升华　解决测量角度问题的注意事项

　　(1)首先应明确方位角或方向角的含义.

　　(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.

　　(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.

　　

　如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，则tan θ的最大值是________.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)

 

　　

 

　　

答案　9(3)

 

　　解析　如图，过点P作PO⊥BC于点O，

　　连接AO，则∠PAO=θ.

　　设CO=x m，则OP=3(3)x m.

　　在Rt△ABC中，AB=15 m，AC=25 m，

　　所以BC=20 m.所以cos∠BCA=5(4).

　　所以AO= 5(4)

　　=(m).

　　所以tan θ=x2-40x+625(x)=x2(625)

　　=25(9).

　　当x(25)=5(4)，即x=4(125)时，tan θ取得最大值为5(3)=9(3).

　　题型三　三角形与三角函数的综合问题

　　例3　已知函数f(x)=2sin2+x(π)+2sin+x(π)cos+x(π).

　　(1)求函数f(x)的单调递增区间;

　　(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且角A满足f(A)=+1.若a=3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积S.

　　解　(1)由题意知，

　　f(x)=+2x(π)+sin+2x(π)

　　=(1+sin 2x)+cos 2x=+sin 2x+cos 2x

　　=+2sin6(π)，

　　由2kπ-2(π)≤2x+6(π)≤2kπ+2(π)，k∈Z，

　　解得kπ-3(π)≤x≤kπ+6(π)，k∈Z，

　　∴函数f(x)的单调递增区间为

　　6(π)，k∈Z.

　　(2)由f(A)=+1，得sin6(π)=2(1)，

　　∴2A+6(π)=6(π)或6(5π)，即A=0或3(π).

　　又A为△ABC的内角，∴A=3(π).由A=3(π)，a=3，

　　得|→(BC)|=|→(AC)-→(AB)|=a=3，①

　　又BC边上的中线长为3，知|→(AB)+→(AC)|=6，②

　　联立①②，解得→(AB)·→(AC)=4(27)，

　　即|→(AB)|·|→(AC)|·cos 3(π)=4(27)，

　　∴|→(AB)|·|→(AC)|=2(27).

　　∴△ABC的面积为

　　S=2(1)|→(AB)|·|→(AC)|·sin 3(π)=8(3).

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