圆的一般方程教案

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　　圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的...下面是中国招生考试网http://www.chinazhaokao.com/小编今天为大家精心准备了圆的一般方程教案，希望对大家有所帮助!

　　圆的一般方程教案(一)

　　1.教学目标

　　(1)知识目标: 1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;

　　2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.

　　(2)能力目标: 1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;

　　2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;

　　3.增强学生用数学的意识.

　　(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

　　2.教学重点.难点

　　(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用.

　　(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰

　　当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

　　3.教学过程

　　(一)创设情境(启迪思维)

　　问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?

　　[引导] 画图建系

　　[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)

　　解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2 y2=16(y≥0)

　　将x=2.7代入,得 .

　　即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。

　　(二)深入探究(获得新知)

　　问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为 的圆的方程?

　　答:x2 y2=r2

　　2.如果圆心在 ,半径为 时又如何呢?

　　[学生活动] 探究圆的方程。

　　[教师预设] 方法一:坐标法

　　如图,设M(x,y)是圆上任意一点,根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r}

　　由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为 ①

　　把①式两边平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2

　　方法二:图形变换法

　　方法三:向量平移法

　　(三)应用举例(巩固提高)

　　I.直接应用(内化新知)

　　问题三:1.写出下列各圆的方程(课本P77练习1)

　　(1)圆心在原点,半径为3;

　　(2)圆心在 ,半径为 ;

　　(3)经过点 ,圆心在点 .

　　2.根据圆的方程写出圆心和半径

　　(1) ; (2) .

　　II.灵活应用(提升能力)

　　问题四:1.求以 为圆心,并且和直线 相切的圆的方程.

　　[教师引导]由问题三知:圆心与半径可以确定圆.

　　2.已知圆的方程为 ,求过圆上一点 的切线方程.

　　[学生活动]探究方法

　　[教师预设]

　　方法一:待定系数法(利用几何关系求斜率-垂直)

　　方法二:待定系数法(利用代数关系求斜率-联立方程)

　　方法三:轨迹法(利用勾股定理列关系式) [多媒体课件演示]

　　方法四:轨迹法(利用向量垂直列关系式)

　　3.你能归纳出具有一般性的结论吗?

　　已知圆的方程是 ,经过圆上一点 的切线的方程是: .

　　III.实际应用(回归自然)

　　问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱 的长度(精确到0.01m).

　　[多媒体课件演示创设实际问题情境]

　　(四)反馈训练(形成方法)

　　问题六:1.求以C(-1,-5)为圆心,并且和y轴相切的圆的方程.

　　2.已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB为直径的圆的方程.

　　3.求圆x2 y2=13过点(-2,3)的切线方程.

　　4.已知圆的方程为 ,求过点 的切线方程.

　　(五)小结反思(拓展引申)

　　1.课堂小结:

　　(1)圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为:

　　当圆心在原点时,圆的标准方程为:

　　(2) 求圆的方程的方法:①找出圆心和半径;②待定系数法

　　(3) 已知圆的方程是 ,经过圆上一点 的切线的方程是:

　　(4) 求解应用问题的一般方法

　　2.分层作业:(A)巩固型作业:课本P81-82:(习题7.6)1.2.4

　　(B)思维拓展型作业:

　　试推导过圆 上一点 的切线方程.

　　3.激发新疑:

　　问题七:1.把圆的标准方程展开后是什么形式?

　　2.方程: 的曲线是什么图形?

　　教学设计说明

　　圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。.首先,在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上,用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程,然后,利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生用数学的意识。另外,为了培养学生的理性思维,我分别在引例和问题四中,设计了两次由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.

　　本节课的设计了五个环节,以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维.提高了能力、培养了

　　圆的一般方程教案(二)

　　教学目标

　　(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.

　　(2)掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化.

　　(3)了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题.

　　(4)掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线.

　　(5)进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法.

　　教学建议

　　教材分析

　　(1)知识结构

　　(2)重点、难点分析

　　①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求，用解决相关问题.

　　②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用.

　　教法建议

　　(1)圆是最简单的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备.同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法.

　　(2)在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结.

　　(3)解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识.

　　(4)有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题.建议适当选择一些内容供学生研究.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似的还有圆系方程等问题.

　　圆的一般方程教案(三)

　　教学目标 ：

　　(1)掌握圆的一般方程及其特点.

　　(2)能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径.

　　(3)能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程.

　　(4)通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法.

　　教学重点：(1)用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径.

　　(2)用待定系数法求.

　　教学难点 ：圆的一般方程特点的研究.

　　教学用具：计算机.

　　教学方法：启发引导法，讨论法.

　　教学过程 ：

　　【引入】

　　前边已经学过了圆的标准方程

　　把它展开得

　　任何都可以通过展开化成形如

　　①

　　的方程

　　【问题1】

　　形如①的方程的曲线是否都是圆?

　　师生共同讨论分析：

　　如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗?运用配方法，得

　　②

　　显然②是不是圆方程与 是什么样的数密切相关，具体如下：

　　(1)当 时，②表示以 为圆心、以 为半径的圆;

　　(2)当 时，②表示一个点 ;

　　(3)当 时，②不表示任何曲线.

　　总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示.

　　圆的一般方程的定义：

　　当 时，①表示以 为圆心、以 为半径的圆，

　　此时①称作圆的一般方程.

　　即称形如 的方程为圆的一般方程.

　　【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同.

　　(1) 和 的系数相同，都不为0.

　　(2)没有形如 的二次项.

　　圆的一般方程与一般的二元二次方程

　　③

　　相比较，上述(1)、(2)两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件.

　　圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

　　(1)圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然.

　　(2)圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.

　　【实例分析】

　　例1：下列方程各表示什么图形.

　　(1) ;

　　(2) ;

　　(3) .

　　学生演算并回答

　　(1)表示点(0，0);

　　(2)配方得 ，表示以 为圆心，3为半径的圆;

　　(3)配方得 ，当 、 同时为0时，表示原点(0，0);当 、 不同时为0时，表示以 为圆心， 为半径的圆.

　　例2：求过三点 ， ， 的，并求出圆心坐标和半径.

　　分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解.

　　解：设为

　　因为 、 、 三点在圆上，则有

　　解得： ， ，

　　所求为

　　可化为

　　圆心为 ，半径为5.

　　请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别.

　　【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

　　(1)求多用待定系数法.其步骤为：由题意设方程(标准方程或一般方程);根据条件列出关于待定系数的方程组;解方程组求出系数，写出方程.

　　(2)如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程;如果给出圆上已知点，可选用一般方程.

　　下面再看一个问题：

　　例3： 经过点 作圆 的割线，交圆 于 、 两点，求线段 的中点 的轨迹.

　　解：圆 的方程可化为 ，其圆心为 ，半径为2.设 是轨迹上任意一点.

　　∵

　　∴

　　即

　　化简得

　　点 在曲线上，并且曲线为圆 内部的一段圆弧.

　　【练习巩固】

　　(1)方程 表示的曲线是以 为圆心，4为半径的圆.求 、 、 的值.(结果为4，-6，-3)

　　(2)求经过三点 、 、 的.

　　分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得为 .

　　(3)课本第79页练习1，2.

　　【小结】师生共同总结：

　　(1)圆的一般方程及其特点.

　　(2)用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径.

　　(3)用待定系数法求.

　　【作业 】课本第82页5，6，7，8.

　　【板书设计 】

　　圆的一般方程

　　圆的一般方程例1：

　　例2：例3：

　　练习：小结：

　　作业 ：

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