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苏北四市2016届高三第一次摸底考试数学

2016-08-18 16:19:16 高考题库 来源:http://www.chinazhaokao.com 浏览:

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  适当的试题能让考生很好的掌握考试节奏,下面是中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编为大家带来的苏北四市2016届高三第一次摸底考试数学,希望能帮助到大家!

  苏北四市2016届高三第一次摸底考试数学(1)

  1.已知集合

  

 

  ,

  

 

  ,若

  

 

  ,则实数

  

 

  的值为 ▲ .

  2.已知复数

  

 

  满足

  

 

  ,若

  

 

  的虚部大于0,则

  

 

  ▲ .

  3.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在50~90 km/h的汽车中抽取150辆进行分析,得到数据的频率分布直方图(如图所示),则速度在70km/h以下的汽车有 ▲ 辆.

  4.运行如图所示的伪代码,则输出的结果S为 ▲ .

  

 

  

 

  

 

  5.函数

  

 

  的部分图象如图所示,若AB= 5,则

  

 

  的值为 ▲ .

  6.若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,则甲与丙都不在第一天值班的概率为 ▲ .

  7.抛物线

  

 

  的焦点到双曲线

  

 

  渐近线的距离为 ▲ .

  8. 已知矩形

  

 

  的边

  

 

  ,

  

 

  ,若沿对角线

  

 

  折叠,使平面

  

 

  平面

  

 

  ,

  则三棱锥

  

 

  的体积为 ▲ .

  9.若公比不为1的等比数列

  

 

  满足

  

 

  ,等差数列

  

 

  满足

  

 

  ,则

  

 

  的值为 ▲ .

  10.定义在

  

 

  上的奇函数

  

 

  满足当

  

 

  时,

  

 

  (

  

 

  为常数).若

  

 

  ,则

  

 

  的值为 ▲ .

  11.已知

  

 

  ,且

  

 

  .若点C满足

  

 

  ,则

  

 

  的取值范围是 ▲ .

  12.已知函数

  

 

  若关于

  

 

  的不等式

  

 

  的解集为

  

 

  ,则实

  数

  

 

  的取值范围是 ▲ .

  13.已知点

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  ,点

  

 

  是直线

  

 

  上的动点,若

  

 

  恒成立,则最小正整数

  

 

  的值为 ▲ .

  14.已知正数

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  满足

  

 

  ,则

  

 

  的最小值为 ▲ .

  苏北四市2016届高三第一次摸底考试数学(2)

  15.(本小题满分14分)

  在锐角三角形

  

 

  中,角

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  的对边分别为

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  ,已知

  

 

  ,

  

 

  .

  (1)求

  

 

  的值;

  (2)若

  

 

  ,求

  

 

  .

  16.(本小题满分14分)

  

 

  如图,在四棱锥

  

 

  中,已知底面

  

 

  为矩形,

  

 

  ⊥平面

  

 

  ,点

  

 

  为棱

  

 

  的中点.求证:

  (1)

  

 

  //平面

  

 

  ;

  (2)平面

  

 

  ⊥平面

  

 

  .

  17.(本小题满分14分)

  如图,

  

 

  是南北方向的一条公路,

  

 

  是北偏东

  

 

  方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线

  

 

  .为方便游客观光,拟过曲线

  

 

  上某点

  

 

  分别修建与公路

  

 

  ,

  

 

  垂直的两条道路

  

 

  ,

  

 

  ,且

  

 

  ,

  

 

  的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系

  

 

  ,则曲线

  

 

  符合函数

  

 

  模型,设

  

 

  ,修建两条道路

  

 

  ,

  

 

  的总造价为

  

 

  万元 .题中所涉及长度单位均为百米.

  (1)求

  

 

  的解析式;

  

 

  (2)当

  

 

  为多少时,总造价

  

 

  最低?并求出最低造价.

  18.(本小题满分16分)

  

 

  已知各项均为正数的数列

  

 

  的首项

  

 

  ,

  

 

  是数列

  

 

  的前

  

 

  项和,且满足:

  

 

  .

  (1)若

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  成等比数列,求实数

  

 

  的值;

  (2)若

  

 

  ,求

  

 

  .

  19.(本小题满分16分)

  如图,在平面直角坐标系

  

 

  中,已知椭圆

  

 

  的离心率

  

 

  ,左顶点为

  

 

  ,过点

  

 

  作斜率为

  

 

  的直线

  

 

  交椭圆

  

 

  于点D,交

  

 

  轴于点E.

  (1)求椭圆

  

 

  的方程;

  (2)已知点

  

 

  为

  

 

  的中点,是否存在定点

  

 

  ,对于任意的

  

 

  都有

  

 

  ?若存在,求出点

  

 

  的坐标;若不存在,说明理由.

  (3)若过点

  

 

  作直线

  

 

  的平行线交椭圆

  

 

  于点

  

 

  ,求

  

 

  的最小值.

  

 

  20.(本小题满分16分)

  

 

  已知函数

  

 

  ,其中

  

 

  ,

  

 

  为自然对数的底数.

  (1)若函数

  

 

  的图象在

  

 

  处的切线与直线

  

 

  垂直,求

  

 

  的值;

  (2)关于

  

 

  的不等式

  

 

  在

  

 

  上恒成立,求

  

 

  的取值范围;

  (3)讨论函数

  

 

  极值点的个数.

  

 

  21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)

  如图,∠

  

 

  是直角,圆

  

 

  与射线

  

 

  相切于点

  

 

  ,

  与射线

  

 

  相交于两点

  

 

  ,

  

 

  .求证:

  

 

  平分∠

  

 

  .

  B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)

  已知矩阵

  

 

  ,求矩阵

  

 

  的特征值和特征向量.

  C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

  在极坐标系中,圆

  

 

  的极坐标方程为

  

 

  ,已知

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  为圆

  

 

  上一点,求

  

 

  面积的最小值.

  D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)

  设x,y均为正数,且x>y,求证:

  

 

  .

  【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写

  出文字说明、证明过程或演算步骤.

  22.(本小题满分10分)

  如图,在直三棱柱

  

 

  中,底面

  

 

  是直角三角形,

  

 

  ,

  

 

  ,点

  

 

  是棱

  

 

  上一点,满足

  

 

  .

  

 

  (1)若

  

 

  ,求直线

  

 

  与平面

  

 

  所成角的正弦值;

  (2)若二面角

  

 

  的正弦值为

  

 

  ,求

  

 

  的值.

  23. (本小题满分10分)

  已知数列

  

 

  满足

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  .

  (1)求证:

  

 

  ;

  (2)求证:当

  

 

  时,

  

 

  .

  苏北四市2016届高三第一次摸底考试数学(3)

  1. 2; 2.

  

 

  ; 3.75; 4.9; 5.

  

 

  ; 6.

  

 

  ;

  7.

  

 

  ; 8.

  

 

  ; 9.26; 10. 4; 11.

  

 

  ;

  12.

  

 

  ; 13.4; 14.

  

 

  .

  二、解答题

  15.(1)在锐角三角形

  

 

  中,由

  

 

  ,得

  

 

  , …………2分

  所以

  

 

  .……………………………………………………………4分

  由

  

 

  ,得

  

 

  . ………………7分

  (2)在锐角三角形

  

 

  中,由

  

 

  ,得

  

 

  ,

  

 

  ,……9分

  所以

  

 

  ,…………………11分

  由正弦定理

  

 

  ,得

  

 

  . ………………14分

  

 

  16.(1) 连接BD与AC相交于点O,连结OE.………2分

  因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD中点.

  因为E为棱PD中点,所以PB∥OE.………4分

  因为PB

  

 

  平面EAC,OEÌ平面EAC,

  所以直线PB∥平面EAC.……………………6分

  (2) 因为PA⊥平面PDC,CDÌ平面PDC,所以 PA⊥CD. …………………8分

  因为四边形ABCD为矩形,所以AD⊥CD.…………………………………10分

  因为 PA∩AD=A,PA,ADÌ平面PAD,所以 CD⊥平面PAD.…………12分

  因为CDÌ平面ABCD,所以 平面PAD⊥平面ABCD. …………………14分

  17. (1)在如图所示的直角坐标系中,因为曲线C的方程为

  

 

  ,

  

 

  所以点P坐标为

  

 

  ,

  直线OB的方程为

  

 

  , ……………………………………………………2分

  则点P到直线

  

 

  的距离为

  

 

  ,………………4分

  又PM的造价为5万元/百米,PN的造价为40万元/百米.

  则两条道路总造价为

  

 

  . …………8分

  (2) 因为

  

 

  ,

  所以

  

 

  , ………………………10分

  令

  

 

  ,得

  

 

  ,列表如下:

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  单调递减极小值单调递增

  所以当

  

 

  时,函数

  

 

  有最小值,最小值为

  

 

  .……13分

  答:(1)两条道路PM ,PN总造价

  

 

  为

  

 

  

 

  ;

  (2)当

  

 

  时,总造价最低,最低造价为30万元. ……………………14分

  (注:利用三次均值不等式

  

 

  ,

  当且仅当

  

 

  ,即

  

 

  时等号成立,照样给分.)

  18.(1)令

  

 

  ,得

  

 

  .

  令

  

 

  ,得

  

 

  ,所以

  

 

  .…………2分

  由

  

 

  ,得

  

 

  ,因为

  

 

  ,所以

  

 

  .………4分

  (2)当

  

 

  时,

  

 

  ,

  所以

  

 

  ,即

  

 

  ,………………………6分

  所以数列

  

 

  是以

  

 

  为首项,公差为

  

 

  的等差数列,

  所以

  

 

  , ……………………………………………………8分

  即

  

 

  ,①

  当

  

 

  时,

  

 

  ,②

  ①

  

 

  ②得,

  

 

  ,……………………………………………10分

  即

  

 

  ,所以

  

 

  , ………………………12分

  所以

  

 

  是首项为

  

 

  是常数列,所以

  

 

  . ……………………14分

  代入①得

  

 

  . ……………………16分

  19. (1)因为左顶点为

  

 

  ,所以

  

 

  ,又

  

 

  ,所以

  

 

  .…………………2分

  又因为

  

 

  ,

  所以椭圆C的标准方程为

  

 

  . ………………………………………4分

  (2)直线

  

 

  的方程为

  

 

  ,由

  

 

  消元得,

  

 

  .

  化简得,

  

 

  ,

  所以

  

 

  ,

  

 

  . ……………………………………………………6分

  当

  

 

  时,

  

 

  ,

  所以

  

 

  .因为点

  

 

  为

  

 

  的中点,所以

  

 

  的坐标为

  

 

  ,

  则

  

 

  .…………………………………………………………………………8分

  直线

  

 

  的方程为

  

 

  ,令

  

 

  ,得

  

 

  点坐标为

  

 

  ,

  假设存在定点

  

 

  ,使得

  

 

  ,

  则

  

 

  ,即

  

 

  恒成立,

  所以

  

 

  恒成立,所以

  

 

  即

  

 

  因此定点

  

 

  的坐标为

  

 

  . …………………………………………10分

  (3)因为

  

 

  ,所以

  

 

  的方程可设为

  

 

  ,

  由

  

 

  得

  

 

  点的横坐标为

  

 

  ,………………………………………12分

  由

  

 

  ,得

  

 

  

 

  …………………………………………………14分

  

 

  ,

  当且仅当

  

 

  即

  

 

  时取等号,

  所以当

  

 

  时,

  

 

  的最小值为

  

 

  . …………………………16分

  20. (1) 由题意,

  

 

  , …………………………………………2分

  因为

  

 

  的图象在

  

 

  处的切线与直线

  

 

  垂直,

  所以

  

 

  ,解得

  

 

  . ……………………………4分

  (2) 法一:由

  

 

  ,得

  

 

  ,

  即

  

 

  对任意

  

 

  恒成立,……………………………6分

  即

  

 

  对任意

  

 

  恒成立,

  因为

  

 

  ,所以

  

 

  , ……………………………8分

  记

  

 

  ,因为

  

 

  在

  

 

  上单调递增,且

  

 

  ,

  所以

  

 

  ,即

  

 

  的取值范围是

  

 

  . ………………………………………10分

  法二:由

  

 

  ,得

  

 

  ,

  即

  

 

  在

  

 

  上恒成立,……………………………6分

  因为

  

 

  等价于

  

 

  ,

  ①当

  

 

  时,

  

 

  恒成立,

  所以原不等式的解集为

  

 

  ,满足题意. …………………………………………8分

  ②当

  

 

  时,记

  

 

  ,有

  

 

  ,

  所以方程

  

 

  必有两个根

  

 

  ,且

  

 

  ,

  原不等式等价于

  

 

  ,解集为

  

 

  ,与题设矛盾,

  所以

  

 

  不符合题意.

  综合①②可知,所求

  

 

  的取值范围是

  

 

  .…………………………………………10分

  (3) 因为由题意,可得

  

 

  ,

  所以

  

 

  只有一个极值点或有三个极值点. ……11分 令

  

 

  ,

  ①若

  

 

  有且只有一个极值点,所以函数

  

 

  的图象必穿过x轴且只穿过一次,

  即

  

 

  为单调递增函数或者

  

 

  极值同号.

  ⅰ)当

  

 

  为单调递增函数时,

  

 

  在

  

 

  上恒成立,得

  

 

  .………12分

  ⅱ)当

  

 

  极值同号时,设

  

 

  为极值点,则

  

 

  ,

  由

  

 

  有解,得

  

 

  ,且

  

 

  

 

  ,

  所以

  

 

  ,

  所以

  

 

  

 

  

 

  

 

  ,

  同理,

  

 

  ,

  所以

  

 

  ,

  化简得

  

 

  ,

  所以

  

 

  ,即

  

 

  , 所以

  

 

  .

  所以,当

  

 

  时,

  

 

  有且仅有一个极值点; ……………………………14分

  ②若

  

 

  有三个极值点,所以函数

  

 

  的图象必穿过x轴且穿过三次,同理可得

  

 

  ;

  综上,当

  

 

  时,

  

 

  有且仅有一个极值点,

  当

  

 

  时,

  

 

  有三个极值点. ……………………………16分

  数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准

  21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  21A.连结

  

 

  .

  

 

  因为

  

 

  是切线,所以

  

 

  .………………………2分

  又因为

  

 

  是直角,即

  

 

  , 所以

  

 

  ,

  所以

  

 

  .… 5分 又

  

 

  ,所以

  

 

  ,……8分

  所以

  

 

  , 即

  

 

  平分

  

 

  . ………………………………10分

  21B.矩阵

  

 

  的特征多项式为

  

 

  , ……………2分

  由

  

 

  ,解得

  

 

  ,

  

 

  .. …………………………………………4分

  当

  

 

  时,特征方程组为

  

 

  故属于特征值

  

 

  的一个特征向量

  

 

  ;………………………………7分

  当

  

 

  时,特征方程组为

  

 

  故属于特征值

  

 

  的一个特征向量

  

 

  . …………………………10分

  21C.圆

  

 

  的直角坐标方程为

  

 

  ,

  即

  

 

  . ………………………………………………4分

  又

  

 

  ,所以

  

 

  .…6分

  

 

  到直线

  

 

  距离的最小值为

  

 

  ,…8分

  所以

  

 

  面积的最小值为

  

 

  .…………………………………10分

  21D.因为x>0,y>0,x-y>0,

  

 

  ,…………………………………4分

  =

  

 

  

 

  , ……………………8分

  所以

  

 

  . ……………………………………………10分

  【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写

  出文字说明、证明过程或演算步骤.

  22.以

  

 

  为坐标原点

  

 

  ,分别以

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  所在直线为

  

 

  轴、

  

 

  轴、

  

 

  轴,建立空间直角坐标系

  

 

  .因为

  

 

  ,

  

 

  ,则

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  .……………………………………………1分

  (1)由

  

 

  得,

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  ,

  设平面

  

 

  的法向量为

  

 

  ,由

  

 

  得

  

 

  不妨取

  

 

  ,则

  

 

  , 从而平面

  

 

  的一个法向量为

  

 

  .…3分

  设直线

  

 

  与平面

  

 

  所成的角为

  

 

  , 则

  

 

  ,

  所以直线

  

 

  与平面

  

 

  所成的角的正弦值为

  

 

  .…………………………5分

  (2)设平面

  

 

  的法向量为

  

 

  ,

  

 

  ,

  由

  

 

  得

  

 

  不妨取

  

 

  ,则

  

 

  ,

  所以平面

  

 

  的法向量为

  

 

  .……………………………………7分

  则

  

 

  ,又因为二面角

  

 

  的正弦值为

  

 

  ,

  所以

  

 

  ,………………………………………………………9分

  化简得

  

 

  ,解得

  

 

  或

  

 

  (舍去),

  故

  

 

  的值为

  

 

  . …………………………10分

  23.(1)由题意知,

  

 

  ,

  

 

  , …………1分

  当

  

 

  时,

  

 

  . ……………2分

  (2)用数学归纳法加以证明:

  ①当

  

 

  时,

  

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  ,

  所以当

  

 

  时,结论成立.………………………………………………4分

  ②假设当

  

 

  时,结论成立,即

  

 

  ,

  则

  

 

  时,

  

 

  

 

  

 

  …………6分

  

 

  

 

  

 

  

 

  ,

  由

  

 

  可知,

  

 

  ,即

  

 

  .

  所以当

  

 

  时,结论也成立.

  综合①②可得,当

  

 

  时,

  

 

  . …………………10分
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