一元二次方程复习课导学案

导读：　　　只含有一个未知数(即元)，并且未知数的最高次数为2(即次)的整式方程叫做一元二次方程(英文名：quadratic equation of one unknown) ...

　　只含有一个未知数(即“元”)，并且未知数的最高次数为2(即“次”)的整式方程叫做一元二次方程(英文名：quadratic equation of one unknown)。一元二次方程的标准形式(即所有一元二次方程经整理都能得到的形式)是ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0)。求根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。下面是中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编为大家带来的一元二次方程复习课导学案，希望能帮助到大家! 

　　一元二次方程复习课导学案

　　时间：12.29

　　1、复习一元二次方程，一元二次方程的解的概念;

　　2、复习4种方法解简单的一元二次方程;

　　3、会建立一元二次方程的模型解决简单的实际问题。

　　[学习过程]

　　一、回顾知识点

　　1、一元二次方程具有三个显著特点，它们是①_________________;②_________________;③_________________。

　　2、一元二次方程的一般形式是_______________________________。

　　3、一元二次方程的解法有____________、____________、____________、____________。

　　4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为△=b2-4ac。

　　①当△>0时，方程有__________;②当△=0时，方程有__________;③当△<0时，方程有__________。

　　5. 一元二次方程 的两根为 ， ，则两根与方程系数之间有如下

　　关系： ，

　　二巩固练习

　　一、填空题：

　　1、在下列方程①2x+1=0;②y2+x=1;③x2+1=0;④ +x2=1中，是一元一次方程的是_____。

　　2、已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m=______。

　　3、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常项为0，则m=________。

　　4、关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的情况是__________。

　　5、写出两个一元二次方程，使每个方程都有一根为0，并且二次项系数都为1：________;______________。

　　6、三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是___________。

　　7、解方程5(x- )2=2(x- )最适当的方法是_____________。二、填空题：(每题3分，共24分)

　　8.一元二次方程 的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ;

　　9. 方程 的解为

　　10.已知关于x一元二次方程 有一个根为1，则

　　11.当代数式 的值等于7时，代数式 的值是 ;

　　12.关于 实数根(注：填“有”或“没有”)。

　　13.一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两

　　位数为 ;

　　14.已知一元二次方程 的一个根为 ，则 .

　　15. 阅读材料：设一元二次方程 的两根为 ， ，则两根与方程系数之间有如下

　　关系： ， .根据该材料填空：已知 ， 是方程 的两

　　实数根，则 的值为______　.

　　二、选择题：(每题3分，共30分)

　　1、关于x的方程 是一元二次方程，则( )

　　A、a>0 B、a≠0 C、a=0 D、a≥0

　　2.用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是( )

　　A、 B、 C、 D、

　　3.方程 的根是( )

　　A、 B、 C、 D、

　　4.下列方程中，关于x的一元二次方程的是( )

　　A、 B、 C、 D、

　　5.关于x的一元二次方程x2+kx-1=0的根的情况是( )

　　A、有两个不相等实数根 B、没有实数根

　　C、有两个相等的实数根 　　 D、不能确定

　　6.已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是( )

　　A、1 B、0 C、0或1 D、0或-1

　　7.为执行“两免一补”政策，某地区2008年投入教育经费2500万元，预计2010年投入3600万元.设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为 ，则下列方程正确的是(　　)

　　A、 B、

　　C、 D、

　　8. 已知 、 是方程 的两个根，则代数式 的值( )

　　A、37 B、26 C、13 D、10

　　9.等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则这个三角形的周长是( )

　　A、8 B、10 C、8或10 D、不能确定

　　10.一元二次方程 化为一般形式为( )

　　A、 B、 C、 D、

　　三、解答题：(共46分)

　　19、解方程(每题4分，共16分)

　　(1) (2)

　　22、已知a、b、c均为实数，且 ，求方程

　　的根。(8分)

　　23.在北京2008年第29届奥运会前夕，某超市在销售中发现：奥运会吉祥物“福娃”平均每天可售出20套，

　　每件盈利40元。为了迎接奥运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。

　　经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套。要想平均每天在销售吉祥物上盈利

　　1200元，那么每套应降价多少?(10分)

　　24.美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某市城区近几来，通过拆迁旧房，植草。

　　栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加(如图)(12分)

　　(1)根据图中所提供的信息，回答下列的问题：2003年的绿地面积为______公顷，比2002年增加了________

　　公顷。在2001年，2002年，2003年这三年中，绿地面积增加最多的是___________年。

　　(2)为了满足城市发展的需要,计划到2005年使城区绿地总面积达到72.6公顷,试求这两年(2003～2005年)

　　绿地面积的年平均增长率.

　　课外拓展

　　一元二次方程

　　一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为ax^2+bx+c=0, (a≠0)。在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数，使 x1+ x2 =b,x1·x2=1,x2-bx+1=0...

　　他们再做出解答 。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。

　　埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax^2=b。

　　在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。

　　希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。

　　公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。

　　在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。

　　十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用负数根。

　　韦达(1540-1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。

　　我国《九章算术.勾股》章中的第二十题是通过求相当于 2x+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。

　　发展

　　求解一元三次方程的问题

　　求解一元二次方程是最基础和最简单的数学问题，而求解一元三次方程就是比较复杂的数学问题了。意大利数学家帕西奥利(Luca Pacioli，1445年～1514年或1517年)于1494年在威尼斯发表了文艺复兴时期最伟大的数学著作《Summa de arithmetica， geometrica， proportioni et proportionalita》，他在书中记录了对一元三次方程解法的艰辛探索， 并下结论认为在当时的数学，求解一元三次方程是根本不可能的。

　　帕西奥利曾于1501年至1502年间来到博洛尼亚大学任教，期间与同在博洛尼亚大学的费罗讨论过许多数学问题，人们并不知晓他们是否也曾讨论过一元三次方程问题，但是在帕西奥利离开博洛尼亚后不久，费罗就至少解决了一元三次方程在一种情况下(x3 + mx = n)的解，这在求解一元三次方程的道路上是一个突破性的成功。

　　然而费罗并没有马上发表自己的成果，而是对解法保密，这很大程度上是因为他拒绝公开交流他的思想，他更愿意与他的朋友和学生交流，而不是将它们写下来出版，因此费罗的手稿并没有流传至今。尽管如此，他曾有过一本笔记簿，记录了他所有的重要发现，其中包括一元三次方程的解法。在他1526年去世后，这本笔记簿由他的女婿Hannival Nave继承了，Nave也是一个数学家，他替代费罗继续在博洛尼亚大学授课。同时被传授这一解法的还有费罗的学生菲奥尔。

　　一元三次方程解法的进展在费罗去世后充满了戏剧性，先是菲奥尔在得到秘传后吹嘘自己能够解所有的一元三次方程，其实他只会费罗传授他的x3+mx=n，而另一位意大利塔塔利亚(尼科洛·冯塔纳的绰号，意大利语“口吃者”的意思，1499年～1557年12月13日)在1534年宣称自己发现了形如x3+mx2=n的方程的解，两人相约在米兰进行公开比赛。

　　1535年就在比赛前夕，塔塔利亚苦思冥想出来其他多种形式的一元三次方程解，从而轻而易举地赢得了比赛，并在1541年终于完全解决了一元三次方程的求解问题。与费罗相同的是，塔塔利亚同样选择保守解法的秘密。同样研究一元三次方程的意大利医生、哲学家和数学家卡尔丹在允诺不公开的条件下，1539年从塔塔利亚那里得到了他的解法，在其基础上也发现了所有一元三次方程的解法。

　　而在1543年，卡尔丹和他的学生费拉里(Ludovico Ferrari，1522年2月2日～1565年10月5日)曾前往博洛尼亚，从费罗的女婿Nave处得知，其实费罗早于塔塔利亚已经发现了一元三次方程的解法，他便摒弃了给塔塔利亚的承诺，将他拓展的解法在1545年的著作《大术》(又译《数学大典》，Ars Magns)中发表，他在书中称，是费罗第一个发现了一元三次方程的解法，而他所给出的解法其实就是费罗的解法。

　　由于卡尔丹的失信，激怒了塔塔利亚，两人互相在书信中指责对方，并进行公开论战，最终卡尔丹派人秘密刺杀了塔塔利亚。

　　塔塔利亚消逝了，由于卡尔丹最早发表了求解一元三次方程的方法，因而该解法至今仍被称为“卡尔丹公式”。卡尔丹是第一个把负数写在二次根号内的数学家，并由此引进了虚数的概念，后来经过许多数学家的努力，发展成了复数的理论。从这个意义上，卡尔丹公式对数学的发展作出了巨大贡献，史称卡尔丹公式是伟大的公式。

　　解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题，虚数概念的引进、复数理论的建立，就是起源于解三次方程问题。

　　一元三次方程应用广泛，如电力工程、水利工程、建筑工程、机械工程、动力工程、数学教学及其他领域等。

　　用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但是使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。80年代，中国的一名中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式——盛金公式，并建立了简明的、直观的、实用的新判别法——盛金判别法，同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题，且很有趣味。

　　盛金公式与判别法及定理形成了一套完整的、简明的、实用的、具有数学美的解三次方程的理论体系，范盛金创造出的这套万能的系统方法，对研究解高次方程问题及提高解三次方程的效率作出了贡献。

　　求解一元四次方程问题卡尔丹在1545年的著作《大术》(又译《数学大典》，Ars Magns)中同时发表的还有费拉里的一元四次方程一般解法。费拉里是卡尔达诺的学生。解一元四次方程的公式称为费拉里公式。

　　当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。大约三百年之后，在1825年，挪威学者阿贝尔(Abel)终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。

　　这就是著名的阿贝尔定理。由于受阿贝尔定理的影响，世界上绝大多数的数学家早已放弃了对一元五次方程求根公式的探索。但如今，由于社会的发展，仍然有一群爱好数学的知识分子，在不断的寻求突破!

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